傅里葉變換

在學習傅里葉變換之前，我們先來了解一下歐拉公式。順便說一下，『歐拉公式』在世界上最偉大的十個公式中排第二名，而『傅里葉變換』在世界上最偉大的十個公式中排第七名。

歐拉公式

在數(shù)學中，對于數(shù)的集合，在一維數(shù)軸上，加法操作可以視為沿著數(shù)軸的平移，而乘法操作則可以視為數(shù)軸上的伸縮變化。具體來說：

• 加法：在一維數(shù)軸上，給一個數(shù)加上另一個數(shù)，相當于將該數(shù)在數(shù)軸上向右（或向左，如果是負數(shù)）平移相應(yīng)的距離
• 乘法：在一維數(shù)軸上，將一個數(shù)乘以另一個數(shù)，則相當于將該數(shù)在數(shù)軸上按比例伸縮

在二維平面上，如果我們想將一個點（比如$(1,0)$）移動到另一個點，可以先在橫軸方向上平移，再在縱軸方向上平移即可實現(xiàn)。
除了平移外，也可以利用伸縮和旋轉(zhuǎn)來達到同樣的效果。伸縮操作即為點的倍乘，但旋轉(zhuǎn)該如何表達呢？

1. 僅使用旋轉(zhuǎn)，就可以將$(1,0)$變換到$(?1,0)$
2. 在復平面中，存在一個定義：$?1=i\times i$$\to$當單位$i$表示旋轉(zhuǎn)$90°$時，進行兩次相同的操作即可從$(1,0)$變換到$(?1,0)$
3. 如果一次$i$操作是逆時針旋轉(zhuǎn)$90°$，正好會落在二維平面y軸上的$(0,1)$，該點距離原點的長度為單位長度
4. 如果$y$軸自帶虛數(shù)單位，如$i,2i,3i?$，即可通過伸縮和旋轉(zhuǎn)表示二維平面上的所有點

請大家思考一個問題：$i$為什么可以表示旋轉(zhuǎn)？
我們來看一下旋轉(zhuǎn)的定義：旋轉(zhuǎn)是沿著一個圓弧運動的過程
可以通過泰勒展開式得到一個完美的橋梁，用來說明$i$可以表示旋轉(zhuǎn)的原因
$\begin{array}{c}{e}^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3+?\\ sin(x)=x?\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5+?\\ cos(x)=1?\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4+?\end{array}$$?$代入$x=i\theta$得：$\begin{array}{rl}{e}^{i\theta }& =1+i\theta +\frac{1}{2!}(i\theta {)}^2+\frac{1}{3!}(i\theta {)}^3+\frac{1}{4!}(i\theta {)}^4+\frac{1}{5!}(i\theta {)}^5+?\\ & =(1?\frac{{\theta }^2}{2!}+\frac{{\theta }^4}{4!}+?)+i(\theta ?\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^5}{5!}+?)\\ & =cos(\theta )+isin(\theta )\end{array}$

$e^{i\theta }$表示一個圓心在原點，半徑為1的單位圓$?$$e^{i\theta }$等價于一種旋轉(zhuǎn)，$\theta$為旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)

傅里葉變換

傅里葉變換是一個分解聲音的過程，其公式為：$F(f)={\int }_{?\infty }^{\infty }g(t)e^{?2\pi ift}dt$
乍一看這個公式，肯定是看不懂的，我們需要對其進行分解，然后逐步進行理解
既然傅里葉變換是一個分解聲音的過程，我們來看一下什么是聲音。
聲音的氣壓是一個隨時間以正弦函數(shù)形態(tài)不斷震蕩的圖像
假設(shè)，一個標準音A的頻率是440Hz，則其每秒鐘振動440次；另外一個低音D的頻率是240Hz，則其每秒鐘振動240次。如果兩個音同時發(fā)生，產(chǎn)生的氣壓隨時間變化的曲線就是把所有時間點的振幅加起來
而傅里葉變換，就是從一段隨時間變化的氣壓曲線中，找到組成該氣壓曲線的原始氣壓曲線
假設(shè)我們有一個每秒鐘3拍子的聲音信號，它的圖像如下（Intensity為強度），我們只關(guān)注前面的4.5秒

繞圈記錄法

繞圈記錄法：同一事物的不同角度$\to$下面的動圖是最關(guān)鍵的一步，是【看到】傅立葉變換的核心部分

1. 把黃色曲線纏繞到一個圓上，大小是原本信號的振幅
2. 圓周圍的圖像由白色的箭頭繪制而成，速度可變，上圖中的白色箭頭移動速度是每秒鐘轉(zhuǎn)過半圈
3. 此時，有兩個頻率在起作用，一個是信號的頻率：3次震蕩/秒；另一個是圖像纏繞中心圓的頻率，為0.5圈/秒。第二個頻率可以自由改變，相當于一個變量，下面的動圖直觀的展現(xiàn)了纏繞速度變化時的可視化表現(xiàn)

