簡介

（來自ChatGPT的介紹，如有更正建議請指出）
徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Radial Basis Function Neural Network, RBFNN）是一種特殊的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)與其他常見的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有所不同，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1. 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

• 三層結(jié)構(gòu)：RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通常由三層組成：輸入層、隱藏層和輸出層。與常規(guī)的多層感知器（MLP）相比，其隱藏層的激活函數(shù)采用徑向基函數(shù)（通常是高斯函數(shù)）。
• 隱層節(jié)點(diǎn)：每個(gè)隱藏層節(jié)點(diǎn)表示一個(gè)中心點(diǎn)，輸入到該節(jié)點(diǎn)的距離通過徑向基函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，因此隱層節(jié)點(diǎn)的作用類似于一種局部響應(yīng)單位。

2. 徑向基函數(shù)

• 局部特性：徑向基函數(shù)的輸出是基于輸入數(shù)據(jù)與某個(gè)中心的距離，輸出在離中心較近的地方較大，離中心較遠(yuǎn)時(shí)趨近于零。常見的徑向基函數(shù)包括高斯函數(shù)、多項(xiàng)式、逆多二次函數(shù)等。
• 非線性映射：由于徑向基函數(shù)可以對輸入進(jìn)行非線性映射，RBFNN具備了處理復(fù)雜非線性問題的能力。

3. 訓(xùn)練過程

• 兩階段訓(xùn)練：RBFNN的訓(xùn)練分為兩個(gè)階段。首先是通過無監(jiān)督學(xué)習(xí)（如K均值聚類）確定隱藏層節(jié)點(diǎn)的中心，然后在第二階段使用線性優(yōu)化算法（如最小二乘法）來訓(xùn)練輸出層的權(quán)重。這種方式相比傳統(tǒng)的反向傳播算法收斂速度更快。
• 少量參數(shù)優(yōu)化：因?yàn)镽BF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出層通常是線性權(quán)重，因此需要優(yōu)化的參數(shù)數(shù)量較少，訓(xùn)練速度快。

4. 應(yīng)用場景

• 函數(shù)逼近與插值：RBFNN特別適合用于函數(shù)逼近和插值問題，因?yàn)樗鼘斎肟臻g進(jìn)行局部化響應(yīng)，能夠較好地?cái)M合復(fù)雜的函數(shù)。
• 分類和回歸：RBFNN可以用來解決分類和回歸問題，尤其適合那些具有明顯聚類特性的任務(wù)。

5. 特點(diǎn)總結(jié)

• 良好的逼近能力：RBFNN具有良好的逼近非線性函數(shù)的能力，并且在理論上可以逼近任意連續(xù)函數(shù)。
• 快速訓(xùn)練：由于采用兩階段訓(xùn)練方法，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練速度較快。
• 魯棒性差：RBFNN對噪聲數(shù)據(jù)的敏感度較高，容易出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象。
• 需要確定中心和寬度參數(shù)：選擇合適的中心和寬度參數(shù)對網(wǎng)絡(luò)性能有很大影響，選擇不當(dāng)會導(dǎo)致模型性能較差。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的這些特點(diǎn)使其在一定的應(yīng)用場景中表現(xiàn)突出，尤其是在需要快速訓(xùn)練和局部響應(yīng)的情況下效果尤為顯著。

案例實(shí)操

案例概述

平面上有一些點(diǎn)，將這些點(diǎn)映射到馬鞍面的對應(yīng)點(diǎn)上。
輸入為平面點(diǎn)空間坐標(biāo)(x,y,z)，輸出為馬鞍面點(diǎn)空間坐標(biāo)(x,y,z)
訓(xùn)練，預(yù)測一些點(diǎn)的對應(yīng)坐標(biāo)

函數(shù)主體

# 使用 matplotlib 的交互模式
%matplotlib widgetimport torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.cluster import KMeans# RBF Layer
class RBFLayer(nn.Module):def __init__(self, in_features, out_features, centers, gamma=1.0):super(RBFLayer, self).__init__()self.in_features = in_featuresself.out_features = out_featuresself.centers = nn.Parameter(torch.tensor(centers, dtype=torch.float32), requires_grad=False)self.gamma = gammadef forward(self, x):# 計(jì)算輸入到每個(gè)中心的歐式距離x = x.unsqueeze(1).repeat(1, self.out_features, 1)centers = self.centers.unsqueeze(0).repeat(x.size(0), 1,