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news 2025/7/14 11:05:37

做品牌的人常用的網(wǎng)站,百度查詢,wordpress 下拉菜單插件,網(wǎng)頁制作專業(yè)服務(wù)許多組合優(yōu)化問題可以被轉(zhuǎn)換為集合函數(shù)的最小化，集合函數(shù)是在給定基集合的子集的集合上定義的函數(shù)。同樣地，它們可以被定義為超立方體的頂點(diǎn)上的函數(shù)，即，其中是基集合的基數(shù)-它們通常被稱為偽布爾函數(shù)[27]。在這些集合函數(shù)中&…

許多組合優(yōu)化問題可以被轉(zhuǎn)換為集合函數(shù)的最小化，集合函數(shù)是在給定基集合 $V$ 的子集的集合上定義的函數(shù)。同樣地，它們可以被定義為超立方體的頂點(diǎn)上的函數(shù)，即 $\left \{ 0,1 \right \}^p$ ，其中 $p$ 是基集合 $V$ 的基數(shù)-它們通常被稱為偽布爾函數(shù)[27]。在這些集合函數(shù)中，次模函數(shù)起著重要的作用，類似于向量空間上的凸函數(shù)，因?yàn)?em>在實(shí)際問題中出現(xiàn)的許多函數(shù)都是次模函數(shù)或其輕微的修改的，在計(jì)算機(jī)科學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域中有應(yīng)用，例如機(jī)器學(xué)習(xí)[125，157，117，124]，計(jì)算機(jī)視覺[31，96]，運(yùn)籌學(xué)[98，182]，電氣網(wǎng)絡(luò)[162]或經(jīng)濟(jì)學(xué)[203]。由于次模函數(shù)可以精確最小化，并且在某些保證下近似地最大化，因此在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)，它們很容易為它們所應(yīng)用的所有眾多問題帶來有效的算法。它們也出現(xiàn)在理論計(jì)算機(jī)的幾個(gè)領(lǐng)域中科學(xué)，如擬陣?yán)碚揫189]。

然而，對(duì)次模函數(shù)的興趣并不限于離散優(yōu)化問題。事實(shí)上，次模函數(shù)的豐富結(jié)構(gòu)及其通過Lovász擴(kuò)展與凸分析的聯(lián)系[135]和各種相關(guān)的多面體使它們特別適用于組合優(yōu)化之外的問題，即作為信號(hào)處理和機(jī)器學(xué)習(xí)問題中的正則化器[38，7]。

實(shí)際上，許多連續(xù)優(yōu)化問題表現(xiàn)出潛在的離散結(jié)構(gòu)（例如，基于鏈、樹或更一般的圖）和次模函數(shù)提供了有效和通用的工具來捕獲這樣的組合結(jié)構(gòu)。

在這本專著中，次模函數(shù)的理論以一種獨(dú)立的方式呈現(xiàn)，所有結(jié)果都是從機(jī)器學(xué)習(xí)中常見的凸分析的第一原理證明的，而不是依賴于組合優(yōu)化和傳統(tǒng)的理論計(jì)算機(jī)科學(xué)概念，如擬陣或流（見，例如， [72]有關(guān)這些方法的參考書）。此外，我們提出的算法是基于傳統(tǒng)的凸優(yōu)化算法，如單純形法線性規(guī)劃，二次規(guī)劃的有效集方法，橢球方法，切割平面，和條件梯度。這些將詳細(xì)介紹，特別是在次模函數(shù)最小化及其各種連續(xù)擴(kuò)展的背景下。假設(shè)具有良好的凸分析知識(shí)（見，例如， [30，28]），并在附錄A中對(duì)重要概念進(jìn)行了簡短的回顧-更多詳細(xì)信息，請(qǐng)見，例如， [95，第30、28、185頁]。

