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news 2025/7/9 10:46:03
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1、基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的曲線擬合簡(jiǎn)介及原理

1）原理簡(jiǎn)介

基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Radial Basis Function Neural Network, RBFNN）的曲線擬合是一種常用的非線性擬合方法，通過(guò)在輸入空間中使用徑向基函數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，實(shí)現(xiàn)對(duì)非線性關(guān)系的擬合。

RBFNN的基本原理是將輸入空間中的數(shù)據(jù)映射到高維空間中，然后利用線性回歸方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。在RBFNN中，通常使用高斯函數(shù)作為徑向基函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

eq?%5CPhi%20%28x%29%3Dexp%28-%5Cfrac%7B%5Cleft%20%5C%7C%20z-c_%7Bi%7D%5Cright%20%5C%7C%5E%7B2%7D%7D%7B2%5Csigma%20_%7Bi%7D%5E%7B2%7D%7D%29

其中，ci?為高斯函數(shù)中心點(diǎn)，σi?為高斯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。RBFNN的結(jié)構(gòu)包括輸入層、隱含層和輸出層。輸入層接收輸入樣本，隱含層包括多個(gè)徑向基函數(shù)，輸出層進(jìn)行線性組合輸出。

在曲線擬合中，首先需要確定隱含層中的徑向基函數(shù)的數(shù)量和參數(shù)，可以通過(guò)交叉驗(yàn)證等方法來(lái)確定。然后利用訓(xùn)練數(shù)據(jù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，通過(guò)計(jì)算輸出與實(shí)際值的誤差，使用梯度下降等方法來(lái)更新網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，直到達(dá)到一定的訓(xùn)練誤差或迭代次數(shù)。

通過(guò)訓(xùn)練后的RBFNN可以用來(lái)進(jìn)行曲線擬合，即輸入一個(gè)新的數(shù)據(jù)點(diǎn)，網(wǎng)絡(luò)輸出對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)值。在實(shí)際應(yīng)用中，RBFNN能夠較好地?cái)M合非線性數(shù)據(jù)，具有較高的預(yù)測(cè)精度和泛化能力。

總的來(lái)說(shuō)，基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的曲線擬合利用徑向基函數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行映射，通過(guò)線性回歸方法實(shí)現(xiàn)對(duì)非線性數(shù)據(jù)的擬合，是一種常用的曲線擬合方法。

2）?徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)簡(jiǎn)介

徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Radial Basis Function Neural Network, RBFNN）是一種人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它通過(guò)在輸入空間中使用徑向基函數(shù)來(lái)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理和模式識(shí)別。RBFNN通常由輸入層、隱含層和輸出層組成，其中隱含層使用徑向基函數(shù)來(lái)處理輸入數(shù)據(jù)。

RBFNN的訓(xùn)練過(guò)程通常包括兩個(gè)階段：中心點(diǎn)確定和權(quán)重確定。在中心點(diǎn)確定階段，通常使用聚類(lèi)算法（如k-means算法）來(lái)確定隱含層中徑向基函數(shù)的中心點(diǎn)；在權(quán)重確定階段，通過(guò)最小化損失函數(shù)（通常是均方誤差）來(lái)確定隱含層到輸出層的權(quán)重。

RBFNN在模式識(shí)別、函數(shù)逼近、時(shí)間序列預(yù)測(cè)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。它具有記憶能力強(qiáng)、高度非線性、泛化能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，在一些問(wèn)題上比傳統(tǒng)的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有更好的性能。

總的來(lái)說(shuō)，徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種利用徑向基函數(shù)進(jìn)行非線性數(shù)據(jù)映射和處理的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，具有良好的泛化能力和逼近能力，在多個(gè)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。

3）技術(shù)方案

使用 NEWRB 函數(shù)創(chuàng)建一個(gè)徑向基網(wǎng)絡(luò)，該網(wǎng)絡(luò)可逼近由一組數(shù)據(jù)點(diǎn)定義的函數(shù)。


2、基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的曲線擬合實(shí)現(xiàn)

1）輸入數(shù)據(jù)集

說(shuō)明：定義 21 個(gè)輸入 P 和相關(guān)目標(biāo) T。

代碼

X = -1:.1:1;
T = [-.9602 -.5770 -.0729  .3771  .6405  .6600  .4609 ....1336 -.2013 -.4344 -.5000 -.3930 -.1647  .0988 ....3072  .3960  .3449  .1816 -.0312 -.2189 -.3201];
figure(1)
plot(X,T,'+');
title('徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)');
xlabel('輸入向量P');
ylabel('目標(biāo)向量T');

