平面光波導(dǎo)_三層均勻平面光波導(dǎo)_射線分析法

三層均勻平面光波導(dǎo)：

• 折射率沿 $x$ 方向有變化，沿 $y$、$z$ 方向沒有變化
• 三層：芯區(qū)($n_1$) $>$ 襯底($n_2$) $\ge$ 包層($n_3$)
• 包層通常為空氣，即 $n_3=1$；芯區(qū)與襯底折射率之差通常為 $10^{?3}～10^{?1}$；芯區(qū)一般幾微米厚

一、三層均勻平面波導(dǎo)的射線分析法

三層均勻平面波導(dǎo)的傳輸路線（也是疊加模型）如上圖所示：

• 它可以看作由斜著向上界面行進(jìn)的平面波（以 $B{B}^{\prime }$ 為等相位面的平面波），與反射2次后再次斜向上運(yùn)動(dòng)的平面波（以 $C{C}^{\prime }$ 為等相位面的平面波）相互疊加而成
• 入射光滿足全反射條件僅僅能使光被約束在波導(dǎo)中，是形成導(dǎo)波的必要條件（還有是否可以傳輸）
• 因?yàn)閷?dǎo)波由2個(gè)平面波相疊加，所以當(dāng)兩平面波到達(dá)同一地點(diǎn)時(shí)，只有滿足相位相同的條件，才會(huì)相干相長(zhǎng)，維持光在波導(dǎo)中傳播。否則會(huì)相互抵消，導(dǎo)致無法傳播

傳輸條件——相干疊加條件的推導(dǎo)：

約束條件：$AB?A^{\prime }{B}^{\prime }$ 平面波（以 $B{B}^{\prime }$ 為等相位面的平面電磁波）向前傳播，第一個(gè)發(fā)生第二次反射的點(diǎn)（$C$ 點(diǎn)）其發(fā)生全反射相移后仍應(yīng)與前一入射平面波保持同相。

記全反射在兩界面帶來的相移分別為：$?2{?}_{12}$、$?2{?}_{13}$

因?yàn)?$B{B}^{\prime }$、$C{C}^{\prime }$ 是等相位面，需要 $AB{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ 平面波與 $CD{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 平面波相干相長(zhǎng)，因此計(jì)算 $B^{\prime }{C}^{\prime }$ 和 $BC$ 分別帶來的光程，且兩光程差應(yīng)為 $2\pi$ 的整數(shù)倍

其中入射光的初始狀況、三層均勻平面波導(dǎo)的各層折射率、波導(dǎo)芯區(qū)厚度是易于獲取的參數(shù)，各表達(dá)式最終應(yīng)當(dāng)盡可能使用這三類參數(shù)表達(dá)

• $B^{\prime }\to C^{\prime }$ 的光程：$n_1\overline{B^{\prime }{C}^{\prime }}=n_1\overline{B{C}^{\prime }}\sin \theta =n_1(\overline{PC}?\overline{PQ})\sin \theta =n_1\left(d\tan \theta ?d/\tan \theta \right)\sin \theta$

  其總相移為：$k_0{n}_1\left(d\tan \theta ?d/\tan \theta \right)\sin \theta$

• $B\to C$ 的光程：$n_1\overline{BC}=n_1?d/\cos \theta$

  其在界面 1,2 和界面 1,3 分別發(fā)生了一次全反射，帶來的相移為 $?2{?}_{12}?2{?}_{13}$

  其總相移為：$k_0{n}_1?d/\cos \theta ?2{?}_{12}?2{?}_{13}$

此時(shí)兩平面波相干相長(zhǎng)即要求：
$$k_0{n}_1?d/\cos \theta ?2{?}_{12}?2{?}_{13}?k_0{n}_1\left(d\tan \theta ?d/\tan \theta \right)\sin \theta =2m\pi m=0,1,2,?$$

此式只與三層平面均勻波導(dǎo)的厚度、折射率，入射光的入射角、波數(shù)有關(guān)；其分立的解對(duì)應(yīng)導(dǎo)波的不同模式

將上式簡(jiǎn)記為：
$$\kappa d=m\pi +{?}_{12}+{?}_{13}\text{\hspace{1em}(模式的本征方程/特征方程)}$$

• $\kappa =k_x=n_1{k}_0\cos \theta =\sqrt{n_1^2{k}_0^2?{\beta }^2}=k_0\sqrt{n_1^2?N^2}$

• 模折射率/有效折射率：$N=\beta /k_0$

• $\beta$ 為傳播常數(shù)。通過模式的本征方程/特征方程可以求出不同模式的傳播常數(shù)

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對(duì)于 TE、TM，其全反射相移公式為：
$$r_{TE}=\frac{{\vec{E}}_0^{\prime }}{{\vec{E}}_0}=\frac{n_1\cos {\theta }_1?\sqrt{n_2^2?n_1^{2}si{n}^2{\theta }_1}}{n_1\cos {\theta }_1+\sqrt{n_2^2?n_1^{2}si{n}^2{\theta }_1}}=exp\left[?j2\arctan \left(\frac{\sqrt{n_1^2{\sin }^2{\theta }_1?n_2^2}}{n_1\cos {\theta }_1}\right)\right]=e^{?j2{?}_{TE}}$$

$$r_{TM}=\frac{{\vec{H}}_0^{\prime }}{{\vec{H}}_0}=\frac{n_2^2\cos {\theta }_1?n_1\sqrt{n_2^2?n_1^{2}si{n}^2{\theta }_1}}{n_2^2\cos {\theta }_1+n_1\sqrt{n_2^2?n_1^{2}si{n}^2{\theta }_1}}=exp\left[?j2\arctan \left(\frac{n_1^2}{n_2^2}\frac{\sqrt{n_1^2{\sin }^2{\theta }_1?n_2^2}}{n_1\cos {\theta }_1}\right)\right]=e^{?j2{?}_{TM}}$$

可以簡(jiǎn)記為：
$$\begin{gathered} TEmode?\begin{array}{l}{?}_{12}=\arctan \left(\frac{P}{\kappa }\right)\\ \\ {?}_{13}=\arctan \left(\frac{q}{\kappa }\right)\end{array} \\ TMmode?\begin{array}{l}{?}_{12}=\arctan \left(\frac{n_1^2}{n_2^2}\frac{P}{\kappa }\right)\\ \\ {?}_{13}=\arctan \left(\frac{n_1^2}{n_3^2}\frac{q}{\kappa }\right)\end{array} \end{gathered}$$
其本征方程為：
$$\begin{gathered} TE:\kappa d=m\pi +\arctan \left(\frac{P}{\kappa }\right)+\arctan \left(\frac{q}{\kappa }\right) \\ TM:\kappa d=m\pi +\arctan \left(\frac{n_1^2}{n_2^2}\frac{P}{\kappa }\right)+\arctan \left(\frac{n_1^2}{n_3^2}\frac{q}{\kappa }\right) \end{gathered}$$