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什么是對(duì)稱(chēng)?
對(duì)稱(chēng)是一個(gè)保持對(duì)象結(jié)構(gòu)不變的變換,對(duì)稱(chēng)是一個(gè)過(guò)程,而不是一個(gè)具體的事物,伽羅瓦的對(duì)稱(chēng)是對(duì)方程根的置換,而一個(gè)置換就是對(duì)一系列事物的重排方式,嚴(yán)格的說(shuō),它也并不是這個(gè)重排本身,而是你實(shí)施重排時(shí)遵循的規(guī)則,不是菜,而是菜譜。
在對(duì)稱(chēng)的定義中,有三個(gè)關(guān)鍵詞"變換" transformation, “結(jié)構(gòu)”structure, 以及"保持“preserve.以等邊三角形為例來(lái)解釋,根據(jù)定義,等邊三角形的三條邊長(zhǎng)度相等,三個(gè)角大小相等,都是60度,這樣的特征讓人很難把它的三條邊區(qū)別開(kāi)來(lái),“最長(zhǎng)的邊"這種說(shuō)法毫無(wú)意義,三個(gè)角也無(wú)法區(qū)分,這種無(wú)法區(qū)分各邊或各角的情況正是由等邊三角形所具有的對(duì)稱(chēng)造成的,事實(shí)上,正式這種“無(wú)法區(qū)分”定義了對(duì)稱(chēng)。
變換:我們可以對(duì)一個(gè)三角形進(jìn)行一些操作,原則上來(lái)說(shuō),我們可以做的有很多:把它彎曲,旋轉(zhuǎn)(或翻轉(zhuǎn))一定的角度,折皺,像皮筋一樣拉伸,涂上顏色,但我們的選擇范圍被第二個(gè)詞限制住了。
結(jié)構(gòu):我們這個(gè)三角形的結(jié)構(gòu)是由被認(rèn)為非常重要的數(shù)學(xué)特征組成的,三角形的結(jié)構(gòu)包括諸如“它有三條邊”,“三條邊是直的”,“每條邊的長(zhǎng)度是10厘米”“它位于當(dāng)前這個(gè)平面內(nèi)”,等內(nèi)容,在其他數(shù)學(xué)分支中,重要的特征可能會(huì)有所不同,比如在拓?fù)鋵W(xué)中,唯一重要的就是三角形構(gòu)成了一個(gè)簡(jiǎn)單封閉曲線,至于它有三個(gè)轉(zhuǎn)角,它的邊是直的這些特征就不再重要了。
保持:變換后對(duì)象的結(jié)構(gòu)必須與原來(lái)的一致,變換后的三角形必須同樣有三條邊,所以弄皺是不行的,邊必須是直的,所以彎曲也不可以,每條邊的長(zhǎng)度必須還是10厘米,所以拉伸也是禁止的,位置要保持在原地,所以挪動(dòng)位置也是不允許的。
顏色不是我們要考慮的結(jié)構(gòu),所以像魔方那樣不同的顏色狀態(tài),我們認(rèn)為是保持對(duì)稱(chēng)的變換。包括教材中用于演示操作的標(biāo)記,數(shù)字等等,這些標(biāo)記僅僅作為標(biāo)記使用,并不屬于需要保持的結(jié)構(gòu),如果不看這些標(biāo)記,旋轉(zhuǎn)(翻轉(zhuǎn))后的三角形看起來(lái)就和原來(lái)完全一樣。
對(duì)于一個(gè)對(duì)稱(chēng)圖形構(gòu)成的群來(lái)說(shuō),它的元素是圖形所有的對(duì)稱(chēng)狀態(tài),比如對(duì)于正三角形,它有兩種操作(沿垂直方向翻轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)90度,或者理解為沿著三個(gè)角的對(duì)稱(chēng)軸翻轉(zhuǎn)的三種操作和旋轉(zhuǎn)120,240度,0度)對(duì)應(yīng)六種對(duì)稱(chēng)狀態(tài),所以群的階就是6.對(duì)于圓這種完美的對(duì)稱(chēng)圖形,它的對(duì)稱(chēng)軸有無(wú)窮多個(gè),無(wú)論翻轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)任意角度都是對(duì)稱(chēng)的,所以群的階為無(wú)窮大。)
群定義
滿足四條群公里的集合叫做群,設(shè)集合為G,其中任意元素a,b,c.
1.封閉性,a*b屬于G。
2.結(jié)合律,(a*b)*c = a*(b*c).
