極值定理(Extreme Value Theorem)指出，閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)既有最大值，也有最小值。然而，其最大最小值都可能發(fā)生在端點(diǎn)。羅爾定理(Rolle’s Theorem)以法國(guó)數(shù)學(xué)家Michel Rolle(1652-1719)的名字命名，它給出了極值存在于閉區(qū)間內(nèi)部(interior)(而不是端點(diǎn)處)的條件。

法國(guó)數(shù)學(xué)家米歇爾·羅爾 (Michel Rolle) 于 1691 年首次發(fā)表了以他的名字命名的定理。然而，在此之前，羅爾是微積分最直言不諱的批評(píng)者之一，指出微積分給出的結(jié)果是錯(cuò)誤的，而且是基于不可靠的推理。在晚年，羅爾開(kāi)始看到微積分的用處。

羅爾定理(Rolle’s Theorem)：令f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)。假如f (a) = f (b),則在開(kāi)區(qū)間(a,b)中存在至少一個(gè)點(diǎn)c,滿足f ’(c) = 0。

或者，換一種描述。令f為滿足以下三個(gè)假設(shè)條件(hypotheses)的函數(shù)：

(1) f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，

(2) f在開(kāi)區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，

(3) f (a) = f (b)，

則在開(kāi)區(qū)間(a,b)中存在至少一個(gè)點(diǎn)c,滿足f ’(c) = 0。

對(duì)于這幾個(gè)假設(shè)條件的理解：

(1) 假設(shè)f?在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),這一條實(shí)際是滿足極值定理的條件，滿足這個(gè)條件，就說(shuō)明函數(shù)f在閉區(qū)間[a,b]上既有最大值也有最小值，只不過(guò)這個(gè)極值有可能發(fā)生在兩個(gè)端點(diǎn)處。

(2) 假設(shè)f?在開(kāi)區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，也就是說(shuō)函數(shù)f在開(kāi)區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)存在。為什么要刨去兩個(gè)端點(diǎn)呢？因?yàn)樵谶@兩個(gè)端點(diǎn)處，導(dǎo)數(shù)可能不存在；另外，定理是為了將極值限定在開(kāi)區(qū)間內(nèi)部。函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，就排除了3種情況：任何不連續(xù)點(diǎn)，點(diǎn)不連續(xù)，自然沒(méi)法產(chǎn)生變化率；角點(diǎn)(corners)，即函數(shù)產(chǎn)生了突變，沒(méi)有一個(gè)明確定義的導(dǎo)數(shù),角點(diǎn)處左右極限不相等；垂直切線，垂直切線沒(méi)有導(dǎo)數(shù)，且函數(shù)值沒(méi)有最大最小，無(wú)窮大無(wú)窮小。

(3) f (a) = f (b)，這個(gè)條件是為了把常量函數(shù)包括進(jìn)去，常量函數(shù)其導(dǎo)數(shù)為0；此外，限定了兩點(diǎn)的函數(shù)相等，從直觀上來(lái)說(shuō)，不管你函數(shù)圖像在閉區(qū)間中是上升還是下降，你的函數(shù)值最終都會(huì)回到這個(gè)值，既然上升了，又下降到這個(gè)值，那么你中間一定有一個(gè)極大值，反之亦然；例如，函數(shù)在a點(diǎn)之后上升了，那么由于這個(gè)條件的限制，你在某一處一定會(huì)下降，從而回到b點(diǎn)時(shí)下降到等于a點(diǎn)的函數(shù)值；對(duì)于a點(diǎn)之后下降了也是一樣的道理。

參考資料：

<<calculus>>?Ron Larson,The Pennsylvania State University?The Behrend College
Bruce Edwards, University of Florida

<<calculus>> James Stewart