目錄

1. 浮點(diǎn)數(shù)在內(nèi)存中的存儲

1.1 浮點(diǎn)數(shù)的大V表示法

1.2 浮點(diǎn)數(shù)的存儲格式

1.3?浮點(diǎn)數(shù)的存入規(guī)則

1.4?浮點(diǎn)數(shù)的讀取規(guī)則

1.5 補(bǔ)充：移碼與掩碼

1.6?題目解析

2.?易錯(cuò)的二進(jìn)制知識

2.0?符號位到底會不會參與運(yùn)算？

2.0.1 存儲前的編碼變化運(yùn)算

2.0.2 存儲后的數(shù)值算術(shù)運(yùn)算

2.1?整數(shù)都以補(bǔ)碼進(jìn)行存儲和運(yùn)算 & 整型提升的2種情況

2.1.1 存儲前的整型提升 與 補(bǔ)碼

2.1.2?運(yùn)算時(shí)的整型提升 與 補(bǔ)碼（補(bǔ)碼的運(yùn)算）

2.3 unsigned對數(shù)據(jù)的本質(zhì)影響

2.3.1?unsigned控制讀取方式(打印方式)，不控制數(shù)據(jù)的存儲

2.3.2 unsigned控制運(yùn)算時(shí)的整型提升

2.3.3 易錯(cuò)：用%u打印char型數(shù)據(jù)，不代表該數(shù)據(jù)被unsigned修飾

2.4?圖示總結(jié)

1. 浮點(diǎn)數(shù)在內(nèi)存中的存儲

常?的浮點(diǎn)數(shù)：3.14159、1E10等，浮點(diǎn)數(shù)家族包括： float、double、long double 類型。 浮點(diǎn)數(shù)表?的范圍在?float.h 中定義

1.1 浮點(diǎn)數(shù)的大V表示法

根據(jù)國際標(biāo)準(zhǔn)IEEE（電?和電??程協(xié)會）754，任意?個(gè)?進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)V可以表示成下?的形式：

????????????????????????????????????????????????

• (?1)^S 表示符號位。當(dāng)S=0，V為正數(shù)；當(dāng)S=1，V為負(fù)數(shù)。?
• M 表示有效數(shù)字，M大于等于1，小于2。(1 <= M < 2)
• 2^E 表示指數(shù)位。

其實(shí)這個(gè)公式就是二進(jìn)制的科學(xué)計(jì)數(shù)法，這與十進(jìn)制的科學(xué)計(jì)數(shù)法類似( (-1)^S * M *?10^E )

舉例來說：

(1)十進(jìn)制的5.0，寫成?進(jìn)制是：101.0 ，相當(dāng)于 1.01×2^2 。

那么，按照大V表示法的格式，可以得出S=0，M=1.01，E=2。

(2)?進(jìn)制的-5.0，寫成?進(jìn)制是 -101.0 ，相當(dāng)于 -1.01×2^2 。

那么，S=1，M=1.01，E=2。

(3)十進(jìn)制的0.25，寫成二進(jìn)制是 0.01，相當(dāng)于 1× 2^(-2)

那么，S=0，M=1.0，E= -2。

1.2 浮點(diǎn)數(shù)的存儲格式

IEEE 754規(guī)定，對于32位的浮點(diǎn)數(shù)(float)：

(1)最高的1位存儲符號位S

(2)接著的8位存儲指數(shù)位E

(3)剩下的23位存儲尾數(shù)位M

IEEE 754規(guī)定，對于64位的浮點(diǎn)數(shù)(double)：

(1)最高的1位存儲符號位S

(2)接著的11位存儲指數(shù)位E

(3)剩下的52位存儲尾數(shù)位M

long double類型通常占用更多的內(nèi)存空間，一般是10到12個(gè)字節(jié)（80到96位），但在某些系統(tǒng)上可能達(dá)到16個(gè)字節(jié)（128位）。這里不多做解釋。

1.3?浮點(diǎn)數(shù)的存入規(guī)則

IEEE 754 對于有效數(shù)字M和指數(shù)E，還有?些特別規(guī)定。

M的存入規(guī)則：

• 前?說過1≤M<2 。也就是說，M可以寫成 1.xxxxxx 的形式，其中 xxxxxx 表示小數(shù)部分。
• IEEE 754 規(guī)定，在計(jì)算機(jī)內(nèi)部保存M時(shí)，默認(rèn)這個(gè)數(shù)的第?位總是1，因此可以被舍去，只保存后面的 xxxxxx 部分。

