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動(dòng)態(tài)規(guī)劃—96. 不同的二叉搜索樹

  • 題目描述
  • 前言
  • 基本思路
    • 1. 問題定義
    • 2. 理解問題和遞推關(guān)系
      • 二叉搜索樹的性質(zhì):
      • 核心思路:
      • 狀態(tài)定義:
      • 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程:
      • 邊界條件:
    • 3. 解決方法
      • 動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法:
      • 偽代碼:
    • 4. 進(jìn)一步優(yōu)化
    • 5. 小總結(jié)
  • Python代碼
      • Python代碼解釋
  • C++代碼
      • C++代碼解釋
  • 總結(jié)

題目描述

在這里插入圖片描述

前言

不同的二叉搜索樹問題 是一個(gè)經(jīng)典的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題。給定一個(gè)整數(shù) n,我們需要構(gòu)造出由 n 個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的所有不同的 二叉搜索樹(BST)。在這類問題中,我們不僅需要理解二叉搜索樹的性質(zhì),還需要通過動(dòng)態(tài)規(guī)劃來計(jì)算不同形態(tài)的二叉搜索樹的數(shù)量。


基本思路

1. 問題定義

給定一個(gè)整數(shù) n,求由 n 個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的所有不同的二叉搜索樹的數(shù)量。每個(gè)二叉搜索樹的節(jié)點(diǎn)包含從 1n 的整數(shù),每個(gè)整數(shù)只能使用一次。

2. 理解問題和遞推關(guān)系

二叉搜索樹的性質(zhì):

  • 二叉搜索樹(BST)的性質(zhì)是,對(duì)于每個(gè)節(jié)點(diǎn):
    • 左子樹上所有節(jié)點(diǎn)的值都小于該節(jié)點(diǎn)的值。
    • 右子樹上所有節(jié)點(diǎn)的值都大于該節(jié)點(diǎn)的值。

核心思路:

如果我們選擇節(jié)點(diǎn) i 作為根節(jié)點(diǎn),那么:

  1. 節(jié)點(diǎn) 1i-1 會(huì)組成根節(jié)點(diǎn) i 的左子樹。
  2. 節(jié)點(diǎn) i+1n 會(huì)組成根節(jié)點(diǎn) i 的右子樹。
  3. 左子樹和右子樹的組合方式可以遞歸地進(jìn)行計(jì)算,最終組合成完整的 BST。

狀態(tài)定義:

設(shè) dp[i] 表示 i 個(gè)節(jié)點(diǎn)能構(gòu)成的不同二叉搜索樹的數(shù)量。最終我們要求解的是 dp[n]

狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程:

對(duì)于每一個(gè)根節(jié)點(diǎn) i,它的左子樹有 i-1 個(gè)節(jié)點(diǎn),右子樹有 n-i 個(gè)節(jié)點(diǎn)。左子樹和右子樹的組合方式相乘,即:
d p [ i ] = ∑ k = 1 i d p [ k ? 1 ] × d p [ i ? k ] dp[i] = \sum_{k=1}^{i} dp[k-1] \times dp[i-k] dp[i]=k=1i?dp[k?1]×dp[i?k]
其中,dp[k-1] 表示左子樹的組合數(shù),dp[i-k] 表示右子樹的組合數(shù)。

邊界條件:

  • 當(dāng) n = 0 時(shí),空樹也是一種二叉搜索樹,因此 dp[0] = 1。

3. 解決方法

動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法:

  1. 初始化一個(gè)數(shù)組 dp,其中 dp[0] = 1,表示空樹。
  2. 使用遞推公式計(jì)算 dp[i],即根據(jù)左子樹和右子樹的組合方式來更新 dp 數(shù)組。
  3. 最終 dp[n] 即為 n 個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的不同二叉搜索樹的數(shù)量。

偽代碼:

initialize dp array with dp[0] = 1
for i from 1 to n:for j from 1 to i:dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j]
return dp[n]

4. 進(jìn)一步優(yōu)化

  • 空間優(yōu)化:由于每個(gè) dp[i] 只依賴于之前的狀態(tài),因此我們已經(jīng)使用最小的空間來存儲(chǔ)這些狀態(tài)。
  • 時(shí)間復(fù)雜度:動(dòng)態(tài)規(guī)劃的時(shí)間復(fù)雜度為 O(n^2),適合處理中等規(guī)模的輸入。

