0 插值介紹

插值法是廣泛應(yīng)用于理論研究和工程實際的重要數(shù)值方法。用提供的部分離散的函數(shù)值來進行理論分析和設(shè)計都是極不方便的，因此希望能夠用一個既能反映原函數(shù)特征，又便于計算的簡單函數(shù)去近似原函數(shù)。

1 低次拉格朗日插值

定理：設(shè)$x_0$,$?$,$x_n$是互異插值節(jié)點，則滿足差值條件$p(x_i)=y_i(i=0,1,2,?,n)$的插值多項式$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+?+a_n{x}^n$是存在且唯一的。
證明：由條件可知，$p(x)$的系數(shù)$a_i$滿足
$$?\begin{array}{c}{a}_0+a_1{x}_0+?+a_n{x}_0=y_0\\ a_0+a_1{x}_1+?+a_n{x}_1=y_1\\ ?\\ a_0+a_1{x}_n+?+a_n{x}_n=y_n\end{array}$$
這是一個關(guān)于$a_0,a_1,?,a_n$的$n+1$元線性方程組，并注意到其系數(shù)行列式為一個范德蒙行列式，又由于$i\ne j$時$x_i\ne x_j$，于是，方程組唯一解。

以上定理的證明提供了一個求$p(x)$的方法，這就是解方程組。但當(dāng)$n$較大時，這是很困難的。對于給定的插值點，求形如$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+?+a_n{x}^n$的插值多項式有不同的方法。

1.1 n=1時插值方法

先討論$n=1$的簡單情況，互異插值點$x_0,x_1$上的函數(shù)值分別為$f(x_0),f(x_1)$是已知的，通過兩點$(x_0,f(x_0))$及$(x_1,f(x_1))$的插值多項式是一條直線，即兩點式
$$L_1(x)=\frac{x?x_1}{x_0?x_1}f(x_0)+\frac{x?x_0}{x_1?x_0}f(x_1)$$
顯然，$L_1(x_0)=f(x_0),L_1(x_1)=f(x_0)$，滿足插值條件，所以$L_1(x)$就是線性插值多項式。若記$l_0(x)=\frac{x?x_1}{x_0?x_1}$，$l_1(x)=\frac{x?x_0}{x_1?x_0}$，則稱$l_0(x),l_1(x)$為關(guān)于$x_0$與$x_1$的線性插值基函數(shù)。

于是有
$$L_1(x)=l_0(x)f(x_0)+l_1(x)f(x_1)$$

1.2 n=2時插值方法

當(dāng)$n=2$時，給定互異插值點$x_0,x_1,x_2$上的函數(shù)值分別為
$$f(x_0),f(x_1),f(x_2)$$
$$l_0(x)=\frac{(x?x_1)(x?x_2)}{(x_0?x_1)(x_0?x_2)},$$
$$l_1(x)=\frac{(x?x_0)(x?x_2)}{(x_1?x_0)(x_1?x_2)},$$
$$l_2(x)=\frac{(x?x_0)(x?x_1)}{(x_2?x_0)(x_2?x_1)}$$
稱為關(guān)于點$x_0,x_1,x_2$的二次插值基函數(shù)，它滿足
$$l_i(x_j)=\{\begin{array}{c}1,j=i\\ 0,j\ne i\end{array},i,j=0,1,2,?$$
滿足條件的$L_2(x_i)=f(x_i)(i=0,1,2)$的二次插值多項式$L_2(x)$可表示為
$$L_2(x)=l_0(x)f(x_0)+l_1(x)f(x_1)+l_2(x)f(x_2)$$
$y=L_2(x)$的圖形是通過三點$(x_1,f(x_i))(i=0,1,2)$的拋物線。

1.3 舉例

解：
選擇與$x=5$最接近的三點$x_0=1,x_1=4,x_2=9$為插值點，由
$$L_2(x)=l_0(x)f(x_0)+l_1(x)f(x_1)+l_2(x)f(x_2)$$
得，$\sqrt{5}\approx 1?\frac{(5?4)(5?9)}{(1?4)(1?9)}+2?\frac{(5?1)(5?9)}{(4?1)(4?9)}+3?\frac{(5?1)(5?4)}{(9?1)(9?4)}\approx 2.267$