目錄

1，逆序數(shù)?

2，行列式定義和性質(zhì)

2.1，常用特性及命令?

2.2，求行列式

2.3，行列式的性質(zhì)?

2，行列式按行（列）展開?

3，范德蒙德行列式

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?

在學(xué)習(xí)線性代數(shù)過程中，發(fā)現(xiàn)同步使用MATLAB進行計算驗證可以加深對概念的理解，并能掌握MATLAB的命令和使用方法；

使用的線性代數(shù)教材為同濟大學(xué)出版的。?

1，逆序數(shù)?

沒有找到對應(yīng)的Matlab命令，但可以通過簡單編程來進行求解；

2，行列式定義和性質(zhì)

需要注意的是，在MATLAB中運算時直接使用矩陣表示行列式；

2.1，常用特性及命令?

轉(zhuǎn)置 B = A'

上三角、下三角行列式：

使用的Matlab命令，tril和triu

2.2，求行列式

det(A)

2.3，行列式的性質(zhì)?

以下為利用matlab的det命令對行列式的幾種性質(zhì)進行計算：?

上三角矩陣的行列式為對角線元素的乘積：

對角矩陣行列式為對角線元素的乘積：

性質(zhì)1，行列式和它轉(zhuǎn)置后的行列式相等：

性質(zhì)2，交換矩陣的兩行（列），行列式變號：

?推論，矩陣中存在相同的行或列，則行列式等于0（可以用上一條進行推倒）：

性質(zhì)3，矩陣的一行或列所有元素乘以k，其行列式也乘以k：

性質(zhì)4，行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則行列式等于0：

?

性質(zhì)5，

clc;A=[2 4 6 7;1 3 2 1;1 5 7 3;1 2 1 5];B=[2 4 2 7;1 3 2 1;1 5 3 3;1 2 0 5];C=[2 4 4 7;1 3 0 1;1 5 4 3;1 2 1 5];D_A = det(A)D_B = det(B)D_C = det(C)

?運行結(jié)果：

性質(zhì)6，矩陣的一行或列加上另一行或列的k倍，行列式的值不變：

行列式性質(zhì)例10證明，具體的證明請查閱教材：

使用Matlab計算一個這樣的實例：

clc;
a = [ 1 2;3 4];
b = [0 0 0;0 0 0];
c = [6 7;4 5;2 7];
d = [3 6 2;8 5 3;4 6 2];e = [a,b];
f = [c,d];A = [e;f]D_A = det(A)D_a = det(a)D_b = det(d)

運行結(jié)果：

可見D(A) = D(a)*D(d)。?

2，行列式按行（列）展開?

余子式和代數(shù)余子式：

%求N(2,1)的余子式和代數(shù)余子式
clc;N = [3 6 2 5;8 5 3 7;4 6 2 9;5 7 4 1];N(2,:) = [];      %把第二行劃去
N(:,1) = [];      %把第一列劃去NM_21 = det(N)                  %余子式A_21 = (-1)^(2+1)*det(N)       %代數(shù)余子式

運行結(jié)果：

?對上邊引理計算一個對應(yīng)的Matlab程序：

clc;A=[2 4 6 7;0 3 0 0;1 5 7 3;1 0 1 0];    %A的第二行除A(2,2)外全為0B = A;B(2,:) = [];
B(:,2) = [];   %A的第二行第二列的余子式D_A = det(A)%D_B = det(B)
D_B = (-1)^(2+2) * det(B)  %A的第二行第二列的代數(shù)余子式

運行結(jié)果與引理相符：

對上邊定理計算一個對應(yīng)的Matlab程序：?

clc;A=[2 4 6 7;1 3 2 1;1 5 7 3;1 0 1 0];B = A;
C = A;
D = A;
E = A;B(2,:) = [];
B(:,1) = [];   %A的第二行第一列的余子式C(2,:) = [];
C(:,2) = [];   %A的第二行第二列的余子式D(2,:) = [];
D(:,3) = [];   %A的第二行第三列的余子式E(2,:) = [];
E(:,4) = [];   %A的第二行第四列的余子式D_A = det(A)D_B21 = (-1)^(2+1) * det(B) * A(2,1) %A的第二行第一列的代數(shù)余子式 * 第二行第一列元素D_C22 = (-1)^(2+2) * det(C) * A(2,2) %A的第二行第二列的代數(shù)余子式 * 第二行第二列元素D_D23 = (-1)^(2+3) * det(D) * A(2,3) %A的第二行第三列的代數(shù)余子式 * 第二行第三列元素D_E24 = (-1)^(2+4) * det(E) * A(2,4) %A的第二行第四列的代數(shù)余子式 * 第二行第四列元素

運行結(jié)果與定理相符：

3，范德蒙德行列式

?以下程序產(chǎn)生一個范德蒙德行列式并分別用det和?的方式計算行列式的值：

clc;v = 2:0.5:4;A = vander(v);A = fliplr(A);A = A'D_A = det(A)tot =(A(2,5)-A(2,4)) * (A(2,5)-A(2,3)) * (A(2,5)-A(2,2)) * (A(2,5)-A(2,1)) * (A(2,4)-A(2,3)) * (A(2,4)-A(2,2)) * (A(2,4)-A(2,1)) *...(A(2,3)-A(2,2)) * (A(2,3)-A(2,1)) * (A(2,2)-A(2,1))

運行結(jié)果：

上圖中第二個計算結(jié)果是通過?方式計算。