一、引言

????????電磁場與物質(zhì)的相互作用是理解光學(xué)現(xiàn)象的基礎(chǔ)。在實(shí)際應(yīng)用中，激光光束與樣品的相互作用通常涉及復(fù)雜的電磁場分布，尤其在微納尺度結(jié)構(gòu)中。因此，使用數(shù)值模擬方法如有限元法（FEM）來模擬電磁場的分布和傳播，對于優(yōu)化實(shí)驗(yàn)條件和解釋實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象具有重要意義。

二、原理分析

????????有限元法(FEM)是一種求解偏微分方程（PDE）的數(shù)值方法。FEM通過將連續(xù)問題離散化為有限的離散元（通常是三角形或四面體單元）來近似求解。對于電磁場模擬，FEM可以用于求解麥克斯韋方程組，從而獲得電磁場在復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)中的分布。

????????FEM的基本步驟包括：

1. 幾何建模：構(gòu)建感興趣區(qū)域的幾何模型，并對該區(qū)域進(jìn)行離散化。
2. 材料特性定義：設(shè)置模型中各部分的材料參數(shù)，如電導(dǎo)率、介電常數(shù)和磁導(dǎo)率。
3. 邊界條件設(shè)定：定義模型的邊界條件，如電場、磁場或電流源。
4. 求解方程：利用FEM求解器來求解離散化后的麥克斯韋方程，得到電場或磁場的分布。

三、MATLAB代碼實(shí)現(xiàn)

????????我們通過設(shè)置一個(gè)初始的電場分布（激勵(lì)源），然后觀察這個(gè)電磁波如何在空間內(nèi)傳播。用MATLAB代碼實(shí)現(xiàn)“在一個(gè)盒子里制造電磁波并觀察它們?nèi)绾蝹鞑ァ钡倪^程。

1.創(chuàng)建模型：制造一個(gè)“空盒子”，也就是一個(gè)用來裝載我們的電磁場模型的容器

model = createpde();

2.定義幾何結(jié)構(gòu)：盒子的形狀和里面的障礙物

R1 = [3, 4, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1]'; % 矩形區(qū)域C1 = [1, 0.5, 0.5, 0.2, 0, 0, 0, 0, 0, 0]'; % 圓形區(qū)域gd = [R1, C1];sf = 'R1+C1';ns = char('R1','C1');ns = ns';g = decsg(gd, sf, ns);geometryFromEdges(model, g);

• R1和C1：這些代表盒子的形狀。我們這里用一個(gè)矩形和一個(gè)圓形來表示盒子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，比如矩形可能是盒子的墻壁，而圓形可以看作盒子里面的一個(gè)障礙物。
• 組合幾何形狀：sf = R1+C1表示我們把這個(gè)矩形和圓形放在一起，作為我們盒子的最終形狀。盒子里有一個(gè)矩形區(qū)域和一個(gè)圓形區(qū)域。

3.創(chuàng)建網(wǎng)格：將盒子劃分成小塊，稱為“網(wǎng)格”。就像把一個(gè)面包切成小塊一樣，這就是FEM的第一步：網(wǎng)格劃分。每個(gè)小單元將用于近似原始區(qū)域內(nèi)的物理場（如電場）。

generateMesh(model, 'Hmax', 0.05);

4.定義材料屬性和PDE系數(shù)：盒子里面的材料特性。

epsilon = 1; % 介電常數(shù)mu = 1; % 磁導(dǎo)率c = 1/(epsilon * mu); % 波速specifyCoefficients(model, 'm', 0, 'd', 1, 'c', c, 'a', 0, 'f', 0);

• 材料屬性：我們定義了盒子內(nèi)部的材料特性。epsilon 和 mu 分別表示材料的電和磁特性（比如空氣、玻璃等都有不同的電磁特性）。c 是波速，由這些材料特性決定。
• PDE系數(shù)：這些系數(shù)用來描述盒子里面的電磁場如何傳播。這些系數(shù)相當(dāng)于在告訴MATLAB，“波在這個(gè)盒子里應(yīng)該怎樣運(yùn)動(dòng)”。

