一、圖形學(xué)中的材質(zhì)

不同的物體表面有著不同的材質(zhì)，而不同的材質(zhì)意味著它們與光線的作用不同。那么我們之前在介紹輻射度量學(xué)和渲染方程提到過其中一個(gè)函數(shù)，叫做BRDF，而在實(shí)際上，也就是BRDF定義了不同的材質(zhì)。BRDF決定了光如何被反射。

1.漫反射材質(zhì)

之前我們?cè)?strong>布林馮著色模型中根據(jù)經(jīng)驗(yàn)定義的漫反射系數(shù)，在我們學(xué)習(xí)了輻射度量學(xué)和BRDF之后可以將它精確的定義出來。我們以上圖為例，定義一個(gè)漫反射材質(zhì)，它不吸收光，也就是說來了多少光就要反射出去多少，我們?nèi)藶樽鲆粋€(gè)場(chǎng)景，假設(shè)四面八方來的Radiance是均勻的，而因?yàn)樗锹瓷洳馁|(zhì)，反射出去的Radiance也應(yīng)該是均勻的，同時(shí)因?yàn)槟芰渴睾氵M(jìn)出的能量是一樣的，那么入射的Radiance和反射出去的Radiance也應(yīng)該相等。由此我們可以把渲染方程化簡(jiǎn)得到此時(shí)的BRDF=1/π，而這就是完全不吸收能量的BRDF。我們?cè)俣x一個(gè)反射率(albedo),這個(gè)反射率ρ可以是一個(gè)數(shù)或R,G,B三個(gè)通道或者是光譜，但是ρ∈[0,1]，這樣我們就可以定義不同顏色的BRDF，這樣我們就知道一個(gè)漫反射的BRDF應(yīng)該是在0到1/π之間。

2.Glossy材質(zhì)

Glossy材質(zhì)我們之前提到過，它并不是完美的鏡面反射，例如打磨的金屬。它們的反射接近鏡面但又不是絕對(duì)的鏡面，如上圖右上角的反射示意圖。

3.理想反射/折射材質(zhì)

這種材質(zhì)不僅在表面會(huì)發(fā)生反射還會(huì)發(fā)射折射，如玻璃，水面等。右邊這幅圖有顏色，說明光折射進(jìn)入球殼之后被部分吸收了。

二、反射和折射

1.反射

關(guān)于反射，我們知道反射角等于入射角，這也是反射定律。而關(guān)于反射定律我們有兩種理解方式。

第一中如上圖左，給定入射方向和反射方向還有法線方向我們可以知道它們的關(guān)系，入射方向向量+反射方向向量根據(jù)平行四邊形法則應(yīng)該是法線方向，且長(zhǎng)度為平行四邊形的對(duì)角線，這里也就是菱形，那也就是對(duì)反射方向/入射方向向量做一個(gè)法線上的投影再乘以2就是最終的結(jié)果，最終把除了反射方向的項(xiàng)都移到右邊，就得到了公式ωo = -ωi + 2(ωi·n)n，這樣給定任意入射方向ωi和法線方向n我們就可以求出它的反射方向。

另一種理解方式如上圖右，我們?cè)谧髨D垂直上方觀測(cè)會(huì)得到右面這張圖，我們之前講到立體角，講到過球坐標(biāo)，那么這里的Φo，Φi就相當(dāng)于球坐標(biāo)中的水平方位角決定水平反向，而入射角和反射角則決定了豎直方向的角度。在水平方位角上，我們可以很容易的發(fā)現(xiàn)Φo=(Φi+π)mod2，也就是反射方向的水平方位角始終等于入射方向的水平方位角+π再對(duì)2π取模即可。(關(guān)于取余和取模運(yùn)算不了解的朋友可以自行搜索了解，這里不做贅述)

2.折射

折射定律：不同的材質(zhì)有不同的折射率，如上圖的ηi和ηt，入射角和反射角的正弦，上圖的sinθi和sinθt，那么則有ηi·sinθi=ηt·sinθt。與此同時(shí)我們?nèi)匀幌窨梢苑瓷湟粯拥玫椒轿唤铅罩g的關(guān)系。

而根據(jù)折射定律，我們很容易得到折射角的余弦，它一定是一個(gè)實(shí)數(shù)，也就是上面根號(hào)內(nèi)的值一定要≥0，而不能<0，如果<0，那么說明ηi/ηt>1，也就是光從光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)，并且入射角大于等于臨界角時(shí)全反射現(xiàn)象才會(huì)發(fā)生。

