題目

在本題中，我們討論再生PDF?；仡櫱懊?/p>

其中分母與無關(guān)。如果選擇一個(gè)，使得它與相乘時(shí)，我們得到與相同形式的PDF，那么后驗(yàn)PDF 將有和相同的形式。例10.1的高斯PDF正是這樣的一種情況。現(xiàn)在假設(shè)在條件下的的PDF是指數(shù)形式：

其中是條件獨(dú)立的（參見習(xí)題10.2）。接著，假設(shè)伽馬先驗(yàn)PDF

其中, ，求后驗(yàn)PDF。把它與先驗(yàn)PDF相比較。這種PDF在該形勢下是伽馬的，稱為共軛先驗(yàn)PDF。

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解答

根據(jù)是條件獨(dú)立的，因此：

如果記：

那么：

因此：

帶入后得到：

?

接下來，關(guān)鍵是求分母的積分，我們通過已知：

因此：

因此：

此時(shí)，如果令：

那么上式變換為：

也就是：

把上述積分代入得到：

最終得到：

也就是：

與對(duì)比后可以發(fā)現(xiàn)也是伽馬分布，其中僅僅是參數(shù)發(fā)生了變化。

在這種情況下，我們可以稱先驗(yàn)和后驗(yàn)為共軛分布，而此時(shí)先驗(yàn)稱為共軛先驗(yàn)。