從最開始的 0.79圈/秒一直變化到1.55圈/秒，再到最后的恰好是3圈/秒，和原來的信號3次震蕩/秒相同，此時會出現(xiàn)一個非常穩(wěn)定的圖像
其實，我們只是把一個水平的軸纏繞到一個單位圓上，并用另一個速度的記錄標尺（白色箭頭）來畫圖，從另一個角度（維度）來看我們的信號

質(zhì)心記錄法

質(zhì)心記錄法：新維度的特征提取
我們可以發(fā)現(xiàn)，在上面動圖中，當白色箭頭記錄的速度在某些特定的值時，畫出來的圖形非常穩(wěn)定、形態(tài)清晰
我們在上面提到了一個可以自由改變的轉(zhuǎn)圈速度，我們可以將這個可變化的轉(zhuǎn)圈速度作為傅里葉變換中的自變量
至于輸出是什么，我們可以觀察下面的動圖。當圖像很混沌（沒有規(guī)律，混亂的）時候，圖像基本關(guān)于原點對稱；穩(wěn)定時，其實是“頭重腳輕”的。描述“頭重腳輕”最好的方法是使用質(zhì)心，下面的動圖直觀展現(xiàn)了質(zhì)心特征對圖像特征的描述能力（紅色點為質(zhì)心）

考慮到質(zhì)心是一個二維坐標，為了簡潔和直觀，取質(zhì)心的橫坐標來表示質(zhì)心的特征
現(xiàn)在，我們可以得到傅里葉變換的輸入和輸出：

• 輸入（橫坐標）：白色箭頭的繞圈速度
• 輸出（縱坐標）：質(zhì)心位置的橫坐標

按照上面的說明來記錄繪出圖像，記錄每個纏繞頻率（速度）對應(yīng)的質(zhì)心位置（在橫坐標等于零點處有一個很大的值，只是因為原來的圖像沒有關(guān)于橫軸對稱，有一個偏移量）

我們可以看到，新圖像的橫坐標寫的是頻率（Frequency），即纏繞圓圈的速度
我們已經(jīng)得到一個可以用來表示信號頻率的工具，把它應(yīng)用到兩個聲音的組合圖像中看看效果：

傅里葉變換公式

我們已經(jīng)通過這樣一個纏繞機器完成了時域到頻域的轉(zhuǎn)換

如何使用數(shù)學語言表達這個轉(zhuǎn)圈記錄機制呢？

第一步：旋轉(zhuǎn)的表示

上述所有動圖中的旋轉(zhuǎn)之所以能夠表示，是基于復平面上的指數(shù)函數(shù)原理，結(jié)合泰勒展開公式來實現(xiàn)的

更進一步，指數(shù)函數(shù)中，以$e$為底的函數(shù)有著特殊的性質(zhì)，如下面動圖所示，$e^{2\pi it}$表示的是一秒鐘一圈的旋轉(zhuǎn)方程，可以通過頻率$f$控制旋轉(zhuǎn)的速度，圖中為$\frac{1}{10}$

第二步：纏繞的表示

在傅立葉變換中，我們規(guī)定旋轉(zhuǎn)是順時針的，所以需要先加一個符號。假設(shè)原來的函數(shù)是$g(t)$，將兩者的幅值相乘就能得到纏繞圖像$g(t)e^{?2\pi ift}$

第三步：質(zhì)心的表示

那如何表示質(zhì)心這一概念呢？有一種解決問題的途徑是演繹推理，先從簡單的特例出發(fā)，推廣到一般，最后證明正確性即可
考慮如何求一個正方形的質(zhì)心位置，我們只需在邊框上取$n$個等距離分布的點，并且算這幾個點的位置的平均值。那么推廣到一般情況，也使用類似的采樣點的方式解決，如下面動圖所示（紫紅色的點即采樣點），得到$\frac{1}{N}{\sum }_{k=1}^{N}g(t_k)e^{?2\pi iftk}$

隨著采樣點的增加，需要使用積分來求解這個問題，如下面動圖所示，得到$\frac{1}{t_2?t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}g(t)e^{?2\pi ift}dt$

最終步：整理積分限和系數(shù)

看到常數(shù)項系數(shù)$\frac{1}{t_2?t_1}$，如果忽略表達倍數(shù)關(guān)系的系數(shù)，對應(yīng)的含義也會發(fā)生變化，不再是質(zhì)心，而是信號存在的時間越久，位置是質(zhì)心位置乘以一個倍數(shù)，它的值就越大。持續(xù)時長為3秒，那么新的位置就是原來質(zhì)心位置的三倍；持續(xù)時長為6秒，就是原來的6倍
一般傅立葉變換公式的上下限是正負無窮，那它的幾何直觀是什么呢？

參考文獻

1、傅里葉變換
2、泰勒公式
3、形象展示傅里葉變換