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浮點(diǎn)數(shù)的編碼表示

浮點(diǎn)數(shù)類型

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浮點(diǎn)數(shù)的表示

（1）浮點(diǎn)數(shù)（Float Point）的表示范圍

（2）規(guī)格化數(shù)形式

（3）IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)

其他形式的機(jī)器數(shù)表示

?個(gè)人總結(jié)

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浮點(diǎn)數(shù)的編碼表示

浮點(diǎn)數(shù)類型

C語言聲明	操作數(shù)類型	存儲(chǔ)長度（位）
float	單精度浮點(diǎn)數(shù)	32
double	雙精度浮點(diǎn)數(shù)	64
long double	擴(kuò)展精度浮點(diǎn)數(shù)	80 / 96

實(shí)數(shù)類型分為：單精度浮點(diǎn)，浮點(diǎn)雙精度和擴(kuò)展精度浮點(diǎn)

科學(xué)計(jì)數(shù)法（Scientific Notation） 與浮點(diǎn)數(shù)

從上面可以看出，對于一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用一個(gè)定點(diǎn)整數(shù)和定點(diǎn)小數(shù)來表示，其中規(guī)格化的形式，小數(shù)點(diǎn)前面只有一個(gè)非0的數(shù)，對于二進(jìn)制表示時(shí)，必定是1?

浮點(diǎn)數(shù)的表示

（1）浮點(diǎn)數(shù)（Float Point）的表示范圍

• 以下面的32位浮點(diǎn)數(shù)格式的規(guī)格化數(shù)為例，計(jì)算表示范圍

1、第0位數(shù)代表符號(hào)位

2、第1~8位為8位移碼表示階碼E（偏置常數(shù)為128）

3、第9~31位為24位二進(jìn)制原碼小數(shù)表示的尾數(shù)M（tips：注意這里定點(diǎn)小數(shù)表示尾數(shù)是采用的原碼表示）

規(guī)格化尾數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后第一位總是1，故規(guī)定第一位默認(rèn)的1不明顯的表示出來，這樣可以用23位表示24位的尾數(shù)

?因?yàn)樵a對稱，故其表示范圍關(guān)于原點(diǎn)對稱。可表示范圍包括圖中的陰影部分和0

機(jī)器0：即尾數(shù)為0或落在下溢區(qū)中的數(shù)

浮點(diǎn)數(shù)范圍比定點(diǎn)數(shù)大，但數(shù)的個(gè)數(shù)沒變多，故數(shù)之間更稀疏，且不均勻

（2）規(guī)格化數(shù)形式

為了能表示更多有效數(shù)字，通常規(guī)定規(guī)格化數(shù)的小數(shù)點(diǎn)前為1

?

32bit規(guī)格化數(shù)

其中：

1）S是符號(hào)位（Sign）?

2) Exponent用移碼表示（移碼其實(shí)就是原碼加上一個(gè)偏置常數(shù)）來表示

3）Significand表示xxxxxxxxxx（部分尾數(shù)）基可以是2/4/8/16，約定信息，無需顯示表示

早期的計(jì)算機(jī)各自用自己的浮點(diǎn)數(shù)，這樣會(huì)帶來的結(jié)果是在不同的計(jì)算機(jī)中采用不同的格式解析數(shù)據(jù)，其實(shí)是不通用的，所以出現(xiàn)了IEEE754標(biāo)準(zhǔn)

（3）IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)

?這里插入一個(gè)鏈接，講解IEEE 754非常詳細(xì)的一個(gè)博客

IEEE754標(biāo)準(zhǔn): 一 , 浮點(diǎn)數(shù)在內(nèi)存中的存儲(chǔ)方式 - 知乎 (zhihu.com)

?其中，需要注意的是上面的博客中沒有指出階碼全0和全1是用來表示特殊情況的。

Q：為什么移碼的偏置常數(shù)采用127而不是像之前的128

A:? ?IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)中，單精度浮點(diǎn)數(shù)可表示的范圍是0000 0001（-126）~1111 1110（127）；如果偏置常數(shù)采用的是128，則32位浮點(diǎn)數(shù)可表示的范圍是0000 0001（-127）~1111 1110（126），2^-126~2^127比2^-127~2^126可表示的范圍大

Q:已知float型變量x的機(jī)器數(shù)為BEE0 0000H，求x的值是多少？

A:轉(zhuǎn)換為2進(jìn)制，1? 0111 1101 110 0000 0000 0000 0000 0000

符號(hào)位：1（負(fù)數(shù)）?

