數(shù)學(xué)歸納法的引入情景其實很簡單，就是多米諾骨牌。

推倒所有多米諾骨牌的關(guān)鍵就是推倒第一塊，以及確保第一塊倒下后會帶動第二塊，第二塊帶動第三塊，以此類推，也就是可以遞推。由此我們可以歸納出所有的多米諾骨牌都可以被推倒。

所以簡單來說數(shù)學(xué)歸納法的兩個條件就是第一項成立和可遞推，可遞推用數(shù)學(xué)語言表示就是第k項可以使第k+1項成立。

由此，我們就可以正式引入（弱）數(shù)學(xué)歸納法的定義。

對于一個和正整數(shù)n有關(guān)的命題P(n)，若滿足：

(1)命題P(n0)（n0∈N*）成立

(2)假設(shè)命題P(k) (k≥n0，k∈N*) 成立，可以推出命題P(k+1)成立。

那么對于所有的n≥n0且n∈N*都有P(n)成立。

這種證明方法就叫數(shù)學(xué)歸納法。（其實是弱歸納法，或者說是弱數(shù)學(xué)歸納法）

書寫格式就是：

1.證明命題P(n0)（n0∈N）成立

（比如第一項時n=1，那就證明P(1)成立，如果是n=0，那就證明P(0)成立）

2.假設(shè)n=k (k≥n0，k∈N) 時命題成立，證明 n=k+1 時命題成立。

3.因此，由數(shù)學(xué)歸納法知，對任意n∈N，都有...成立（“...”為要證明的命題）

（命題的范圍要看清時N*還是N，必要時要相應(yīng)的做一些符號上的調(diào)整）

只有當(dāng)兩個步驟都可行時才能使用弱歸納法證明出來。

而且弱歸納法的適用范圍是給定命題在整個或局部自然數(shù)中成立。

（也就是n=0的時候也可以用。）

舉個例子：

證明：

（1）n=1時，顯然命題成立

（2）假設(shè)n=k時成立

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（3）綜上，命題成立

而強(qiáng)歸納法和弱歸納法的區(qū)別在于弱歸納法遞推出第k+1項只用了第k項，但是強(qiáng)歸納法可以使用所有n≤k的情況來證明第k+1項，比如有前兩項遞推出后一項的情況弱歸納法就無法使用，但是強(qiáng)歸納法就可以。

強(qiáng)歸納法就是說n=0時成立，對任意n∈N*，如果n≤k成立，可推得n=k+1時也成立，那么就可以證明對所有n∈N成立。

。

強(qiáng)歸納法的證明步驟非常相像：

1.證明命題P(n0)（n0∈N）成立

2.假設(shè)n≤k (k≥n0，k∈N) 時命題均成立，證明 n=k+1 時命題成立。

3.因此，由強(qiáng)數(shù)學(xué)歸納法知，對任意n∈N，都有...成立（“...”為要證明的命題）

。

其實數(shù)學(xué)歸納法還是比較模板化的，只要滿足對應(yīng)的條件就可以直接套用。