同態(tài)濾波基礎(chǔ)

同態(tài)濾波是一種去除圖像中乘性噪聲的技術(shù)，常用于校正圖像中的不均勻照明。根據(jù)圖像形成的光照反射模型，圖像 $f(x,y)$ 可以由以下兩個(gè)分量表征：

• 入射到場景中的光源量
• 場景中對象反射的光量

根據(jù)光照反射模型模型，圖像中像素的強(qiáng)度(即對象上的點(diǎn)反射的光)是場景照明和場景中對象反射的結(jié)果。傅立葉變換在加法下是線性關(guān)聯(lián)的，但在乘法下并不關(guān)聯(lián)。因此，傅立葉方法僅在將噪聲作為原始圖像的附加項(xiàng)建模時(shí)，才適合從圖像中去除噪聲。
但是，如果圖像的缺陷(例如，不均勻的照明)必須建模為乘法而非加法，則直接應(yīng)用傅立葉變換并不合適。此時(shí)，我們便需要使用同態(tài)濾波:首先，通過使用對數(shù)將乘法轉(zhuǎn)換為加法；然后，使用對數(shù)域中的 HPF 來刪除低頻照明分量，同時(shí)保留高頻反射率分量。
同態(tài)濾波的基本步驟如下，輸入圖像為 $f(x,y)$，濾波器的輸出為 $g(x,y)$：

實(shí)現(xiàn)同態(tài)濾波

在本節(jié)中，我們將學(xué)習(xí)如何使用 Butterworth HPF 實(shí)現(xiàn)同態(tài)濾波器。

(1) 首先，導(dǎo)入所需 Python 庫，并定義相關(guān)函數(shù)：

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from skimage.color import rgb2gray
from skimage.filters import sobel, threshold_otsudef dft2(im):freq = cv2.dft(np.float32(im), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)freq_shift = np.fft.fftshift(freq)mag, phase = freq_shift[:,:,0], freq_shift[:,:,1]return mag + 1j*phasedef idft2(freq):real, imag = freq.real, freq.imagback = cv2.merge([real, imag])back_ishift = np.fft.ifftshift(back)im = cv2.idft(back_ishift, flags=cv2.DFT_SCALE)im = cv2.magnitude(im[:,:,0], im[:,:,1])return imdef butterworth(sz, D0, n=1):h, w = szu, v = np.meshgrid(range(-w//2,w//2), range(-h//2,h//2)) #, sparse=True)return 1 / (1 + (D0/(0.01+np.sqrt(u**2 + v**2)))**(2*n))

(2) 定義同態(tài)濾波函數(shù)，頻域 $H(u,v)$ 中的同態(tài)濾波器如下所示：

$$H(u,v)=({\gamma }_H?{\gamma }_L)(\frac{1}{1+(\frac{D_0}{D(u,v)}{)}^{2n}})+{\gamma }_L$$

為了避免對數(shù)域中錯(cuò)誤操作，在輸入中添加常數(shù) 1，以確保對數(shù)的輸入始終 ≥1，最后，從輸出中減去 1：

def homomorphic_filter(im, D0, g_l=0, g_h=1, n=1):im_log = np.log(im.astype(np.float)+1)im_fft = dft2(im_log)H = (g_h - g_l) * butterworth(im.shape, D0, n) + g_l#H = np.fft.ifftshift(H)im_fft_filt = H*im_fft#im_fft_filt = np.fft.ifftshift(im_fft_filt)im_filt = idft2(im_fft_filt)im = np.exp(im_filt.real)-1im = np.uint8(255*im/im.max())return im

(3) 讀取輸入圖像(帶有不均勻照明)，將其轉(zhuǎn)換為灰度圖像(確保像素值在 0-255 范圍內(nèi))，然后通過調(diào)函數(shù) homomorphic_filter() 應(yīng)用同態(tài)濾波器。

其中，Butterworth 濾波器 n＝2 階的截止頻率為 30，${\gamma }_L$ 和 ${\gamma }_H$ 參數(shù)分別設(shè)置為 0.3 和 1：

image = rgb2gray(plt.imread('1.png'))
image_filtered = homomorphic_filter(image, D0=30, n=2, g_l=0.3, g_h=1)

(4) 使用 sobel 濾波器從原始圖像中提取邊緣，使用 OTSU 最佳閾值創(chuàng)建二值圖像如下：

image_edges = sobel(image)
image_edges = image_edges <= threshold_otsu(image_edges)

(5) 使用 sobel 濾波器通過從同態(tài)濾波器轉(zhuǎn)換的圖像中提取邊緣：

image_filtered_edges = sobel(image_filtered)
image_filtered_edges = image_filtered_edges <= threshold_otsu(image_filtered_edges)

(6) 最后，繪制輸入圖像和使用同態(tài)濾波器獲得的輸出圖像，以及提取的邊緣：

plt.figure(figsize=(21,17))
plt.gray()
plt.subplots_adjust(0,0,1,0.95,0.01,0.05)
plt.subplot(221), plt.imshow(image), plt.axis('off'), plt.title('original image', size=10)
plt.subplot(222), plt.imshow(image_filtered), plt.axis('off'), plt.title('filtered image', size=10)
plt.subplot(223), plt.imshow(image_edges), plt.axis('off'), plt.title('original image edges', size=10)
plt.subplot(224), plt.imshow(image_filtered_edges), plt.axis('off'), plt.title('filtered image edges', size=10)
plt.show()

輸出結(jié)果如下所示：

從上圖中可以看出，所獲得的輸出圖像中的光照更加均勻，從而可以看清楚原始圖像中黑暗區(qū)域的細(xì)節(jié)/邊緣。

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