視圖效果

0772f856aa0e42ae9ffedcb8cf845ed5.png

2）?使用徑向基網(wǎng)絡(luò)來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合

說(shuō)明：徑向基網(wǎng)絡(luò)具有兩個(gè)層，分別是徑向基神經(jīng)元的隱藏層和線性神經(jīng)元的輸出層。
隱含層使用的徑向基傳遞函數(shù)。

代碼

x = -3:.1:3;
a = radbas(x);
figure(2)
plot(x,a)
title('Radial Basis Transfer Function');
xlabel('Input p');
ylabel('Output a');

視圖效果

8350108b858a421fae5266888e603ef7.png

3）?創(chuàng)建徑向基網(wǎng)絡(luò)

代碼

eg = 0.02; % 和平方誤差目標(biāo)
sc = 1;    % 傳播常數(shù)
net = newrb(X,T,eg,sc);
%繪制訓(xùn)練集
figure(3)
plot(X,T,'+');
xlabel('Input');X = -1:.01:1;
Y = net(X);hold on;
plot(X,Y);
hold off;
legend({'Target','Output'})

視圖效果

8ca9c9080b0e4a4f8c10fa30621a05f2.png

3、?徑向基神經(jīng)元欠疊

1）說(shuō)明

徑向基網(wǎng)絡(luò)被訓(xùn)練為用目標(biāo)輸出響應(yīng)特定輸入。
因?yàn)閺较蚧窠?jīng)元的分布程度太低，網(wǎng)絡(luò)需要許多神經(jīng)元。


創(chuàng)建數(shù)據(jù)集代碼

P = -1:.1:1;
T = [-.9602 -.5770 -.0729  .3771  .6405  .6600  .4609 ....1336 -.2013 -.4344 -.5000 -.3930 -.1647  .0988 ....3072  .3960  .3449  .1816 -.0312 -.2189 -.3201];
plot(P,T,'+r');

視圖效果

3b159f6ebb4c42968296508e3186f2ae.png

?2）創(chuàng)建網(wǎng)絡(luò)和訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)

說(shuō)明：函數(shù) NEWRB 可快速創(chuàng)建一個(gè)逼近由 P 和 T 定義的函數(shù)的徑向基網(wǎng)絡(luò)。
除了訓(xùn)練集和目標(biāo)，NEWRB 還使用了兩個(gè)參量，分別為誤差平方和目標(biāo)與分布常數(shù)。徑向基神經(jīng)元的分布設(shè)置為非常小的數(shù)量。

代碼

eg = 0.02; %和平方誤差目標(biāo)
sc = .01;  %傳播常數(shù)
hold on

3）結(jié)果顯示

說(shuō)明：將結(jié)果繪制在與訓(xùn)練集相同的圖上。測(cè)試向量顯示該函數(shù)已過(guò)擬合！如果有更高的分布常數(shù)，網(wǎng)絡(luò)可以做得更好。


代碼

net = newrb(P,T,eg,sc);
X = -1:.01:1;
Y = net(X);
plot(X,Y);

視圖效果

05d5b5d98fcf49479771ee70fda2754a.png

4、?徑向基神經(jīng)元過(guò)疊

1）說(shuō)明

徑向基網(wǎng)絡(luò)被訓(xùn)練為用目標(biāo)輸出響應(yīng)特定輸入。
由于徑向基神經(jīng)元的分布程度太高，每個(gè)神經(jīng)元的響應(yīng)基本相同，因此無(wú)法設(shè)計(jì)網(wǎng)絡(luò)。

數(shù)據(jù)集代碼

P = -1:.1:1;
T = [-.9602 -.5770 -.0729  .3771  .6405  .6600  .4609 ....1336 -.2013 -.4344 -.5000 -.3930 -.1647  .0988 ....3072  .3960  .3449  .1816 -.0312 -.2189 -.3201];
plot(P,T,'+r');

?視圖效果

2228cd83190f44e2a7aeeb3182fab18a.png

?2）創(chuàng)建網(wǎng)絡(luò)和訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)

說(shuō)明：函數(shù) NEWRB 可快速創(chuàng)建一個(gè)逼近由 P 和 T 定義的函數(shù)的徑向基網(wǎng)絡(luò)。
除了訓(xùn)練集和目標(biāo)，NEWRB 還使用了兩個(gè)參量，分別為誤差平方和目標(biāo)與分布常數(shù)。徑向基神經(jīng)元的分布設(shè)置為非常大的數(shù)量。


