一、從零開(kāi)始

1.1、泰勒中值定理1

什么是泰勒公式?我們先看看權(quán)威解讀:

那么我們從古至今到底是如何創(chuàng)造出泰勒公式的呢?

由上圖可知，任一無(wú)窮小數(shù)均可以表示成用一系列數(shù)字的求和而得出的結(jié)果，我們稱之為“無(wú)窮算法”。?那么同理我們想對(duì)任一曲線來(lái)表達(dá)出其相對(duì)準(zhǔn)確的值，則想出了與數(shù)字相同的處理方法，將曲線也表示成一系列自變量的和，這便是泰勒公式的由來(lái)。

以下我們用一組圖片來(lái)更直觀的了解泰勒公式的厲害之處:

將泰勒公式展開(kāi)至更高次冪則可以和目標(biāo)曲線越來(lái)越接近!

1.2、尋找系數(shù)

我們通常用一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)近似的表示函數(shù)f(x)，而多項(xiàng)式中的系數(shù)就是我們破解泰勒公式的最后一道防線!

經(jīng)過(guò)上面的推導(dǎo)，我們順理成章的得出了f(x)的近似表達(dá):

經(jīng)過(guò)上面的證明，泰勒公式的基本形狀已經(jīng)出現(xiàn)，但是我們不要忘記它存在余項(xiàng)也就是誤差項(xiàng)，是其前面最高次項(xiàng)的高階無(wú)窮小。

1.3、泰勒中值定理2

這種形式的泰勒公式所有的條件主要是為了其中的余項(xiàng)來(lái)服務(wù)的，第一個(gè)公式我們只需要簡(jiǎn)單的將其寫成高階無(wú)窮小即可，而這個(gè)公式則是將余項(xiàng)表示的更加具體，用一個(gè)表達(dá)式來(lái)解釋它。

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2.1、核心考點(diǎn)1:泰勒展開(kāi)式?

下面我們列出幾組常用的泰勒(麥克勞林)公式展開(kāi)(x -> 0):

2.2、利用泰勒公式求極限?

2.3、利用泰勒公式求高階導(dǎo)數(shù)?

2.4、利用泰勒公式解決證明題?