在之前的系列文章里，我們介紹了EEMD、CEEMD、CEEMDAN、VMD、ICEEMDAN、LMD、EWT，我們繼續(xù)補完該系列。

今天要講到的是小波分解，通常也就是指離散小波變換（Discrete Wavelet Transform, DWT）。在網(wǎng)上有一些介紹該方法的文章，但是總感覺不夠通俗或不夠透徹，希望讀完這篇能讓你有所收獲。

一、從小波分析到小波分解

小波分析是一種時頻域分析方法，該方法兼顧了信號在時域和頻域的信息。知乎上有一篇文章對小波分析的理解進行了生動的講解，建議對小波分析概念不熟的同學(xué)先看一下。咚懂咚懂咚：能不能通俗的講解下傅立葉分析和小波分析之間的關(guān)系？這篇文章中最后給出的小波變換的結(jié)果是這樣的：

圖1 連續(xù)小波變換

看起來十分厲害，不過同時會發(fā)現(xiàn)兩個問題：運算量很大；只有數(shù)值解，沒有解析解。上述這種小波分析方法叫連續(xù)小波變換（continuous wavelet transform, CWT）。

為了減少變換運算量，去除不必要的重復(fù)的系數(shù)，實際中使用的通常是離散小波變換（discrete wavelet transform, DWT）。

這里的“離散”指的是什么呢？

讓我們先回到小波基波（也叫母小波）的表達式：

其中s是尺度參數(shù)，表征頻率；t是位移參數(shù)，表征時間。這部分在答友的連接里也提到了。再看上一張圖，xy坐標分別是SCALE和TRANSLATION，也就是s和t，他們在連續(xù)小波變換中是連續(xù)的。

所以，在離散小波變換中，“離散”的就是參數(shù)s和t。此時小波表達式寫為：

j和k都是整數(shù)，通常取s0=2，τ0=1。

可以看出，隨著j取值的遞增，我們可以得到一串不同的小波（子小波，也叫女兒小波...）。這些子小波的尺度參數(shù)以2的j次方的形式增長。當使用這一系列的子小波，對一個連續(xù)函數(shù)進行離散分析時，我們所獲得的是一組小波分析的系數(shù)，這個分析過程稱為小波系列分解。

上邊說道，尺度參數(shù)表征的是頻率，在子小波中尺度參數(shù)以2的倍數(shù)增長（即小波的“長度”被“拉長”了2倍），那么子小波對應(yīng)能檢測到的頻率值也會以1/2的倍數(shù)縮小。母小波所對應(yīng)的頻譜位于頻率譜的高端，具有最大的頻率譜范圍- 而其他的子小波的頻率譜則依次向頻譜圖的低頻端移動，同時它們所覆蓋的頻率譜范圍也相應(yīng)地遞減。在理想的情況下，所有的濾波器應(yīng)該首尾相接互相覆蓋。

圖2 不同尺度的子小波在小波頻率譜上的覆蓋

是的，每個子小波就相當于一個濾波器，離散小波變換的過程就是逐級濾波的過程。

具體流程是怎樣的呢？

用一句話描述就是：一組離散信號通過一系列的低通和高通濾波器，分別可以得到近似信號（用字母A表示）和細節(jié)信號（用字母D表示）。

用一張圖描述就是：

圖3 LP為低通濾波器，HP為高通濾波器，B為帶寬，2B為2倍帶寬

用一個例子來描述就是：

這段合成信號是由多個成分疊加而成的：一個10 Hz的低頻正弦波和一個振幅為0.5的50 Hz高頻正弦波，這兩者代表信號的周期性成分。同時，信號中還包括了一個線性趨勢項，表示信號的非周期性變化。除此之外，信號還疊加了標準差為0.5的高斯白噪聲，為信號添加了隨機性。這里使用了 dB4（第4級Daubechies小波）作為去除噪音操作的母小波。

原始信號

一階小波分解的結(jié)果為：

一階小波分解的近似信號（低通結(jié)果）

一階小波分解的細節(jié)信號（高通結(jié)果）

二階小波分解的結(jié)果為（即對A1信號做分解）：

二階小波分解的近似信號（低通結(jié)果）

二階小波分解的細節(jié)信號（高通結(jié)果）

三階小波分解的結(jié)果為（即對A2信號做分解）：

三階小波分解的近似信號（低通結(jié)果）

三階小波分解的細節(jié)信號（高通結(jié)果）

四階小波分解的結(jié)果為（即對A3信號做分解）：

四階小波分解的近似信號（低通結(jié)果）

四階小波分解的近似信號（低通結(jié)果）

至此我們已經(jīng)能夠得到較好的低通濾波結(jié)果了?？梢钥吹皆夹盘柋恢鸺壍?#xff0c;無遺漏地進行了高、低通濾波，且越接近低頻分段越細，幾乎想要哪個頻段的特征都能得到，因而這個方法有個霸氣的名字，叫filter banks。