代碼

eg = 0.02; % 和平方誤差目標(biāo)
sc = 100;  % 傳播常數(shù)
net = newrb(P,T,eg,sc);

3）結(jié)果顯示

說(shuō)明

由于徑向基神經(jīng)元的輸入?yún)^(qū)域有很大的重疊，NEWRB 無(wú)法正確設(shè)計(jì)徑向基網(wǎng)絡(luò)。
所有神經(jīng)元始終輸出 1，因此不能用于產(chǎn)生不同響應(yīng)。要查看網(wǎng)絡(luò)在訓(xùn)練集上的表現(xiàn)，請(qǐng)使用原始輸入對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行仿真。將結(jié)果繪制在與訓(xùn)練集相同的圖上。

代碼

Y = net(P);
hold on;
plot(P,Y);

視圖效果

70be3555e18f455b8659513505509c5d.png

5、總結(jié)?

在MATLAB中，可以利用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RBFNN）進(jìn)行曲線擬合。以下是基于RBFNN的曲線擬合主要步驟的總結(jié)：

  1. 準(zhǔn)備數(shù)據(jù)：

    • 準(zhǔn)備訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，包括輸入特征?�X?和對(duì)應(yīng)的輸出標(biāo)簽?�Y。
    • 如果需要對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，可以進(jìn)行數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化或歸一化等操作。

  2. 創(chuàng)建和訓(xùn)練RBFNN模型：

    • 使用 MATLAB 的 Neural Network Toolbox 創(chuàng)建 RBFNN 模型。
    • 設(shè)置 RBFNN 模型的參數(shù)，包括隱含層神經(jīng)元數(shù)量、高斯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差等。
    • 利用訓(xùn)練數(shù)據(jù)對(duì) RBFNN 模型進(jìn)行訓(xùn)練，可以使用 MATLAB 的?train?函數(shù)。

  3. 模型評(píng)估：

    • 使用測(cè)試數(shù)據(jù)對(duì)訓(xùn)練好的 RBFNN 模型進(jìn)行評(píng)估，可以計(jì)算預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際結(jié)果的 MSE（均方誤差）等指標(biāo)來(lái)評(píng)估模型性能。

  4. 曲線擬合：

    • 輸入待預(yù)測(cè)的樣本數(shù)據(jù)，使用訓(xùn)練好的 RBFNN 模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。
    • 通過(guò)繪制實(shí)際數(shù)據(jù)點(diǎn)和 RBFNN 預(yù)測(cè)結(jié)果的曲線來(lái)展示曲線擬合效果。

下面是一個(gè)簡(jiǎn)單的用 MATLAB 進(jìn)行曲線擬合的示例代碼：

% 準(zhǔn)備數(shù)據(jù) 
X = % 輸入特征 
Y = % 輸出標(biāo)簽 % 創(chuàng)建和訓(xùn)練RBFNN模型 
net = newrb(X, Y); % 創(chuàng)建RBFNN模型 
net = train(net, X, Y); % 訓(xùn)練模型 % 模型評(píng)估Y_predicted = net(X); % 使用模型進(jìn)行預(yù)測(cè) 
MSE = mse(Y - Y_predicted); % 計(jì)算均方誤差% 曲線擬合展示 
plot(X, Y, 'b'); % 繪制原始數(shù)據(jù)曲線 
hold on plot(X, Y_predicted, 'r--'); % 繪制預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)曲線 
legend('實(shí)際數(shù)據(jù)', '預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)');

需要注意的是，在實(shí)際應(yīng)用中，為了獲得更好的模型性能，可能需要進(jìn)行參數(shù)調(diào)優(yōu)、交叉驗(yàn)證等操作。通過(guò)以上步驟，可以利用基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的曲線擬合方法在 MATLAB 中進(jìn)行實(shí)現(xiàn)和應(yīng)用。