5. 小總結(jié)

  • 問題思路:通過遞歸地構(gòu)建左子樹和右子樹,利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的思想,可以高效計(jì)算不同二叉搜索樹的數(shù)量。
  • 核心公式:狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程 dp[i] = \sum_{k=1}^{i} dp[k-1] \times dp[i-k],每次通過左子樹和右子樹的組合方式進(jìn)行計(jì)算。

以上就是不同的二叉搜索樹問題的基本思路。


Python代碼

class Solution:def numTrees(self, n: int) -> int:# 初始化dp數(shù)組,dp[i]表示i個(gè)節(jié)點(diǎn)能構(gòu)成的不同二叉搜索樹的數(shù)量dp = [0] * (n + 1)dp[0] = 1  # 空樹也是一種二叉搜索樹# 動(dòng)態(tài)規(guī)劃計(jì)算每個(gè)dp[i]的值for i in range(1, n + 1):for j in range(1, i + 1):dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]return dp[n]  # 返回n個(gè)節(jié)點(diǎn)能構(gòu)成的不同二叉搜索樹的數(shù)量

Python代碼解釋

  1. 初始化:定義一個(gè) dp 數(shù)組,dp[i] 表示 i 個(gè)節(jié)點(diǎn)能構(gòu)成的不同二叉搜索樹的數(shù)量。初始值 dp[0] = 1,表示空樹。
  2. 動(dòng)態(tài)規(guī)劃遞推:使用狀態(tài)轉(zhuǎn)移公式更新 dp 數(shù)組,每次根據(jù)左子樹和右子樹的組合方式來累加。
  3. 返回結(jié)果:返回 dp[n],即 n 個(gè)節(jié)點(diǎn)可以構(gòu)成的不同二叉搜索樹的數(shù)量。

C++代碼

class Solution {
public:int numTrees(int n) {// 初始化dp數(shù)組,dp[i]表示i個(gè)節(jié)點(diǎn)能構(gòu)成的不同二叉搜索樹的數(shù)量vector<int> dp(n + 1, 0);dp[0] = 1;  // 空樹也是一種二叉搜索樹// 動(dòng)態(tài)規(guī)劃計(jì)算每個(gè)dp[i]的值for (int i = 1; i <= n; ++i) {for (int j = 1; j <= i; ++j) {dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];}}return dp[n];  // 返回n個(gè)節(jié)點(diǎn)能構(gòu)成的不同二叉搜索樹的數(shù)量}
};

C++代碼解釋

  1. 初始化:定義一個(gè) dp 數(shù)組,dp[i] 表示 i 個(gè)節(jié)點(diǎn)能構(gòu)成的不同二叉搜索樹的數(shù)量。初始值 dp[0] = 1,表示空樹。
  2. 動(dòng)態(tài)規(guī)劃遞推:使用狀態(tài)轉(zhuǎn)移公式更新 dp 數(shù)組,每次根據(jù)左子樹和右子樹的組合方式來累加。
  3. 返回結(jié)果:返回 dp[n],即 n 個(gè)節(jié)點(diǎn)可以構(gòu)成的不同二叉搜索樹的數(shù)量。

總結(jié)

  • 核心思路:通過遞歸構(gòu)建不同的左子樹和右子樹,利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解不同二叉搜索樹的數(shù)量。每一個(gè)根節(jié)點(diǎn)的左子樹和右子樹的組合數(shù)相乘即為該根節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的不同二叉搜索樹的數(shù)量。
  • 時(shí)間復(fù)雜度:時(shí)間復(fù)雜度為 O(n^2),適合處理中等規(guī)模的輸入。
  • 動(dòng)態(tài)規(guī)劃應(yīng)用:該問題展示了動(dòng)態(tài)規(guī)劃在樹形結(jié)構(gòu)問題中的應(yīng)用,通過遞推和組合的方式有效解決了求解二叉搜索樹數(shù)量的問題。
http://www.risenshineclean.com/news/61455.html

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