3.存在單位元,G中存在一個(gè)元素e,使得a*e=e*a=a. e是唯一的。
4.存在逆元,對(duì)于每個(gè)G中a,存在一個(gè)G中的逆元x,使得a*x=x*a=e.x是唯一的。
記號(hào)*代表一種預(yù)先定義的運(yùn)算,這種運(yùn)算叫做“乘法”, 它是一種定義寬泛的操作,似乎所有操作都可以滿足,a*b表示先做b操作再做a操作,這種從右到左的計(jì)算方式是為了和復(fù)合函數(shù)f*g(x) = f(g(x))的寫(xiě)法習(xí)慣保持一致。
對(duì)稱(chēng)群:
對(duì)稱(chēng)群包含對(duì)某一幾何對(duì)象的所有對(duì)稱(chēng)操作,例如旋轉(zhuǎn)和反射(翻轉(zhuǎn)),對(duì)陳群在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和密碼學(xué)中有重要作用。
正六面體轉(zhuǎn)動(dòng)群_百度百科
對(duì)稱(chēng)群的階(也就是保持幾何對(duì)象對(duì)稱(chēng)的操作個(gè)數(shù))依賴(lài)于幾何對(duì)象的結(jié)構(gòu)本身。比如對(duì)于立方體來(lái)說(shuō),其對(duì)稱(chēng)操作很少,階僅僅是24,但是如果將其切為三階魔方,則其對(duì)稱(chēng)操作立刻膨脹到一個(gè)極大的數(shù)字。
一個(gè)給定集合的所有置換構(gòu)成的群叫做對(duì)稱(chēng)群,通常記為,一個(gè)具有N個(gè)元素的集合,由它的所有置換構(gòu)成的對(duì)稱(chēng)群的元素的個(gè)數(shù)自然就是N的階乘
個(gè)。任何有限群都可以看成是對(duì)稱(chēng)群的子群。
正二面體群示意圖,畫(huà)成凱萊圖如下:
包括的操作:?1.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度.2.沿著F東北-西南方向翻轉(zhuǎn)180度
?1.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度.2.沿著F中線左右方向翻轉(zhuǎn)180度
上下兩圖內(nèi)部箭頭相反是下面的箭頭表示逆元操作,這個(gè)也叫做D4群。
S3全置換群
思考后,感覺(jué)下面這幅凱萊圖才是對(duì)的:
2024/12/17糾正:上面的是錯(cuò)誤理解,最開(kāi)始的是對(duì)的,比如,上面的圖,內(nèi)部是陪群,同樣的翻轉(zhuǎn)操作,在內(nèi)部和外部是相反的。矛盾。
從下圖可以明顯看出來(lái){e, r, r^2} 和{e, f}構(gòu)成了兩個(gè)子群,因?yàn)榘阉麄兊膭P萊表抽出來(lái),也構(gòu)成一個(gè)群,兩個(gè)子群的階分別是3和2,也是父群的因子,符合拉格朗日定理。
S3有四個(gè)非平凡子群,它們包括:
以第四個(gè)為例,
子群
子群
子群
子群
S3的軌道圖如下,每個(gè)軌道表示一個(gè)周期變化的子群,這些子群共享單位元操作e.
一維空間只有平移操作,二維空間可以定義一個(gè)翻轉(zhuǎn),如上面的三角形。
S3構(gòu)成對(duì)稱(chēng)的操作抽象出來(lái)如下圖右側(cè), 有相關(guān)性的操作也是獨(dú)立的對(duì)稱(chēng)操作。
運(yùn)算從右向左進(jìn)行,也就是從左向右看,先做第二個(gè)操作,在做第一個(gè)操作:
凱萊圖怎么看?
根據(jù)上面S3的凱萊圖來(lái)看,每個(gè)運(yùn)算結(jié)果為首先執(zhí)行單元所在的列對(duì)應(yīng)的運(yùn)算,然后再做單元所在的行的運(yùn)算。以rf為例,表示先做列表示的f操作,在做行表示的r操作。
?
表示做兩次R在做F,等于做一次F后在做一次R。根據(jù)凱萊表可以看出,這個(gè)公式是對(duì)的。
群舉例
要把群的元素和群的操作分開(kāi),以模仿群為例,模仿群一共有19種轉(zhuǎn)動(dòng)操作,分別是六個(gè)面的
1.轉(zhuǎn)動(dòng)90度
2.轉(zhuǎn)動(dòng)180度
3.轉(zhuǎn)動(dòng)270度
六個(gè)面一共3x6 = 18種操作,再加上什么都不做的恒等變換,一共19種操作。更深入分析,每個(gè)面的三個(gè)操作實(shí)際上是一個(gè)操作的不斷重演生成的,這個(gè)操作就是“旋轉(zhuǎn)90度”。
而三階魔方群的階也就是三階魔方群元素的數(shù)量,則有43,252,003,274,489,856,000個(gè)之多。
而操作也可以構(gòu)成一個(gè)群,用e表示什么都不動(dòng),r表示旋轉(zhuǎn)90度,則操作構(gòu)成一個(gè)三階置換群:
S2置換群
整數(shù)加法群,操作是加法,集合是全體整數(shù)
1.封閉性:a,b是整數(shù),則a+b是整數(shù).