?如保存1.01的時(shí)候，只保存01，等到讀取的時(shí)候，再把第?位的1加上去。

這樣做的目的，是節(jié)省1位有效數(shù)字。以32位浮點(diǎn)數(shù)為例，留給M只有23位，將第?位的1舍去以后，等于可以保存24位有效數(shù)字。

E的存入規(guī)則：

• 首先，E為?個(gè)無符號整數(shù)（unsigned int）。

這意味著，如果E為8位，它的取值范圍為0~255；如果E為11位，它的取值范圍為0~2047。但是科學(xué)計(jì)數(shù)法中的E是可以出現(xiàn)負(fù)數(shù)的。

• 所以IEEE 754規(guī)定，存?內(nèi)存時(shí)E的真實(shí)值必須再加上一個(gè)中間數(shù)（偏移量）。
• 對于8位的E，這個(gè)中間數(shù)是127；(2的8次方是256，255 / 2 == 127)
• 對于11位的E，這個(gè)中間數(shù)是1023。(2的11次方是2048，2047 / 2 == 1023)

?如，2^10的E等于10，所以保存成32位浮點(diǎn)數(shù)時(shí)，必須保存成10+127=137，即10001001。

1.4?浮點(diǎn)數(shù)的讀取規(guī)則

由于指數(shù)E有特殊情況，M的讀取也跟著不一樣：（主要分為三種情況）

1. E的存入值不全為0或不全為1（一般情況）

• 指數(shù)E的存入值減去127（或1023），得到真實(shí)值。
• M的讀取：得到真實(shí)值后，再將小數(shù)部分(尾數(shù)位)前加上第?位的1，變回1.xxxxxx 的形式。

?如：

十進(jìn)制數(shù)0.5 的?進(jìn)制形式為0.1，大V表示法為1.0 * 2^(-1)

其指數(shù)位E為-1+127(中間值)=126，存入為01111110

而尾數(shù)位M是1.0，去掉整數(shù)部分為0，補(bǔ)?0到23位 00000000000000000000000，則其?進(jìn)制表示形式為:

0 01111110 00000000000000000000000?

2. E的存入值全為0

如果是2^(-127)的話，這個(gè)數(shù)太小了，無限接近0。由于這樣的數(shù)字精度不太夠，IEEE 754規(guī)定：

• M的讀取：尾數(shù)位不再加上第一位的1，?是當(dāng)作為 0.xxxxxx 的小數(shù)來約分處理。
• 規(guī)定指數(shù)E等于?-126（或者-1022）即為真實(shí)值。

該情況下的3種意義：這樣做是為了表示±0，以及接近于0的數(shù)字。

1. +0：符號位為0，8個(gè)(或11個(gè))指數(shù)位為全為0，23個(gè)(或52個(gè))尾數(shù)位全為0。
2. -0：符號位為1，8個(gè)(或11個(gè))指數(shù)位為全為0，23個(gè)(或52個(gè))尾數(shù)位全為0。
3. 接近0的數(shù)字：8個(gè)(或11個(gè))指數(shù)位為全為0，尾數(shù)位不全為0。

解析：

你可以理解成：有效數(shù)字從1.xxxxxx 變成了?0.1xxxxx 的形式，既然有效數(shù)字向右退位了，那么指數(shù)部分就要+1補(bǔ)位，所以E的真實(shí)值是1-127（或者1-1023）。

3. E的存入值全為1

如果是2^(128)的話，這個(gè)數(shù)太大了。這樣的數(shù)字精度也不太夠，IEEE 754規(guī)定：

• M的讀取：此時(shí)尾數(shù)位也不進(jìn)行添1操作。
• 此時(shí)真實(shí)值E無效。

該情況下也有三種意義：

1. 正無窮(+∞或+inf)：符號位為0，指數(shù)位全為1，尾數(shù)位全為0。
2. 負(fù)無窮(-∞或-inf)：符號位為1，指數(shù)位全為1，尾數(shù)位全為0。
3. 不存在的數(shù)字(NaN，Not a Number)：指數(shù)位全為1，尾數(shù)位存在1。