各章大綱。分為幾個(gè)章節(jié)，總結(jié)如下（在目錄中，第一次閱讀時(shí)可以跳過的章節(jié)用星星標(biāo)記）：

(1)定義：在第二章中，我們給予了次模函數(shù)及其相關(guān)多面體的不同定義，特別是基多面體和次模多面體，它們?cè)诖文７治鲋惺侵陵P(guān)重要的，因?yàn)樵S多算法和模型都可以用這些多面體自然地表示。

(2)Lovász擴(kuò)展：在第三章中，我們將Lovász擴(kuò)展定義為從定義在 $\left \{ 0,1 \right \}^p$ 上的函數(shù)到定義在 $[0,1]^p$ 上的函數(shù)的擴(kuò)展（然后是 $\mathbb{R}^p$ ），并給予它的主要性質(zhì)，特別是給出了次模分析中的關(guān)鍵結(jié)果：Lovász擴(kuò)展是凸的當(dāng)且僅當(dāng)集函數(shù)是次模的;此外，最小化次模集函數(shù) $F$ 等價(jià)于最小化 $[0,1]^p$ 上的Lovász擴(kuò)展。這意味著次模函數(shù)最小化可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決。最后，通過所謂的“貪婪算法”建立了Lovász擴(kuò)展和次模多面體之間的聯(lián)系：Lovász擴(kuò)展是基多面體的支撐函數(shù)，并且可以以封閉形式計(jì)算。

(3)多面體：第四章將進(jìn)一步研究伴隨多面體，計(jì)算線性函數(shù)的支撐函數(shù)和伴隨極大化子，我們還詳細(xì)討論了這種多面體的面結(jié)構(gòu)，這在第五章中與Lovász擴(kuò)展的稀疏誘導(dǎo)性質(zhì)相關(guān)時(shí)將很有用。

(4)次模罰函數(shù)的凸松弛：雖然次模函數(shù)可以直接使用（用于集函數(shù)的最小化或最大化），但我們?cè)诘?章中展示了如何使用它們來懲罰向量的支撐集或水平集，由此產(chǎn)生的混合組合/連續(xù)優(yōu)化問題可以使用Lovász擴(kuò)展自然地松弛為凸優(yōu)化問題。

(5)示例如下：在第6章中，我們介紹了次模函數(shù)的經(jīng)典例子，以及在機(jī)器學(xué)習(xí)中的幾個(gè)應(yīng)用，特別是割，集合覆蓋，網(wǎng)絡(luò)流，熵，譜函數(shù)和擬陣。

(6)非光滑凸優(yōu)化：在第七章中，我們回顧了經(jīng)典的迭代算法，如次梯度法、橢球法、單純法、割平面法、有效集法和條件梯度法，并特別注意在適用的情況下提供這些算法的原始/對(duì)偶解釋。

(7)可分離優(yōu)化-分析：在第八章中，我們考慮了由Lovász擴(kuò)展 $w \mapsto f(w)$ 正則化的可分優(yōu)化問題，即形式為 $min_{w\in \mathbb{R}^p}{\sum_{k\in V}\psi _k(w_k)+f(w)}$ 的問題，并證明了這如何等價(jià)于一系列次模函數(shù)極小化問題。這是與次模函數(shù)相關(guān)的組合優(yōu)化問題和凸優(yōu)化問題之間的關(guān)鍵理論聯(lián)系，這將在后面的章節(jié)中使用。

(8)可分離優(yōu)化-算法：在第9章中，我們提出了兩套可分離優(yōu)化問題的算法。第一個(gè)算法是一個(gè)精確的算法，它依賴于一個(gè)有效的次模函數(shù)最小化算法的可用性，而第二組算法是基于現(xiàn)有的凸優(yōu)化迭代算法，其中一些來與在線和離線的理論保證。我們考慮有效集方法（“最小范數(shù)”算法）和條件梯度方法。