2.結(jié)合性:a,b,c是整數(shù),則(a+b)+c = a + (b + c)
3.單位元為0,a是整數(shù),0屬于整數(shù),a+0 = 0 + a = a.作后用a不變。
4.消去公里(逆元公理)對(duì)于任何整數(shù)a,存在-a屬于整數(shù),且a+(-a) = 0結(jié)果為單位元,所以任何一個(gè)整數(shù)都存在一個(gè)逆。滿足群公理。
所以全體整數(shù)和加法操作,組成一個(gè)群。
整數(shù)除以5的余數(shù)構(gòu)成的集合,二元運(yùn)算是集合內(nèi)的元素首先加再除以5取余數(shù),
8除以5余3,-8除以5余2,余數(shù)集合為{0,1,2,3,4}.
1.封閉性:a,b是集合元素,則 (a+b)/5 還是屬于集合。
2.結(jié)合性:比如2,3,4. (2 op 3) op 4 = 0 op 4 = 4 = 2 op (3 op 4) = 2 op 2 = 4.
3.單位元是0,a是集合元素,a op 0 = a.
4.消去公里(逆元公理), (0 + 0)%5 = 0, (1+0)%5 = 1, (2+0)%5 = 2, (3+0)%5 = 3, (4 + 0) % 5 = 4.
整數(shù)在乘法下不構(gòu)成群,理由如下:
因?yàn)閷?duì)于乘法來(lái)說(shuō),只能用1作為單位元,而一個(gè)整數(shù)n的倒數(shù)1/n是逆元,而1/n不是整數(shù)。同時(shí)0也不存在逆元0*X = 1? 這樣的X不存在?。群公里三和四都不滿足。所以整數(shù)在乘法下不構(gòu)成群。
正整數(shù)和0在加法操作下不夠成群,因?yàn)槌?,任何其他元素都沒(méi)有逆元。
除0之外的所有的有理數(shù)在乘法下構(gòu)成群。
1.顯然成立。
2.顯然成立。
3.存在單位元1,任何分?jǐn)?shù)和單位元乘法均為原數(shù)。
4.存在逆元,即原數(shù)的倒數(shù),倒數(shù)也是有理數(shù)。
之所以除了0之外的有理數(shù)才是群,是因?yàn)?首先是有理數(shù),其次,0不存在逆元,0沒(méi)有倒數(shù),乘以任何數(shù)都是0,所以不存在逆元,雖然滿足1,2,3,但是不滿足4.
如何涉及到乘法的群,要小心0的反例。
所有有理數(shù)(包含0)的加法構(gòu)成群。
1.顯然成立。
2.顯然成立。
3.存在單位元0,任何有理數(shù)+0都是原數(shù)。
4.存在逆元,即原有理數(shù)的負(fù)數(shù)。單位元0的逆元是它本身。
群的逆元和單位元都是唯一的。
拉格朗日定理:子群階數(shù)一定是群階數(shù)的約數(shù)嗎?_百度知道
八階二面體群
證明循環(huán)群一定是阿貝爾群?(交換群)
令生成元為a,循環(huán)群中任意兩個(gè)元素可表示為a的冪,我們有:
所以循環(huán)群一定是阿貝爾群
如何衡量對(duì)稱(chēng)性?根據(jù)什么說(shuō)一個(gè)圖形比另一個(gè)圖形更對(duì)稱(chēng)? 對(duì)稱(chēng)操作的個(gè)數(shù)?也就是群的階?