1.5 補(bǔ)充：移碼與掩碼

還有幾點(diǎn)我想要補(bǔ)充一下：

補(bǔ)充1：

• 浮點(diǎn)數(shù)指數(shù)位的存儲和運(yùn)算，使用的不是原碼、反碼和補(bǔ)碼，而是移碼（“偏移量”或“偏移二進(jìn)制編碼”）。

補(bǔ)充2：

• 移碼的運(yùn)算規(guī)則：用二進(jìn)制存儲偏移后的E，用十進(jìn)制來計(jì)算真實(shí)值的E。
• 指數(shù)位雖然是無符號整型，但由于移碼運(yùn)算的特殊性（二進(jìn)制存儲，十進(jìn)制計(jì)算），所以指數(shù)位不會發(fā)生數(shù)據(jù)截?cái)?/span>。

舉個(gè)例子：

假如在float型中，E的真實(shí)值是-2，存入的過程并不是：

• 1111 1110 (-2的補(bǔ)碼) + 0111 1111 (127的補(bǔ)碼) 得到1 0111 1101，再截?cái)喽喑龅?位，變成0111 1101 (125的補(bǔ)碼)

而是這樣：

• 存入時(shí)的10進(jìn)制計(jì)算：-2+127=125
• 以2進(jìn)制存入：111 1101 (-2的移碼)（這個(gè)就是數(shù)學(xué)上的二進(jìn)制數(shù)字，并不是原碼，反碼或補(bǔ)碼）
• 取出時(shí)的10進(jìn)制計(jì)算：先讀取：111 1101 (2進(jìn)制數(shù)字) == 125 (10進(jìn)制數(shù)字)；再計(jì)算：125 -127 = -2

補(bǔ)充3：

(1)尾數(shù)位M的存入：

尾數(shù)位采取掩碼的方式存儲。在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，掩碼通常是一個(gè)二進(jìn)制序列，用來選擇或隱藏特定的數(shù)據(jù)位。在浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)位中，中隱藏了有效數(shù)字的1 。

(2)尾數(shù)位的大小：

還沒補(bǔ)回1的尾數(shù)位序列，從左向右，位數(shù)依次減少，最高位是2的-1次方。

補(bǔ)充4：

浮點(diǎn)數(shù)的計(jì)算器 與 整數(shù)的計(jì)算器是不同的。

(浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算器被設(shè)計(jì)出來專門處理帶有小數(shù)點(diǎn)的數(shù)值，采用不同的運(yùn)算方式，這也是移碼和掩碼存在的意義 以及 移碼運(yùn)算性質(zhì)不同的原因)

1.6?題目解析

判斷下面這段代碼會輸出什么：

int main()
{int n = 9;float *pFloat = (float *)&n;printf("n的值為：%d\n",n);printf("*pFloat的值為：%f\n",*pFloat);*pFloat = 9.0;printf("num的值為：%d\n",n);printf("*pFloat的值為：%f\n",*pFloat);return 0;
}

代碼結(jié)果：

這種情況出現(xiàn)的本質(zhì)是，存儲的方式與讀取的方式不匹配。?

代碼的上半部分中，整數(shù)9存入了整型變量n中，它的二進(jìn)制編碼是：

00000000?00000000?00000000?00001001（9的補(bǔ)碼）

• %d是以整數(shù)的方式讀取內(nèi)存（以補(bǔ)碼的方式讀取），讀取的結(jié)果就是9。
• %f 是以浮點(diǎn)數(shù)的方式讀取內(nèi)存（以移碼+偏碼的方式讀取），由于指數(shù)位全是0，且尾數(shù)位太小精度不夠(默認(rèn)顯示6位小數(shù))，所以顯示的是0.000000。

代碼的下半部分中，通過指針把浮點(diǎn)數(shù)9.0存入n的內(nèi)存空間中，其二進(jìn)制編碼是：

【大概的樣子】0?01111110?111001100110011001000000

( 0.9無法用二進(jìn)制完全表示，約等于1.111 * 2^(-1) ）

• ?%d當(dāng)做整數(shù)去讀取，這里最高的二進(jìn)制位已經(jīng)是2^30了，所以最終結(jié)果是一個(gè)很大的整數(shù)。?
• %f 就正常讀取一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)，所以結(jié)果是9.000000。? ? ? ? ? ? ? ? ??

