一、外心法定義

依然以三棱錐為例

即，找到三棱錐的外接球的球心，從而可以確定出外接球的半徑R。
而三棱錐有四個頂點，這四個頂點必然都在外接球的球面上。

尋找思路：
找到底面外接圓的圓心，然后，過該圓心做垂線，那么，這個線上的點，到三個頂點的距離相等。
再找頂點到該垂線上的某個點的距離，使得該距離等于該點到底面頂點的距離。
此時，該點即為外接球的球心。
因為它到三棱錐的四個頂點的距離相等。

一般，我們把其中一個直角三角形作為底面，找它的外心。因為，直角三角形的外心必然在斜邊上。

---

這種解法適合的題目，一般有個前提條件
1、可以找到一條線垂直某個面，那么，將該面作為底面。

---

可能用到的公式：
正弦定理

余弦定理

這兩個定理，用于球三角形外接圓的半徑。

二、習題

1、例題一

解析
我們發(fā)現(xiàn)，底面△ABC是一個直角三角形，所以，它的外心在斜邊BC的中點。
然后，經(jīng)過BC中點做垂線。
又發(fā)現(xiàn)面PBC⊥面ABC，所以，垂線必然在PBC平面內(nèi)。
從而，變成找△PBC的外心。
由于，知道△PBC的三邊長，于是，利用正弦定理和余弦定理，直接求出外接圓半徑，即為三棱錐外接球的半徑。

2、例題二

解析
從題目信息，可以發(fā)現(xiàn)△ABC是直角三角形，AC為斜邊。取AC中點D。
在根據(jù)勾股定理，可以證明，PD⊥底面ABC
進而，三棱錐的外接球半徑即為△PAC的外接圓半徑

3、例題三

解析
發(fā)現(xiàn)△ACP是直角三角形，△ABP為等邊三角形
在根據(jù)勾股定理，發(fā)現(xiàn)，△ACD也是直角三角形。
所以，AC⊥面ABP，于是，將△ABP作為底面求解。

注意，不要用Rt△ACP為底面，要用等邊△ABP為底面找球心。

4、例題四

解析
以等邊△BCD為底面，取BD中點T，則△ATC也是等邊三角形。
所以，先找△BCD的外心，這個外心必然在CT直線上。
從而得解
為$\frac{2\sqrt{13}}{3}$