🙌作者簡(jiǎn)介：數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院出身、在職高校高等數(shù)學(xué)專任教師，分享學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、生活、 努力成為像代碼一樣有邏輯的人！
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? 高等數(shù)學(xué)專欄介紹：本專欄系統(tǒng)地梳理高等數(shù)學(xué)這門(mén)課的知識(shí)點(diǎn)，參考書(shū)主要為經(jīng)典的同濟(jì)版第七版《高等數(shù)學(xué)》以及作者在高校使用的《高等數(shù)學(xué)》系統(tǒng)教材。梳理《高等數(shù)學(xué)》這門(mén)課，旨在幫助那些剛剛接觸這門(mén)課的小白以及需要系統(tǒng)復(fù)習(xí)這門(mén)課的考研人士。希望自己的一些經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌驇椭嗟娜恕?/p>

向量的坐標(biāo)表示

空間直角坐標(biāo)系下，任意向量$\overrightarrow{r}$可用向徑$\overrightarrow{OM}$表示.
以$\overrightarrow{i}$$\overrightarrow{j}$$\overrightarrow{k}$分別表示軸上的單位向量，設(shè)點(diǎn)$M$的坐標(biāo)為$M(x,y,z)$，則
$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{r}$=$x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ 稱為向量$\overrightarrow{r}$的坐標(biāo)分解式.
$x\overrightarrow{i}，y\overrightarrow{j}，z\overrightarrow{k}$稱為向量$\overrightarrow{r}$沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量.

利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算

設(shè)$\overrightarrow{a}=(a_x,a_y,a_z),\overrightarrow{b}=(b_x,b_y,b_z)$,$\lambda$為實(shí)數(shù)，則
$\overrightarrow{a}\pm \overrightarrow{b}$=$(a_x\pm b_x,a_y\pm b_y,a_z\pm b_z)$
$\lambda \overrightarrow{a}$=$(\lambda a_x,\lambda a_y,\lambda a_z)$
平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例：
當(dāng)$\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$時(shí)，
$\overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{b}$ $?$$\overrightarrow{b}$=$\lambda \overrightarrow{a}$（$\lambda$為唯一 實(shí)數(shù)）.
~~~~~~~~~~~~????????????$?$ $\frac{b_x}{a_x}$=$\frac{b_y}{a_y}$=$\frac{b_z}{a_z}$

向量的模、方向角、投影

• 向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式

• 向量的模
  設(shè)$\overrightarrow{r}=(x,y,z)$，作$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{r}$，則有 $|\overrightarrow{r}|=|\overrightarrow{OM}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

• 兩點(diǎn)間的距離公式
  設(shè)$A(x_1,y_1,z_1)$,$B(x_2,y_2,z_2)$,因?yàn)?br /> $\overrightarrow{AB}$= $\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$=$(x_2?x_1,y_2?y_1,z_2?z_1)$，得兩點(diǎn)間的距離公式：
  $|AB|$ =$|\overrightarrow{AB}|$=$\sqrt{(x_2?x_1{)}^2+(y_2?y_1{)}^2+（z_2?z_1{)}^2}$

• 方向角與方向余弦

• 方向角
  設(shè)有兩非零向量 $\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$，任取空間一點(diǎn)O, 作$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$ 稱$\phi =\angle AOB(0\le \phi \le \pi )$為向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$ 的夾角.
  類似可定義向量與軸，軸與軸的夾角.
  給定 $\overrightarrow{r}=(x,y,z)\ne \overrightarrow{0}$，稱 $\overrightarrow{r}$與三坐標(biāo)軸的夾角$\alpha ,\beta ,\gamma$為其方向角

• 方向余弦
  方向角的余弦稱為方向余弦

$cos\alpha$= $\frac{x}{|\overrightarrow{r}|}$=$\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$
$cos\beta$= $\frac{y}{|\overrightarrow{r}|}$=$\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$
$cos\gamma$= $\frac{z}{|\overrightarrow{r}|}$=$\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

• 方向余弦的性質(zhì)
  $co{s}^2\alpha$+$co{s}^2\beta$+$co{s}^2\gamma$=1
  向量$\overrightarrow{r}$的單位向量：${\overrightarrow{r}}^{°}=\frac{\overrightarrow{r}}{|\overrightarrow{r}|}$=$（cos\alpha ,cos\beta ,cos\gamma ）$

• 向量在軸上的投影

• 空間一點(diǎn)在軸上的投影
  過(guò)點(diǎn)$A$作軸$u$的垂直平面，交點(diǎn)$A^{{}^{\prime }}$即為點(diǎn)$A$在軸$u$上的投影.

• 向量在軸上的投影
  設(shè)有一軸$u$，$\overrightarrow{e}$是軸$u$上與$u$軸同向的單位向量.
  已知向量$\overrightarrow{AB}$的起點(diǎn)$A$和$B$在軸$u$上的投影分別為$A^{{}^{\prime }}$和$B^{{}^{\prime }}$，則$\overrightarrow{A^{{}^{\prime }}{B}^{{}^{\prime }}}$稱為$\overrightarrow{AB}$在軸$u$上的分向量.
  若$\overrightarrow{A^{{}^{\prime }}{B}^{{}^{\prime }}}=\lambda \overrightarrow{e}$，則$\lambda$稱為$\overrightarrow{AB}$在軸$u$上的投影.
  向量$\overrightarrow{AB}$在軸$u$上的投影記為$Pr{j}_u\overrightarrow{AB}$或 $(\overrightarrow{AB}{)}_u$.

注：若$\overrightarrow{a}=(a_x,a_y,a_z)$，則
$a_x=Pr{j}_x\overrightarrow{a},a_y=Pr{j}_y\overrightarrow{a},a_z=Pr{j}_z\overrightarrow{a}$

• 向量的投影性質(zhì)
  ①投影性質(zhì)1
  向量$\overrightarrow{AB}$在軸$u$上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦：
  ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~?????????????????????????????????$Pr{j}_u\overrightarrow{AB}$=$|\overrightarrow{AB}|cos\phi$
  ②投影性質(zhì)2
  兩個(gè)向量的和在軸上的投影等于兩個(gè)向量在該軸上的投影之和.（可推廣到任意有限個(gè)）
  ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~??????????????????????$Pr{j}_u({\overrightarrow{a}}_1+{\overrightarrow{a}}_2)$=$Pr{j}_u{\overrightarrow{a}}_1+Pr{j}_u{\overrightarrow{a}}_2$
  ③投影性質(zhì)3
  ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~??????????????????????$Pr{j}_u(\lambda \overrightarrow{a})$=$\lambda Pr{j}_u\overrightarrow{a}$