2.?易錯(cuò)的二進(jìn)制知識

2.0?符號位到底會不會參與運(yùn)算？

我們知道，為了表示區(qū)分正負(fù)數(shù)，規(guī)定了數(shù)據(jù)類型的最高位二進(jìn)制位為符號位。又由于計(jì)算機(jī)只有加法器，沒有減法器，我們創(chuàng)造了補(bǔ)碼。

原碼的符號位和補(bǔ)碼的符號位是一樣的，那么符號位其實(shí)會不會參與運(yùn)算呢？

這得分兩種情況討論：

2.0.1 存儲前的編碼變化運(yùn)算

由原碼得到補(bǔ)碼的過程是：原碼符號位不變，數(shù)值位按位取反得到反碼，再對反碼+1得到補(bǔ)碼。

由補(bǔ)碼得到原碼的過程是：補(bǔ)碼符號位不變，數(shù)值位按位取反得到補(bǔ)碼的反碼，再對該反碼+1得到原碼。

原碼、反碼、補(bǔ)碼 相互轉(zhuǎn)換，這些的過程就是編碼變化運(yùn)算。

我們注意到：由原碼得到補(bǔ)碼時(shí)，符號位并不會發(fā)生變化而且該運(yùn)算發(fā)生在數(shù)據(jù)存儲到內(nèi)存空間之前。所以編碼變化運(yùn)算中的符號位并不會真實(shí)參與運(yùn)算。

計(jì)算機(jī)執(zhí)行該運(yùn)算的硬件是邏輯單元（ALU）。當(dāng)需要將一個(gè)數(shù)的原碼轉(zhuǎn)換為補(bǔ)碼時(shí)，計(jì)算機(jī)會檢查原碼的最高位（符號位），如果符號位為0（表示正數(shù)），則原碼與補(bǔ)碼相同；若符號位為1（表示負(fù)數(shù)），則需要將除符號位外的其他位取反（即0變?yōu)?，1變?yōu)?），然后整體加1。

2.0.2 存儲后的數(shù)值算術(shù)運(yùn)算

在數(shù)據(jù)保存在內(nèi)存空間后（或暫存到內(nèi)存后），此后的一系列算術(shù)運(yùn)算，符號位會真實(shí)參與到算術(shù)運(yùn)算當(dāng)中。

比如，我們用char計(jì)算2-1的結(jié)果：a = 2 - 1。

第一步：存儲數(shù)據(jù)

2和-1的數(shù)據(jù)會暫存到加法器的內(nèi)存中，由于沒有減法器，我們采用的是補(bǔ)碼的加法。

2的char大小的型補(bǔ)碼是00000010；-1的char型大小的補(bǔ)碼是11111111。

第二步：存儲后的整型提升

由于char型數(shù)據(jù)太小，計(jì)算機(jī)會自動將他整型提升成int型大小的數(shù)據(jù)，按符號位提升。(紫色是提升后的字節(jié)，紅色是char型數(shù)據(jù)的符號位)

整型提升后2的補(bǔ)碼：00000000?00000000?00000000?00000010

整型提升后-1的補(bǔ)碼：11111111?11111111?11111111?11111111

第三步：算術(shù)運(yùn)算

此時(shí)才正式進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算，兩個(gè)補(bǔ)碼提升后的結(jié)果：(黃色是進(jìn)位后的下一個(gè)字節(jié))

1?00000000?00000000?00000000 00000001

由于右邊第2個(gè)二進(jìn)制位1+1等于2要進(jìn)位，導(dǎo)致后面的所有二進(jìn)制位都進(jìn)位了，所以多出了第33位二進(jìn)制位。

第四步：數(shù)據(jù)截?cái)?/strong>

int main()
{unsigned int a = -1;printf("以有符號數(shù)的形式讀取：%d\n", a);printf("以無符號數(shù)的形式讀取：%u\n", a);
}

int main()		
{unsigned char a = -1;printf("%u\n", a);return 0;
}

int main()		
{char a = 128;printf("%u\n", a);char b = -128;printf("%u\n", b);return 0;
}