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引言

承接前文，我們來學習學習向量組相關性與線性表示的相關性質

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二、向量組的相關性與線性表示

2.3 向量組相關性與線性表示的性質

性質 1 —— 向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 線性相關的充分必要條件是向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 中至少有一個向量可由其余向量線性表示。

證明： 必要性：設向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 線性相關，則存在一組不全為零的常數 $k_1,k_2,\dots ,k_n$ ，使得 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+?+k_n{\alpha }_n=0,$ 不妨設某一不為零的常數為 $k_1$ ，即 $k_1\ne 0$ ，則 ${\alpha }_1=\frac{?k_2}{k_1}{\alpha }_2???\frac{k_n}{k_1}{\alpha }_n,$ 即向量 ${\alpha }_1$ 可由其余向量線性表示。

充分性：設存在常數 $l_1,l_2,\dots ,l_{k?1},l_{k+1},\dots ,l_n$（缺少 $l_k$） ，使得 $${\alpha }_k=l_1{\alpha }_1+?+l_{k?1}{\alpha }_{k?1}+?+l_n{\alpha }_n$$ 則有：$l_1{\alpha }_1+l_2{\alpha }_2+?+l_{k?1}{\alpha }_{k?1}+(?1){\alpha }_k+?+l_n{\alpha }_n=0$ ，因為存在系數不為 0 ，所以向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 線性相關。

1，一個向量線性相關的充要條件是該向量為零向量。
2，兩個向量線性相關的充要條件是兩個向量成比例。
3，含有零向量的向量組一定線性相關。

性質 2 —— 設向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 線性無關，則：
（1）若 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n,b$ 線性相關，則向量 $b$ 可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 唯一線性表示。
（2） ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n,b$ 線性無關的充要條件是向量 $b$ 不可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 線性表示。

性質 3 —— 若一個向量組線性無關，則該向量組的任何部分向量組都線性無關。

性質 4 —— 若向量組有一個部分向量組線性相關，則該向量組一定線性相關。

性質 5 —— 設 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 為 $n$ 個 $n$ 維向量，則 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 線性無關的充要條件是 $|{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n|\ne 0$ ，即這些向量構成的行列式不為 0 。
證明： ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 線性無關，即對應齊次方程組只有零解，故系數行列式不為 0 。

性質 6 —— 設 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 為 $n$ 個 $m$ 維向量，若 $m<n$ ，則向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 必線性相關。

（1）向量組中向量的個數對應齊次線性方程組未知數的個數。向量組中向量的個數越多，齊次線性方程組中未知數的個數越多，其產生自由變量的可能性也越大，從而齊次線性方程組有非零解的可能性增加，即向量線性相關的可能性增加，故增加向量的個數后線性相關的可能性增加。
（2）向量組中向量的維數對應齊次線性方程組方程的個數，維數越多，齊次線性方程組方程的個數越多，只有零解的可能性增加，即向量線性無關的可能性增加，故增加向量的維數后線性無關的可能性增加。

性質 7 —— 設向量組 ${\alpha }_1^{\prime },{\alpha }_2^{\prime },\dots ,{\alpha }_n^{\prime }$ 為向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 的擴充向量組（即添加了維數），若向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 線性無關，則向量組 ${\alpha }_1^{\prime },{\alpha }_2^{\prime },\dots ,{\alpha }_n^{\prime }$ 線性無關，反之不對。

反例：如原向量組 ${\alpha }_1=(1,0{)}^T,{\alpha }_2=(0,1{)}^T,{\alpha }_3=(0,0{)}^T$ ，擴充后 ${\alpha }_1^{\prime }=(1,0,0{)}^T,{\alpha }_2^{\prime }=(0,1,0{)}^T,{\alpha }_3^{\prime }=(0,0,1{)}^T$ ，其構成的行列式為 $1\ne 0$ ，故向量組 ${\alpha }_1^{\prime },{\alpha }_2^{\prime },{\alpha }_3^{\prime }$ 線性無關，但原向量組含有零向量，線性相關。

性質 8 —— 設向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 為兩兩正交的非零向量組，則 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 線性無關，反之不對。
證明： 令 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+?+k_n{\alpha }_n=0$ ，由 $({\alpha }_1,k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+?+k_n{\alpha }_n)=({\alpha }_1,0)=k_1({\alpha }_1,{\alpha }_1)+k_2({\alpha }_1,{\alpha }_2)+?+k_n({\alpha }_1,{\alpha }_n)=0$ 且向量組兩兩正交可得 $k_1({\alpha }_1,{\alpha }_1)=0$ ，又 ${\alpha }_1$ 為零，故 $k_1=0$ 。
則 $k_2{\alpha }_2+?+k_n{\alpha }_n=0$ ，由 $({\alpha }_2,k_2{\alpha }_2+?+k_n{\alpha }_n)=({\alpha }_2,0)=k_2({\alpha }_2,{\alpha }_2)+?+k_n({\alpha }_2,{\alpha }_n)=0$ 且向量組兩兩正交可得 $k_2({\alpha }_2,{\alpha }_2)=0$ ，又 ${\alpha }_2$ 為零，故 $k_2=0$ 。同理可得到 $k_n=0$ ，故向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 線性無關。

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三、向量組等價、向量組的極大線性無關組與秩

3.1 基本概念

向量組等價 —— 若兩個向量組維數相同，且可以相互線性表示，稱兩個向量組等價。

等價的兩個向量組，向量個數不一定相同。

向量組的極大線性無關組與秩 —— 設 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 為一組向量，若滿足：
（1）向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 存在 $r$ 個向量線性無關；
（2）任意 $r+1$ 個向量（不一定有）一定線性相關，
稱 $r$ 個線性無關的向量構成的向量組為向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 的極大線性無關組，極大線性無關組所含向量的個數稱為向量的秩。

怎么樣？是不是和矩陣的秩很像，傳送門。

可由其余向量線性表示的向量為向量組的多余向量，求向量組的極大線性無關組，從本質上說其實是去掉多余向量的過程。

向量組的極大線性無關組不一定具有唯一性。

向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 的極大線性無關組為本身的充要條件為該向量組的秩為 $n.$

令向量組 $A:{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n；B:{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n,b$ ，則向量組 $A,B$ 的秩有兩種情形：
（1）$A$ 的秩和 $B$ 的秩相等，其充要條件是 $b$ 可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 線性表示。
（2）$A$ 的秩比 $B$ 的秩少 1 ，其充要條件是 $b$ 不可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 線性表示。

令 $A=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n]$ ，若矩陣 $A$ 經過有限次初等列變換化為 $B=[{\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n]$ ，則向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 和 向量組 ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$ 等價。

矩陣等價也是這個定義，可以初等變換得到。

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寫在最后

關于向量秩的性質以及剩余內容，放到后面吧。

到現在為止其實我們已經接觸了矩陣、向量、線性方程組了，關于向量的秩和方程組解的關系使我開始聯想到矩陣和方程組的關系，而矩陣又是由方程組構成的，讓人有些著迷。我打算下一篇就先把這三個給整理一下，不等到學線性方程組的時候了。O.o