6、源代碼

代碼

%% 基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的曲線擬合
%使用 NEWRB 函數(shù)創(chuàng)建一個(gè)徑向基網(wǎng)絡(luò)，該網(wǎng)絡(luò)可逼近由一組數(shù)據(jù)點(diǎn)定義的函數(shù)。
%% 輸入數(shù)據(jù)集
%定義 21 個(gè)輸入 P 和相關(guān)目標(biāo) T。
X = -1:.1:1;
T = [-.9602 -.5770 -.0729  .3771  .6405  .6600  .4609 ....1336 -.2013 -.4344 -.5000 -.3930 -.1647  .0988 ....3072  .3960  .3449  .1816 -.0312 -.2189 -.3201];
figure(1)
plot(X,T,'+');
title('徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)');
xlabel('輸入向量P');
ylabel('目標(biāo)向量T');
%% 使用徑向基網(wǎng)絡(luò)來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合
%徑向基網(wǎng)絡(luò)具有兩個(gè)層，分別是徑向基神經(jīng)元的隱藏層和線性神經(jīng)元的輸出層。
%隱含層使用的徑向基傳遞函數(shù)。
x = -3:.1:3;
a = radbas(x);
figure(2)
plot(x,a)
title('Radial Basis Transfer Function');
xlabel('Input p');
ylabel('Output a');
%% 創(chuàng)建徑向基網(wǎng)絡(luò)
eg = 0.02; % 和平方誤差目標(biāo)
sc = 1;    % 傳播常數(shù)
net = newrb(X,T,eg,sc);
%繪制訓(xùn)練集
figure(3)
plot(X,T,'+');
xlabel('Input');X = -1:.01:1;
Y = net(X);hold on;
plot(X,Y);
hold off;
legend({'Target','Output'})%% 徑向基神經(jīng)元欠疊 
%徑向基網(wǎng)絡(luò)被訓(xùn)練為用目標(biāo)輸出響應(yīng)特定輸入。
%因?yàn)閺较蚧窠?jīng)元的分布程度太低，網(wǎng)絡(luò)需要許多神經(jīng)元。
%快速創(chuàng)建一個(gè)逼近由 P 和 T 定義的函數(shù)的徑向基網(wǎng)絡(luò)
P = -1:.1:1;
T = [-.9602 -.5770 -.0729  .3771  .6405  .6600  .4609 ....1336 -.2013 -.4344 -.5000 -.3930 -.1647  .0988 ....3072  .3960  .3449  .1816 -.0312 -.2189 -.3201];
plot(P,T,'+r');
%函數(shù) NEWRB 可快速創(chuàng)建一個(gè)逼近由 P 和 T 定義的函數(shù)的徑向基網(wǎng)絡(luò)。
%除了訓(xùn)練集和目標(biāo)，NEWRB 還使用了兩個(gè)參量，分別為誤差平方和目標(biāo)與分布常數(shù)。徑向基神經(jīng)元的分布設(shè)置為非常小的數(shù)量。
eg = 0.02; %和平方誤差目標(biāo)
sc = .01;  %傳播常數(shù)
hold on
%將結(jié)果繪制在與訓(xùn)練集相同的圖上。測(cè)試向量顯示該函數(shù)已過(guò)擬合！如果有更高的分布常數(shù)，網(wǎng)絡(luò)可以做得更好。
net = newrb(P,T,eg,sc);
X = -1:.01:1;
Y = net(X);
plot(X,Y);%% 徑向基神經(jīng)元過(guò)疊
%徑向基網(wǎng)絡(luò)被訓(xùn)練為用目標(biāo)輸出響應(yīng)特定輸入。
%由于徑向基神經(jīng)元的分布程度太高，每個(gè)神經(jīng)元的響應(yīng)基本相同，因此無(wú)法設(shè)計(jì)網(wǎng)絡(luò)。
P = -1:.1:1;
T = [-.9602 -.5770 -.0729  .3771  .6405  .6600  .4609 ....1336 -.2013 -.4344 -.5000 -.3930 -.1647  .0988 ....3072  .3960  .3449  .1816 -.0312 -.2189 -.3201];
plot(P,T,'+r');
%函數(shù) NEWRB 可快速創(chuàng)建一個(gè)逼近由 P 和 T 定義的函數(shù)的徑向基網(wǎng)絡(luò)。
%除了訓(xùn)練集和目標(biāo)，NEWRB 還使用了兩個(gè)參量，分別為誤差平方和目標(biāo)與分布常數(shù)。徑向基神經(jīng)元的分布設(shè)置為非常大的數(shù)量。
eg = 0.02; % 和平方誤差目標(biāo)
sc = 100;  % 傳播常數(shù)
net = newrb(P,T,eg,sc);
%由于徑向基神經(jīng)元的輸入?yún)^(qū)域有很大的重疊，NEWRB 無(wú)法正確設(shè)計(jì)徑向基網(wǎng)絡(luò)。
%所有神經(jīng)元始終輸出 1，因此不能用于產(chǎn)生不同響應(yīng)。要查看網(wǎng)絡(luò)在訓(xùn)練集上的表現(xiàn)，請(qǐng)使用原始輸入對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行仿真。將結(jié)果繪制在與訓(xùn)練集相同的圖上。Y = net(P);
hold on;
plot(P,Y);

?

?

http://www.risenshineclean.com/news/50541.html

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