而全反射會(huì)導(dǎo)致一種現(xiàn)象，如上圖，人在水底向上看的視野只有一小片區(qū)域。這提示了我們之前在接受Path Tracing的時(shí)候沒有提到，而實(shí)際上在做Path Tracing的時(shí)候是要把這么個(gè)問題考慮進(jìn)去的。我么們之前說過BRDF可以來描述反射，那么折射用什么來描述呢？這里叫做BTDF，而BRDF和BTDF可以統(tǒng)稱為BSDF。

3.菲涅爾項(xiàng)

如上圖，一本書靠著墻在桌子上放著，我們分別俯視，半俯視，平視地看這本書，發(fā)現(xiàn)在桌子上反射出的書的“倒影”逐漸變明顯，也就是說反射的明顯程度是和我們視線和反射平面的角度相關(guān)的，這就是菲涅爾現(xiàn)象。

這也說明了，有多少能量被反射其實(shí)是與入射光的方向和和法線方向的夾角有關(guān)系的。且通過菲涅爾項(xiàng)，我們可以知道到底有多少能量被反射，又有多少能量被折射。

如上圖(某種折射率=1.5的絕緣體的菲涅爾項(xiàng))中的紅色線表示，當(dāng)法線方向和光的方向?yàn)?0°的時(shí)候，也就是垂直的時(shí)候，所有的能量都會(huì)反射出去，而法線方向和光在一條線上的時(shí)候，反射為0，光會(huì)直接從表面穿過發(fā)生折射。(P和S兩條線表示光的極化性質(zhì)，與光的波動(dòng)性有關(guān)，但在這里我們不考慮，截止目前還沒有渲染器把光的極化性質(zhì)考慮在內(nèi))

如上圖，顯示為某種導(dǎo)體的菲涅爾項(xiàng)，顯然我們發(fā)現(xiàn)導(dǎo)體和非導(dǎo)體的菲涅爾項(xiàng)存在著很大的不同，如非常光滑的金屬，即使我們垂直這表面去看，仍然能看到比較強(qiáng)的反射。包括在上圖中我們還看到當(dāng)光線與法線接近90°的時(shí)候反射的能量還有一個(gè)先降后增的效果。?

上圖是菲涅爾項(xiàng)的計(jì)算公式，其中Rs和Rp是我們上面提到的極化，它們由折射率和夾角確定，最終我們想得到無極化的曲線把它們兩個(gè)平均起來即可，但是這個(gè)公式過于復(fù)雜，人們通常用一種簡(jiǎn)化的近似形式如下圖。

Schlick's?approximation—Schlick近似法

Schlick近似法，思想是我們認(rèn)為每個(gè)菲涅爾項(xiàng)都有一個(gè)初始值為R0，然后逐漸增長(zhǎng)，到90°的時(shí)候?yàn)??；鶞?zhǔn)反射率為R0，也就是垂直時(shí)候的反射率，對(duì)于非導(dǎo)體我們可以將R0設(shè)置的低一些比如0.1以下，而對(duì)于導(dǎo)體我們可以把R0設(shè)置的高一些比如0.9，最終我們擬合出一條近似的曲線來近似它的菲涅爾項(xiàng)。

三、微表面模型

什么是微表面模型呢？看上圖中從太空中拍攝的地球照片，我們可以看到一大片的高光，但是實(shí)際上地球的表面并不是完全光滑的，有各種各樣的地形起伏，高樓等等，那我們?yōu)槭裁茨芸吹礁吖饽?#xff1f;因?yàn)槲覀冸x的足夠遠(yuǎn)，而足夠遠(yuǎn)意味著我們看不到所謂地形，高低起伏等細(xì)節(jié)，只能看到一個(gè)總體的光線反射分布。而微表面模型正是根據(jù)這一特點(diǎn)提出來的。

微表面模型認(rèn)為，表面是有起伏凹凸不平的，但是如果我們從遠(yuǎn)處(宏觀)l來看，我們可以把它當(dāng)作是平面，并且它是粗糙的。從近處看(微觀),它是凹凸起伏的，但是表面的每個(gè)微元都是光滑的，也就是發(fā)生完美的鏡面反射。這也說明了，我們從遠(yuǎn)處看看到的是外觀，而近處看看到的是幾何。

而通過微表面模型，我們可以用法線的分布來描述物體的粗糙程度，如上圖的glossy材質(zhì)，在微觀上表面的法線朝向接近垂直向上，也就是完美的平面那它的反射就相對(duì)集中一些會(huì)形成一定范圍的高光，而diffuse材質(zhì)，表面法線分布非常分散，所以反射出的光也很分散，那么高光效果就會(huì)弱。

