前提假設(shè)

1. 因?yàn)槌Ｒ姷男刨J產(chǎn)品還款期數(shù)定義都是按照月，假設(shè)只借一期的利率（月利率）為r，在此條件下，研究不同還款方式下的APR和IRR計(jì)算結(jié)果與r、期數(shù)n、本金C這幾個(gè)變量的關(guān)系；
2. 約束條件：1)月利率為r；2)在第n期期末結(jié)束時(shí)，還清所有本息；
3. IRR：根據(jù)凈現(xiàn)值等于0時(shí)的折現(xiàn)率計(jì)算出實(shí)際月利率，$IRR=12r_{act}$；
4. APR：年化利率，以一年（12個(gè)月）為計(jì)息長度時(shí)，利息總和占本金的百分比；

一次性還本付息

5. 計(jì)算現(xiàn)金流：
   $P_i=?\begin{array}{l}?C,i=0\\ 0,0<i<n\\ C+Crn,i=n\end{array}$
6. 計(jì)算IRR：${\sum }_{i=0}^n\frac{P_i}{(1+r_{act}{)}^i}=0$，求得$IRR=((1+rn{)}^{1/n}?1)?12$；
7. 計(jì)算APR：利息總和*12/C/n，求得$APR=12r$;

先息后本

8. $P_i=?\begin{array}{l}?C,i=0\\ Cr,0<i<n\\ C+Cr,i=n\end{array}$
9. 計(jì)算IRR：${\sum }_{i=0}^n\frac{P_i}{(1+r_{act}{)}^i}=0$，$?C+Cr(\frac{1}{(1+r_{act}{)}^1}+...+\frac{1}{(1+r_{act}{)}^{n?1}})+\frac{C+Cr}{(1+r_{act}{)}^n}=0$，簡(jiǎn)化得$(r_{act}?r)=(r_{act}?r)(1+r_{act}{)}^n$，得$IRR=12r$；
10. 計(jì)算ARR：利息總和*12/C/n，求得$APR=12r$；

等額本息

11. $P_i=\{\begin{array}{l}?C,i=0\\ C\frac{r(1+r{)}^n}{(1+r{)}^n?1},0<i<=n\end{array}$
12. 本質(zhì)上等額本息的利息計(jì)算就是在考慮復(fù)利情況下計(jì)算出來的，所以$IRR=12r$；
13. 計(jì)算APR：利息總和*12/C/n，求得$APR=(\frac{r(1+r{)}^n}{(1+r{)}^n?1}?\frac{1}{n})?12$;

等額本金

14. $P_i=\{\begin{array}{l}?C,i=0\\ \frac{C}{n}+\frac{n+1?i}{n}Cr=\frac{1+(n+1?i)r}{n}C,0<i<=n\end{array}$
15. 計(jì)算IRR：${\sum }_{i=0}^n\frac{P_i}{(1+r_{act}{)}^i}=0$，$?C+C{\sum }_{i=1}^n(\frac{1+(n+1?i)r}{n})\frac{1}{(1+r_{act}{)}^i}=0$，使用數(shù)值方法求解IRR，IRR與C無關(guān)，與r和n有關(guān)；實(shí)際計(jì)算可得，近似$IRR=12r$;
16. 計(jì)算APR：利息總和*12/C/n，求得$APR=\frac{6r(n+1)}{n}$;

簡(jiǎn)單二分法求解IRR的程序

輸入：現(xiàn)金流list；
輸出：IRR；

def cal_irr(cash_flow_list):r_min, r_max = 0,2flag = Falsecnt = 0while((flag==False)&(cnt<=100)):cnt += 1r = (r_min + r_max) / 2npv = 0for ix,i in enumerate(cash_flow_list):npv += i/(1+r)**ixif abs(npv)<=0.00001:flag = Truebreakelse:if npv>0:r_min = relse:r_max = rreturn r*12

匯總

還款方式	IRR	APR
一次性還本付息	$((1+rn{)}^{1/n}?1)?12$	$12r$
先息后本	$12r$	$12r$
等額本息	$12r$	$(\frac{r(1+r{)}^n}{(1+r{)}^n?1}?\frac{1}{n})?12$
等額本金	${\sum }_{i=1}^n\frac{1+(n+1?i)r}{n(1+r_{act}{)}^i}?1=0$的解$r_{act}$乘以12，$\approx 12r$	$\frac{6r(n+1)}{n}$

實(shí)驗(yàn)對(duì)比

• 以月利率r（取0.005，0.01，0.03），期數(shù)n（取1、6、12、24、240），還款方式為自變量，APR和IRR為因變量，對(duì)比結(jié)果如如下。

1. IRR計(jì)算結(jié)果：
   

2. APR計(jì)算結(jié)果：
   

3. r=1%，n=12時(shí)，各還款方式下IRR和APR對(duì)比：
   

4. r=1%，等額本金和等額本息還款方式下APR隨著期數(shù)n的變化：
   （1）等額本金，APR隨著n的增大單調(diào)遞減，最終趨近6r；
   （2）等額本息，APR隨著n的增大先下降再上升，最終趨近12r；
   （3）等額本息APR > 等額本息APR。
   

5. r=1%，本金C=30w，貸款36期（3年），月供流水對(duì)比：