62. 不同路徑

一個機器人位于一個 $m?n$ 網格的左上角 （起始點在下圖中標記為 “Start” ）。

機器人每次只能向下或者向右移動一步。機器人試圖達到網格的右下角（在下圖中標記為 “Finish” ）。

問總共有多少條不同的路徑？

實例 1：

輸入：m = 3, n = 7
輸出：28

示例 2：

輸入：m = 3, n = 2
輸出：3
解釋：
從左上角開始，總共有 3 條路徑可以到達右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

輸入：m = 7, n = 3
輸出：28

示例 4：

輸入：m = 3, n = 3
輸出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 題目數據保證答案小于等于 $2?10^9$

思路：(動態(tài)規(guī)劃)

由于每次只能向下或者向右移動，所以到達任意一個位置，不是從上面到達就是從左邊到達，從而到達該位置的路徑就是這兩個方向之和：

• 定義一個 m*n 矩陣dp，用于存放到達當前位置的所有路徑；
• 第一列和第一行比較特殊，分別只能從上方到達，從左面到達，因此只用一條路，賦值為1；
• 其余位置要比較從左面，從上面到達，所以動態(tài)方程為：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

代碼：(Java)

public class difPath {public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubint m = 3, n = 7; System.out.println(uniquePaths(m, n));}public static int uniquePaths(int m, int n) {int [][] dp = new int[m][n];for(int i = 0; i < m; i++) {dp[i][0] = 1;}for(int j = 0; j < n; j++) {dp[0][j] = 1;}for(int i = 1; i < m; i++) {for (int j = 1; j < n; j++) {dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];}}return dp[m-1][n-1];}
}

運行結果：

復雜度分析：

時間復雜度：O(m?n) 。
空間復雜度：O(m?n) 。（優(yōu)化：因為我們每次只需要 dp[i-1][j],dp[i][j-1]，所以我們只要記錄這兩個數，所以空間復雜度可以為 ：O(1) . ）

注：僅供學習參考！

題目來源：力扣。