前言

如何利用行列式，矩陣求解線性方程組。

線性方程組的相關(guān)概念

用矩陣方程表示

• 齊次線性方程組：Ax=0；
• 非齊次線性方程組：Ax=b.

可以理解 齊次線性方程組 是特殊的 非齊次線性方程組

如何判斷線性方程組的解

• 其中R(A)表示矩陣A的秩
• B表示A的增廣矩陣
• n表示末知數(shù)個數(shù)

增廣矩陣

矩陣的秩

秩r<= 未知數(shù)的數(shù)量n
r=n時，稱為滿秩

如何求解矩陣A的秩

1. 矩陣經(jīng)過初等變化后秩不變
2. r+1階子式的行列式=0的特性

可以將矩陣轉(zhuǎn)為化

矩陣的秩，就是矩陣初等變換后化成行階梯形時的非零行的行數(shù)。

1. 方程組的系數(shù)矩陣的秩與方程組增廣矩陣的秩相等。方程組里的所有方程都是不沖突的，不會出現(xiàn)等式左邊都是“x+y”，右邊卻一個是“1”，一個是“3”的情況，因為這樣會得出1=3的錯誤等式，令方程組無解。
2. 方程組的系數(shù)矩陣的秩等于未知數(shù)的個數(shù)。方程組里的方程，必須有n個是不能相互推出，這個n，便是未知數(shù)的個數(shù)。像前文舉例的“x+y=2”和“2x+2y=4”，便只能屬于是一個方程，因為后者可以通過前者乘以2得出。
3. 當(dāng)方程組的系數(shù)矩陣的秩與方程組增廣矩陣的秩相等且均小于方程組中未知數(shù)個數(shù)n的時候，方程組有無窮多解。當(dāng)所有的方程都不沖突，但存在一個或一個以上的方程是可以由其他方程變換過來的，這就相當(dāng)于n個未知數(shù)，卻沒有n個方程，自然就是無窮多解了。
4. 當(dāng)方程組的系數(shù)矩陣的秩小于方程組增廣矩陣的秩的時候，方程組無解。存在兩個或多個方程有沖突，那別說了，直接無解就是了

增廣矩陣求解

其計算過程還是通過消元法來解方程組。

克拉默法則

當(dāng)矩陣A的行列式det(A)!=0時，可使用行列式的解方程- 克拉默法則求解

求多解

可見上述方程組的解，是一個集合，怎么表示這個集合？

基礎(chǔ)解系
指在無窮多組解中，找到一組解，且滿足：

1. 這組解內(nèi)的向量線性無關(guān)
2. 方程組的任意一個解都可由這組向量線性表示

那么這組解（向量組），就稱為基礎(chǔ)解系
實際上這和極大線性無關(guān)組是一回事

再將上述基礎(chǔ)解系a,帶入齊次線性方程組 $A\vec{x}=\vec{0}$
通解為
$$\vec{x}=k_1?\vec{a}$$
其中：$k_1$取任意常數(shù)

通解就是線性方程組解的具體表達(dá)方式

向量組

如果R(A)=m,則表示有解。即得不出上述 $y=?z$ y和z變量的相關(guān)性

主要參考

《如何理解矩陣的「秩」？》
《線性方程組在什么時候有唯一解/無窮個解/無解？》
《11.2 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解》