小波分解的多尺度可以類比為我們使用不同的“放大鏡”去觀察一個物體。想象一下你手里有一張非常復(fù)雜的畫，畫面上有大的物體，如山脈、樹木，但也有非常細小的細節(jié)，如葉子上的紋理或昆蟲的觸角。
粗尺度（低分辨率）：當你使用低倍的放大鏡（或者站得很遠）去看這幅畫時，你可以看到大的物體，如山脈和樹木，但可能看不到細小的紋理或昆蟲。 在小波分解中，這就像我們查看信號的低頻部分，捕獲其主要的、寬泛的特征。
細尺度（高分辨率）：現(xiàn)在，如果你換一個高倍的放大鏡（或者走近一些）去看同一幅畫，你可能會失去對整體的感知，但可以清晰地看到葉子上的紋理或昆蟲的觸角等細節(jié)。 在小波分解中，這就像我們查看信號的高頻部分，捕獲其細節(jié)和快速的變化。
小波分解的美妙之處在于，它同時提供了多個尺度的視角，讓我們既可以看到信號的整體特征，又可以看到其細節(jié)。這就像我們可以同時擁有多個不同倍率的放大鏡，讓我們在需要的時候選擇合適的一個來觀察畫面。

二、小波分解更深一步的理解

我們先看一下下邊這張圖：

小波分解中的c與l

乍一看這張圖與圖3比較相像，不過仔細看下邊的兩個方框，即左側(cè)分別標識了c和l的位置。

（一）關(guān)于小波分解系數(shù)

c的那一行是指的就是小波分解的向量。需要注意這個向量并不是上邊幾張圖里的近似信號和細節(jié)信號，這里邊存儲的是小波分解的系數(shù)。小波系數(shù)是沒有量綱單位的結(jié)果，需要經(jīng)過重構(gòu)這些系數(shù)得到實際有量綱的信號。

在我們之前講過的小波閾值去噪方法就是針對這些小波系數(shù)，c這行的每個獨立的方框（比如cA3）都可以重構(gòu)到時域成為對應(yīng)的濾波后的信號，也可以幾個方框共同重構(gòu)，這就是小波分解分量的篩選重構(gòu)過程，這個過程是有實際工程應(yīng)用意義的，比如可以實現(xiàn)濾波。

（二）小波分解和“其他類EMD分解方法”的區(qū)別

這里指的“其他類EMD方法”包括了EMD、EEMD、CEEMD、CEEMDAN、ICEEMDAN等。

小波分解與EMD分解最大的不同是源于分解機理的。

小波分解的分解結(jié)構(gòu)是有包含關(guān)系的，每一層級的近似信號都要再分解為下一級的近似信號和細節(jié)信號，（這也直接導(dǎo)致在信號重構(gòu)時不是那么隨意），下圖是一個典型信號的分解結(jié)果，我用紅色箭頭標出了其包含關(guān)系。

主要低頻信號出現(xiàn)在每一個近似信號里

EMD通過連續(xù)地提取信號的局部極值，然后求解其上下包絡(luò)，進而得到IMFs。這些IMFs是并列的關(guān)系，可以直接對選定的分量進行相加來實現(xiàn)重構(gòu)，這種操作就比較直觀了。

每個IMF分量都是由原始信號直接分解而來

那么這種分解機理的區(qū)別，會帶來分解效果和應(yīng)用上的什么不同呢？

我認為有以下幾點：

1. 上邊講到小波分解方法是多尺度的，高頻分量在多個層級上被逐步細化剝離開來，讓我們可以用更精準的手術(shù)刀切割出特征信號段，這是EMD所不具備的特點。
2. EMD可能會受到模態(tài)混疊的影響，導(dǎo)致不同模式的信號成分被混在一起；小波分解方法不同層級覆蓋的頻率范圍不同，模態(tài)混疊現(xiàn)象會大大減少。
3. EMD的分解階數(shù)是自適應(yīng)的，換句話說無法人為干預(yù)；小波分解的分解層數(shù)是可以指定的，這方面靈活性更強。

三、小波分解DWT的MATLAB代碼實現(xiàn)

小波分解的代碼在網(wǎng)上可以找到一些，但是用起來不太趁手。

按照“類EMD”系列的代碼的統(tǒng)一風(fēng)格，筆者進行了封裝，封裝后的函數(shù)有三個，分別用于實現(xiàn)繪制小波分解圖、小波分解各分量及頻譜對應(yīng)圖，以及重構(gòu)信號并繪制信號重構(gòu)圖。

（一）生成仿真信號

%% 1.生成仿真信號
Fs = 1000; % 采樣頻率
t = 0:1/Fs:1-1/Fs; % 時間向量
% 創(chuàng)建一個合成信號：包含不同頻率的正弦波、趨勢和噪聲
signal = cos(2*pi*10*t) + 0.5*sin(2*pi*50*t) + t + 0.5*randn(size(t));
figure('color','white')
plot(t,signal,'k');xlabel('時間');ylabel('幅值') %繪制原始信號