方程“不知道”你如何排列它的根,所以把這些根排列成什么樣都不應(yīng)該有什么重大的影響。
修正凱萊圖的運(yùn)算先后順序,先右后左,得到新的8階2面體群。
數(shù)學(xué)女孩-伽羅瓦理論讀書(shū)筆記
以下五個(gè)操作一次執(zhí)行,得到什么結(jié)果? 計(jì)算過(guò)程如下圖所示,和書(shū)中一致。
如果去掉“撲通向下”沒(méi)有意義的作用(相當(dāng)于單位元),則構(gòu)成更加緊湊的變換形式:
長(zhǎng)方形四階群,兩個(gè)操作四種對(duì)稱(chēng)狀態(tài),fr也可以看成是正方形的旋轉(zhuǎn)180度對(duì)稱(chēng),和兩次翻轉(zhuǎn)等價(jià)。
長(zhǎng)方形對(duì)稱(chēng)群,棱形對(duì)稱(chēng)群都是克萊四元群,它是最小的非循環(huán)群,和兩二階循環(huán)群做直積同構(gòu):
和長(zhǎng)方形四階群同構(gòu)的是兩個(gè)電燈開(kāi)關(guān)群,通過(guò)這個(gè)群可以看出,群的元素是操作的組合,但是是否所有組合的狀態(tài)都是群的元素,需要對(duì)比組合后的對(duì)象狀態(tài)是否一樣,如果兩個(gè)不同的操作組合得到的是一個(gè)狀態(tài),則這兩個(gè)操作序列只能任選一個(gè)作為群元素。具體的說(shuō),如果一個(gè)操作不影響原來(lái)圖形在空間中的位置,但是改變了標(biāo)記的序號(hào)(比如S3中的1,2,3),但仍能保證物理占據(jù)原來(lái)的空間,這樣的操作才是群中元素,否則,如果空間不便,序號(hào)也不變,那就是沒(méi)有操作的e.總而言之,群中的操作是那些保持位置不變,而記號(hào)改變的所有的操作的集合。
長(zhǎng)方形四階群是上圖八階二面體群的一個(gè)子群,對(duì)比F的狀態(tài),我們可以抽取和長(zhǎng)方形四階群對(duì)應(yīng)的八階二面體群的對(duì)應(yīng)狀態(tài)為:
在八階二面體群子群中,其凱萊表為:
r作用其左陪集為:
f作用其左陪集為:
r^2作用,其左陪集為其本身:
r^3作用,其左陪集為:
rf作用,其左陪集為:
r^2f作用,其左陪集為:
r^3f作用,其左陪集為:
r作用其右陪集為:
f作用其右陪集為:
r^2作用,其右陪集為其本身:
r^3作用,其右陪集為:
rf作用,其右陪集為:
r^2f作用,其右陪集為:
r^3f作用,其右陪集為:
看上去左陪集等于右陪集,八階二面體群是正規(guī)子群?
八階二面體群的狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖,左右兩幅圖是等價(jià)的:
以右圖為例,如果將進(jìn)行f操作,則所有狀態(tài)都將進(jìn)入其中同一個(gè)陪集。如果都進(jìn)行r操作,也是同樣的進(jìn)入同一個(gè)陪集。如果都進(jìn)行r^2相當(dāng)于交換位置,還是原來(lái)的子群。從這幅圖上可以體會(huì)群,子群,陪集的幾何意義。八階二面體群就是D4群。
阿貝爾群的可視化方法
循環(huán)群一定是阿貝爾群,因?yàn)橹粚?duì)應(yīng)一個(gè)生成元操作,同一個(gè)操作無(wú)論進(jìn)行多少次都是可以拆分交換的。所以素?cái)?shù)階群一定是循環(huán)群,也一定是阿貝爾群。
群運(yùn)算可交換性決定了在阿貝爾群的凱萊圖中,從同一結(jié)點(diǎn)出發(fā)的每對(duì)箭頭都應(yīng)該形成一個(gè)閉合的“菱形”。是不是標(biāo)準(zhǔn)的菱形并不重要,重要的是連接的模式。如下圖所示,在阿貝爾群的凱萊圖中不會(huì)出現(xiàn)左邊這種模式,永遠(yuǎn)都是右邊這種模式。
按照這個(gè)規(guī)則,S3是非阿貝爾群,D4也是非阿貝爾群, 克萊因四元群是阿貝爾群。
資源
https://www.ism.ac.jp/~fukumizu/MLSS2024_OIST_fukumizu.pdf
百度安全驗(yàn)證
群論系列(一):群論簡(jiǎn)介 | Blog de Hqak (WXYHLY)
有限單群:一段百年征程 | fwjmath的相空間
群論基礎(chǔ)速成(6):五大著名群族_群論的可視化方法 pan-CSDN博客
https://zhuanlan.zhihu.com/p/677555329
https://v.youku.com/v_show/id_XMTUwMzc0MzMzNg==.html?spm=a2hzp.8244740.userfeed.5!3~5~5~5!3~5~A
https://www.zhihu.com/question/387860666/answer/3572206393
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%97%E7%BE%A4
奧數(shù)平移知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
群論學(xué)習(xí)網(wǎng)站:
?伽羅瓦理論究竟想干什么?
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