而由此我們可以定義出微表面的BRDF，其中F為菲涅爾項(xiàng)；D為法線分布，h是我們之前布林馮著色模型中提到過的半角向量，我們知道只有當(dāng)半角向量h和法線n一致的時(shí)候，才能把光從入射方向反射到出射方向上去，因?yàn)槲覀円?guī)定了微表面上發(fā)生的都是完美的鏡面反射，而D項(xiàng)就是在求有多少微表面的法線n和半角向量h方向一致進(jìn)行一個(gè)查詢。G又叫幾何項(xiàng)，它用來表示有多少能量因?yàn)樽哉趽跏Я?#xff0c;因?yàn)槲⒈砻媸怯衅鸱?#xff0c;如果從上圖微表面左幾乎平行地面打過來一束光，那么右邊許多地方是接受不到光照的，也就是說微表面會(huì)產(chǎn)生自遮擋現(xiàn)象。而G項(xiàng)就是用來表示這個(gè)問題的。光線幾乎平行于表面的入射角度我們稱之為Grazing angle，也就是無論是入射方向還是觀察方向，只要接近Grazing angle，那么G項(xiàng)就會(huì)起作用。

各向同性/各向異性材質(zhì)

對(duì)于微表面模型，我們可以分為兩種，各項(xiàng)同性和各項(xiàng)異性。各向同性表示它的法線雖然分布朝四面八方，但是各個(gè)方向的發(fā)現(xiàn)分布相對(duì)均勻，如上圖中的第一幅圖。而各向異性，如打磨過的金屬，它的微表面的法線分布有明顯的方向性，如上圖第二幅圖，水平和豎直方向的發(fā)現(xiàn)分布存在著明顯的差異。

而反映在BRDF上也可以看到，各項(xiàng)異性的BRDF和各向同性的BRDF也不同。我們之前說過的BRDF是各個(gè)方向分布均勻的，而各向異性則不同，各項(xiàng)異性的入射角和出射腳不僅和相對(duì)方位角有關(guān)，還和絕對(duì)方位角有關(guān)。

四、BRDF性質(zhì)的小結(jié)

非負(fù)性：BRDF描述的是能量分布，所以一定≥0

線性：我們之前是把漫反射，高光的BRDF項(xiàng)分別加在一起求出最終的結(jié)果。?

可逆性：在同一點(diǎn)顛倒出射方向和入射方向得到的BRDF是一樣的。

能量守恒：BRDF的存在不會(huì)讓能量變多，如果全都反射那么最終結(jié)果就=1，部分被吸收則＜1。

各項(xiàng)同性和各項(xiàng)異性：如果是各向同性的BRDF，那么就只于相對(duì)方位角有關(guān)，那么本來是四維的BRDF我們可以把最后兩項(xiàng)合并變?yōu)榉轿唤侵?#xff0c;又因?yàn)锽RDF具有可逆性，所以方位角之差可以不考慮正負(fù)，變?yōu)榻^對(duì)值即可，得到最終的各向同性BRDF：fr=(θi,θr,|Φr-Φi|)。

五、BRDF的測(cè)量?

為什么要做BRDF的測(cè)量呢？我們之前所說的模型基本都是基于許多假設(shè)和簡(jiǎn)化的，所以實(shí)際上并不準(zhǔn)確，甚至有時(shí)候相差非常大，其次，如果我們通過測(cè)量得出了BRDF的數(shù)值，那就不需要進(jìn)行計(jì)算，而是拿來直接使用就可以了。

BRDF怎么測(cè)量呢，我們知道它實(shí)際上就是兩個(gè)方向的函數(shù)，一個(gè)入射方向一個(gè)出射方向。假如我們現(xiàn)在就對(duì)一個(gè)著色點(diǎn)觀測(cè)，我們用一個(gè)光源從四面八方去照亮它，再用一個(gè)攝像機(jī)從四面八方去拍，這樣我們就覆蓋了所有可能的方向。

從上面的思路中我們得到了一個(gè)非常簡(jiǎn)單粗暴的算法，也就是枚舉所有相機(jī)的拍攝方向和枚舉所有的光源照射的方向，而2x2我們得到了一個(gè)四維的數(shù)據(jù)，而要想全部枚舉完，四維是一個(gè)非常龐大的數(shù)據(jù)量，那怎么辦呢？我們之前提到過如果我們策測(cè)量一個(gè)各項(xiàng)同性的材質(zhì)，它的BRDF其實(shí)是一個(gè)三維的數(shù)據(jù)，而又因?yàn)锽RDF的可逆性，我們可以把數(shù)據(jù)量再次減少一半。再者我們不一定要測(cè)出所有方向，我們可以只測(cè)量若干個(gè)方向，而其它方向的BRDF我們可以估計(jì)出來。

而不僅是BRDF的測(cè)量，BRDF的存儲(chǔ)，壓縮也有很多問題需要研究，這里就不介紹了，感興趣的朋友自行了解。

參考：

Lecture 17 Materials and Appearances_嗶哩嗶哩_bilibili

?GAMES101_Lecture_17 (ucsb.edu)

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