待分解的原始信號

（二）小波分解圖

%% 2.繪制DWT分解圖
waveletType = 'db4';    %小波名稱,可選范圍參考這里：https://ww2.mathworks.cn/help/wavelet/ref/wfilters.html?searchHighlight=wname&s_tid=srchtitle_wname_2#d123e130597
decompositionLevel = 4; %小波分解水平，正整數(shù)
[a,d] = pDWT(signal, decompositionLevel, waveletType); % 調(diào)用函數(shù)進行分解和畫圖

只需要設(shè)置小波名稱和小波分解水平，然后調(diào)用pDWT函數(shù)即可（函數(shù)獲取方法見文末）

此時可以畫出如下圖：

（三）小波分解及頻譜圖

%% 3.繪制DWT分解圖及頻譜圖
waveletType = 'db4';    %小波名稱,可選范圍參考這里：https://ww2.mathworks.cn/help/wavelet/ref/wfilters.html?searchHighlight=wname&s_tid=srchtitle_wname_2#d123e130597
decompositionLevel = 4; %小波分解水平，正整數(shù)
[a,d] = pDWTandFFT(signal, decompositionLevel, waveletType); % 調(diào)用函數(shù)進行分解和畫圖（及頻譜圖）

只需要設(shè)置小波名稱和小波分解水平，然后調(diào)用pDWTandFFT函數(shù)即可（函數(shù)獲取方法見文末）

此時可以畫出如下圖：

（四）小波分解重構(gòu)及畫圖

%% 4.重構(gòu)信號并繪制DWT重構(gòu)圖
waveletType = 'db4';    %小波名稱,可選范圍參考這里：https://ww2.mathworks.cn/help/wavelet/ref/wfilters.html?searchHighlight=wname&s_tid=srchtitle_wname_2#d123e130597
decompositionLevel = 4; %小波分解水平，正整數(shù)
approxLevels = 4;%所選的近似分量
detailLevels = [3 4];%所選的細節(jié)分量
combined_signal = rDWT(signal, waveletType, decompositionLevel, approxLevels, detailLevels);

為了應(yīng)用小波分解結(jié)果（比如濾波），很多時候要對分解結(jié)果重構(gòu)。

重構(gòu)的操作相對復(fù)雜一些，一來這部分代碼一不小心可能就會寫錯；二來重構(gòu)選擇分量的時候也容易出錯。

對于第一個問題，我寫了一個重構(gòu)的封裝函數(shù)（就是上邊這段演示的，封裝函數(shù)為rDWT），只需要選擇想要重構(gòu)的近似分量和細節(jié)分量就行。

對于第二個問題，大家只需要注意兩個問題：1.重構(gòu)選擇近似分量的時候，近似分量approxLevels只能選擇一個層級，比如可以讓approxLevels=3或者=4，但是不能=[3,4]，否則低頻分量就被重構(gòu)了兩次，重構(gòu)后的數(shù)據(jù)會超出原始數(shù)據(jù)大小；2.選擇了高層級的近似分量后，就不能在選擇低于他的層級的細節(jié)分量，比如如果設(shè)置了approxLevels=3，就不能再選擇讓detailLevels =4。

調(diào)用上述分解重構(gòu)及畫圖函數(shù)，需要設(shè)置小波名稱和小波分解水平，然后調(diào)用pDWTandFFT函數(shù)即可（函數(shù)獲取方法見文末）

此時可以畫出如下圖：

上邊提到了三個封裝函數(shù)，分別是：

• pDWT（小波分解并畫圖的程序）
• pDWTandFFT（繪制DWT分解圖及頻譜圖）
• rDWT（重構(gòu)信號并繪制DWT重構(gòu)圖）

上邊的測試代碼和封裝函數(shù)，包括工具箱都可以在公眾號khscience（看海的城堡）中回復(fù)"DWT"獲取，EMD、EEMD、CEEMD、CEEMDAN、ICEEMDAN、VMD以及HHT相關(guān)的程序也有，編程不易，感謝支持~關(guān)于EMD、EEMD、CEEMD、VMD和HHT的相關(guān)介紹可以看這里：

Mr.看海：這篇文章能讓你明白經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（EMD）——EMD在MATLAB中的實現(xiàn)方法

Mr.看海：希爾伯特譜、邊際譜、包絡(luò)譜、瞬時頻率/幅值/相位——Hilbert分析衍生方法及MATLAB實現(xiàn)

Mr.看海：類EMD的“信號分解方法”及MATLAB實現(xiàn)（第一篇）——EEMD

Mr.看海：類EMD的“信號分解方法”及MATLAB實現(xiàn)（第二篇）——CEEMD

Mr.看海：類EMD的“信號分解方法”及MATLAB實現(xiàn)（第三篇）——CEEMDAN

Mr.看海：類EMD的“信號分解方法”及MATLAB實現(xiàn)（第四篇）——VMD

Mr.看海：類EMD的“信號分解方法”及MATLAB實現(xiàn)（第五篇）——ICEEMDAN

Mr.看海：類EMD的“信號分解方法”及MATLAB實現(xiàn)（第六篇）——LMD

Mr.看海：類EMD的“信號分解方法”及MATLAB實現(xiàn)（第七篇）——EWT