(9)次模函數(shù)最小化：在第10章中，我們介紹了各種次模函數(shù)最小化的方法。我們簡要介紹了精確次模函數(shù)最小化的組合算法，并專注于更深入地使用特定的凸優(yōu)化問題，可以迭代求解，以獲得近似或精確解次模函數(shù)最小化，有時(shí)理論保證和近似最優(yōu)性證書。我們考慮了次梯度法，橢球法，單純形算法和解析中心割平面。我們還展示了第8章和第9章中的可分離優(yōu)化問題如何用于次模函數(shù)最小化。第12章將對(duì)這些方法進(jìn)行實(shí)證比較。

(10)次模塊優(yōu)化問題：在第11章中，我們提出了其他組合優(yōu)化問題，可以部分解決使用次模分析，如次模函數(shù)最大化和次模函數(shù)的差異的優(yōu)化，并將這些問題與非凸優(yōu)化問題的次模多面體。雖然這些問題通常不能在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決，但許多算法都具有基于次模性的近似保證。

(11)實(shí)驗(yàn)：在第12章中，我們提供了前面描述的優(yōu)化算法的例子，用于次模函數(shù)最小化，以及凸優(yōu)化問題（可分或不可分）。 所有這些實(shí)驗(yàn)的Matlab代碼可以在http://www.di.ens.fr/~fbach/submodular/上找到。

在附錄A中，我們回顧了凸分析的相關(guān)概念（如Fenchel對(duì)偶、對(duì)偶范數(shù)、規(guī)范函數(shù)和極集），而在附錄B中，我們給出了與次模函數(shù)相關(guān)的幾個(gè)結(jié)果，如保持次模性的運(yùn)算。

已經(jīng)有幾本關(guān)于同一主題的書籍和專著文章，本專著中提供的材料依賴于這些[72，162，126]。然而，為了以最簡單的方式呈現(xiàn)材料，也使用了相關(guān)研究論文的思想，并更加強(qiáng)調(diào)凸分析和優(yōu)化。

符號(hào)。 我們考慮集合 $V=\{1,2,3,\cdots,p \}$ ，其冪集為 $2^V$ ，由 $V$ 的 $2^p$ 個(gè)子集組成。給定一個(gè)向量 $s\in{\mathbb{R}^p}$ ， $s$ 也表示定義為 $s(A)=\sum_{k\in A}s_k$ 的模集函數(shù)。此外， $A\subseteq B$ 意味著 $A$ 是 $B$ 的子集，可能等于 $B$ 。我們表示為 $\left | A \right |$ 集合 $A$ 的基數(shù)，并且，對(duì)于 $A\subseteq V=\{1,2,3,\cdots,p\}$ ， $1_A\in \mathbb{R}^p$ 表示集合 $A$ 的指示向量。若 $w\in \mathbb{R}^p,\alpha\in \mathbb{R}$ ，則 $\{w\geqslant \alpha\}$ 表示 $V=\{1,2,3,\cdots,p\}$ 定義為 $\{k\in V,w_k\geqslant \alpha\}$ ，我們稱之為弱（或強(qiáng)） $\alpha$ -超水平集。類似地，如果 $v\in\mathbb{R}^p$ ，我們記為 $\{w\geq v\}=\{k\in V,w_k\geqslant v_k\}$ 。

對(duì)于 $q\in{[1,\infty]}$ ，我們用 $\left \| w \right \|_q$ 表示 $w$ 的 $q$ -范數(shù)，定義為 $\left \| w \right \|_q=(\sum_{k\in V}{\left | w_k \right |^q})^{1/q}$ ，其中 $q\in{[1,\infty)}$ 且 $\left \| w \right \|_\infty=max_{k\in V}\left | w_k \right |$ 。最后，我們用 $\mathbb{R}_+$ 表示非負(fù)實(shí)數(shù)集，用 $\mathbb{R}^*$ 表示非零實(shí)數(shù)集，用 $\mathbb{R}_+^*$ 表示嚴(yán)格正實(shí)數(shù)集。

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http://www.risenshineclean.com/news/27124.html

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