5.設(shè)置邊界條件：盒子的邊界是什么樣的

applyBoundaryCondition(model, 'Edge', 1:model.Geometry.NumEdges, 'g', 0, 'q', 0);

• 邊界條件：這些邊界條件允許電磁波自由地離開盒子，類似于在開放的空間中，波可以自由傳播，不會(huì)被墻壁反射回來。

6.定義初始條件：在盒子中心放一個(gè)小激勵(lì)源

u0 = @(location) exp(-100*((location.x-0.5).^2 + (location.y-0.5).^2));setInitialConditions(model, u0);

• 初始條件：我們在盒子中央放了一個(gè)“小激勵(lì)源”，這就像是在盒子中央敲了一下，產(chǎn)生了一個(gè)初始的電磁波。這個(gè)初始激勵(lì)源有點(diǎn)像一個(gè)脈沖或爆炸，它會(huì)在時(shí)間 t = 0 時(shí)開始傳播。

7.求解PDE：看電磁波是如何傳播的

tlist = linspace(0, 0.1, 100); % 時(shí)間步results = solvepde(model, tlist);

• 求解過程：MATLAB開始計(jì)算盒子里電磁波的傳播過程。我們讓它從時(shí)間 t = 0 開始，一直到 t = 0.1 秒，通過100個(gè)時(shí)間步來觀察這個(gè)傳播過程。就像你用一個(gè)慢動(dòng)作攝像機(jī)記錄一個(gè)短暫的爆炸過程一樣。

8.可視化結(jié)果：展示電磁波的傳播動(dòng)畫

u = results.NodalSolution;figure;for i = 1:length(tlist)pdeplot(model, 'XYData', u(:, i), 'ZData', u(:, i), 'Mesh', 'off');title(['Time = ', num2str(tlist(i))]);zlim([-0.5 0.5]); % 設(shè)置Z軸范圍以更好地展示電場分布drawnow;end

• 可視化：我們通過動(dòng)畫來展示電磁波在盒子里的傳播過程。每一幀顯示的是某個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的電磁波形狀。你會(huì)看到電磁波從中心擴(kuò)散到整個(gè)盒子，反映了電磁場如何在時(shí)間和空間中演化。

完整代碼：

% 創(chuàng)建模型model = createpde();% 創(chuàng)建矩形區(qū)域R1 = [3, 4, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1]'; % 矩形的幾何描述% 創(chuàng)建圓形區(qū)域C1 = [1, 0.5, 0.5, 0.2, 0, 0, 0, 0, 0, 0]'; % 圓形的幾何描述, 填充至與R1相同行數(shù)% 將幾何對象合并gd = [R1, C1];% 定義集合函數(shù)和名稱矩陣sf = 'R1+C1';ns = char('R1','C1');ns = ns';% 使用 decsg 創(chuàng)建幾何結(jié)構(gòu)g = decsg(gd, sf, ns);geometryFromEdges(model, g);% 創(chuàng)建網(wǎng)格generateMesh(model, 'Hmax', 0.05);% 定義材料屬性和PDE系數(shù)epsilon = 1; % 介電常數(shù)mu = 1; % 磁導(dǎo)率c = 1/(epsilon * mu); % 介質(zhì)中的波速specifyCoefficients(model, 'm', 0, 'd', 1, 'c', c, 'a', 0, 'f', 0);% 修改邊界條件為 Neumann 邊界條件，允許波傳播applyBoundaryCondition(model, 'Edge', 1:model.Geometry.NumEdges, 'g', 0, 'q', 0);% 定義初始條件為高斯脈沖電場分布u0 = @(location) exp(-100*((location.x-0.5).^2 + (location.y-0.5).^2));setInitialConditions(model, u0);% 求解PDEtlist = linspace(0, 0.1, 100); % 時(shí)間步results = solvepde(model, tlist);% 提取結(jié)果并可視化u = results.NodalSolution;figure;for i = 1:length(tlist)pdeplot(model, 'XYData', u(:, i), 'ZData', u(:, i), 'Mesh', 'off');title(['Time = ', num2str(tlist(i))]);zlim([-0.5 0.5]); % 設(shè)置Z軸范圍以更好地展示電場分布drawnow;end

實(shí)驗(yàn)結(jié)果