1. 背景

下圖是本文的背景內容，小B休閑時間有80%的概率玩手機游戲，有20%的概率玩電腦游戲。這兩個游戲都有抽卡環(huán)節(jié)，其中手游抽到金卡的概率為5%，端游抽到金卡的概率為15%。已知小B這天抽到了金卡，那么請問他是在手機上抽到的還是在電腦上抽到的？

2. 全概率公式

上述問題中，我們先考慮小B抽到金卡這件事的概率，設玩電腦的概率為$P(c)$，玩手機的概率為$P(p)$，抽到金卡的概率為$P(v)$：

• 如果小B是在電腦上抽到的金卡，那么其概率為$P(c)P(v|c)$，就是玩電腦的概率乘上在電腦上抽到金卡的概率。
• 如果小B是在手機上抽到的金卡，那么其概率為$P(p)P(v|p)$，就是玩手機的概率乘上在手機上抽到金卡的概率。

上面兩個式子分別計算了在手機上抽到金卡和在電腦上抽到金卡的概率，那么兩者加起來就是小B抽到金卡的概率，即：$P(v)=P(c)P(v|c)+P(p)P(v|p)$。這就是全概率公式，簡單來說就是該事件在所有可能的情況下發(fā)生的概率。

用一個圖來表示更直觀，如下圖所示，是一個長寬為1的正方形，其面積代表了所有事件發(fā)生的可能性。玩電腦占了20%的面積，玩手機占了80%的面積；玩電腦抽到金卡，占了玩電腦這塊區(qū)域里面的15%；玩手機抽到金卡，占了玩手機這塊區(qū)域里面的5%。

那么抽到金卡的概率，即：

3. 貝葉斯公式

知道了全概率公式后，就很容易理解貝葉斯公式了。貝葉斯公式是建立在我們已經知道結果的情況下，即我們知道小B已經抽到金卡的情況下，反推小B是玩電腦抽到金卡的概率和玩手機抽到金卡的概率。

那么玩電腦抽到金卡的概率可以用圖表達為：

表達為數(shù)學公式為：
$$P(c|v)=\frac{P(c)P(v|c)}{P(v)}$$

同理，玩手機抽到金卡的概率可以用圖表達為：

表達為數(shù)學公式為：
$$P(p|v)=\frac{P(p)P(v|p)}{P(v)}$$

這里 $P(p|v)$ 和 $P(c|v)$ 稱之為后驗概率（posterior），即我們知道了結果，反推過程發(fā)生的概率；$P(c)$ 和 $P(p)$ 稱之為先驗概率（prior），即我們還暫時不知道后面的情況，在知道之前事件發(fā)生的可能性；$P(v|c)$ 和 $P(p|c)$ 稱之為似然（likelihood），即在某個情況下，事件發(fā)生的可能性。