階碼（指數(shù)）：為避免混淆，用階碼表示階的編碼，用階或者指數(shù)表示階碼的值

階碼：0111 1101B = 125

階碼的值：125-127 = -2（指數(shù)為-2）

尾數(shù)數(shù)值部分：?1 +1x2-1+ 1x2-2+ 0x2-3+ 0x2-4+ 0x2-5+… =1+2-1+2-2= 1+0.5 +0.25 = 1.75

所以真值是：-1.75x2^-2 = -0.4375

Q: 已知float型變量x的值為-12.75，求x的機(jī)器數(shù)是多少？
A: -12.75=-1100.11B =-1.10011B x 2^3

符號(hào)S=1
階碼E=127+3=128+2=1000 0010
顯式表示的部分尾數(shù)Significant = 100 1100 0000 0000 0000 0000(第一個(gè)1可以不用顯示表示出來，因?yàn)橐?guī)格化規(guī)定小數(shù)點(diǎn)前面一個(gè)數(shù)是非0的而且只有一位，必定是一個(gè)1)

所以： x 的機(jī)器數(shù)表示為： 1 ，1000 0010， 100 1100 0000 0000 0000 0000
轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制表示為：C14C0000H

其他形式的機(jī)器數(shù)表示

前面定義的是針對規(guī)格化形式（normalized form）的數(shù)，那么，其他形式的機(jī)器數(shù)表示什么樣的信息呢？

（1）0的機(jī)器數(shù)表示

0其實(shí)就是尾數(shù)部分和階碼部分都是為0的，不同的符號(hào)位表示+0和-0，二者都是有效的

How to represent 0?
exponent: all zeros
significand: all zeros
What about sign?Both cases valid.
+0: 0 00000000 00000000000000000000000
-0: 1 00000000 00000000000000000000000
（2）+∞/-∞的機(jī)器數(shù)表示

無窮其實(shí)就是階碼全為1，其中尾數(shù)部分全為0，不同的符號(hào)位表示正無窮和負(fù)無窮
浮點(diǎn)數(shù)除0的結(jié)果是+/-∞, 而不是溢出異常.（整數(shù)除0為異常）
為什么要這樣處理? 可以利用+∞/-∞作比較。例如：X/0>Y可作為有效比較
How to represent +∞/-∞?
Exponent: all ones (11111111B = 255)
Significand: all zeros
+∞: 0 11111111 00000000000000000000000
-∞:? 1 11111111 00000000000000000000000
（3）“非數(shù)”的表示（NaN)

非數(shù)，這個(gè)錯(cuò)誤其實(shí)在編寫程序的時(shí)候也是經(jīng)常遇到的一種情況，其中非數(shù)就是階碼全為1，尾數(shù)部分不為0的情況
例如“Sqrt (-4.0) ”，“0/0”等的結(jié)果稱為Not a Number (NaN) ，即“非數(shù)”
NaNs 可以幫助調(diào)試程序
How to represent NaN ？
Exponent： 255
Significand: nonzero
4. 非規(guī)格化數(shù)(Denorms)的表示

除了上面的三種情況，其實(shí)只剩下一種，就是階碼全為0，尾數(shù)部分不為0，這表示的就是非規(guī)格化數(shù)
How to represent Denorms?
Exponent： 0
Significand: nonzero

這張圖，其實(shí)包含了很多信息，其中用規(guī)格化數(shù)表示浮點(diǎn)數(shù)其實(shí)不能表示完全，比如最小的整數(shù)用規(guī)格化數(shù)表示其實(shí)就是上面圖中的1.0000....x2^-126，對于比如說2^-125~2^-124和2^-124~2^-123，其中后者長度是前者的兩倍，但是由于尾數(shù)部分的位數(shù)是固定的，其實(shí)二者之間可以表示的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是一樣的，都是2^23個(gè)，所以對于浮點(diǎn)數(shù)來說，數(shù)據(jù)越大，可以表示的最近的兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)的距離是越來越大的，數(shù)據(jù)越小其實(shí)可以表示的數(shù)據(jù)精度越高，越有可能可以精確表示，但是數(shù)字越大，由于可以表示的數(shù)字間距越來越大，所以表示的就可能更不精確，這也是為什么我之前一直不知道為什么計(jì)算機(jī)不能表示任意的浮點(diǎn)數(shù)，比如0.1+0.2不是0.3會(huì)有偏差的原因，就是不能表示0.3只能取離它最近的一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)來表示。

?個(gè)人總結(jié)

1、任何一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用一個(gè)定點(diǎn)整數(shù)和一個(gè)定點(diǎn)小數(shù)來表示，其中定點(diǎn)整數(shù)其實(shí)就是指的整數(shù)（來表示科學(xué)計(jì)數(shù)法中的指數(shù)部分），定點(diǎn)小數(shù)一般表示科學(xué)計(jì)數(shù)法中的小數(shù)部分（尾數(shù)）。

2、浮點(diǎn)數(shù)是有精度的，之前是不知道為什么有的浮點(diǎn)數(shù)在計(jì)算機(jī)中是沒有辦法存儲(chǔ)和表示的，只能根據(jù)某個(gè)特定的規(guī)則進(jìn)行舍入和表示，而且浮點(diǎn)數(shù)數(shù)字越小越有可能精確表示，對于浮點(diǎn)數(shù)越大，精確表示的可能就越小，因?yàn)閿?shù)越大，可表示的兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)之間的距離越來越大。

3、浮點(diǎn)數(shù)采用科學(xué)計(jì)數(shù)法，只需要定點(diǎn)小數(shù)表示尾數(shù)（采用原碼）和定點(diǎn)整數(shù)表示指數(shù)部分就可以表示任意一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)

4、IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)的一個(gè)好的博客

IEEE754標(biāo)準(zhǔn): 一 , 浮點(diǎn)數(shù)在內(nèi)存中的存儲(chǔ)方式 - 知乎 (zhihu.com)