設(shè) ${\lambda }_0$ 是 $A$ 的特征值，則 ${\lambda }_0$ 的代數(shù)重?cái)?shù) $\ge$ 幾何重?cái)?shù)

證明

假設(shè) $A$ 的特征值 ${\lambda }_0$ 對(duì)應(yīng)的特征向量有 q 維，記為 ${\alpha }_1,...,{\alpha }_q$，有
$$A{\alpha }_i={\lambda }_0{\alpha }_i,i=1,...,q$$
以它們作為 n 維向量空間的 $q$ 個(gè)基底向量，再擴(kuò)充它們，將 n 維向量空間的整個(gè)基表示為 ${\alpha }_1,...,{\alpha }_q,...,{\alpha }_n$.

記矩陣 $B=[{\alpha }_1,...,{\alpha }_q,...{\alpha }_n]$ ，有 $B$ 可逆。

$$\begin{array}{rl}AB& =A\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1,..,{\alpha }_q,...,{\alpha }_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\lambda }_0{\alpha }_1,...,{\lambda }_0{\alpha }_q,...,A{\alpha }_n\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1,..,{\alpha }_q,...,{\alpha }_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccccc}{\lambda }_0& ?& 0& ?& ?& ?\\ ?& ?& ?& ?& & ?\\ 0& ?& {\lambda }_0& ?& ?& ?\\ 0& ?& 0& ?& ?& ?\\ ?& & ?& ?& & ?\\ 0& ?& 0& ?& ?& ?\end{array}\right]\\ AB& =B\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_{0}E& A_{12}\\ \mathcal{O}& A_{22}\end{array}\right]\end{array}$$
又B可逆，則
$$B^{?1}AB=\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_{0}E& A_{12}\\ \mathcal{O}& A_{22}\end{array}\right]=C$$
即 $A$ 相似于 C

由此計(jì)算 $A$ 的特征多項(xiàng)式

$$|\lambda E?A|=|\lambda E?C|=\left|\begin{array}{cc}(\lambda ?{\lambda }_0)E_q& ?A_{12}\\ \mathcal{O}& \lambda E_{n?q}?A_{22}\end{array}\right|=|(\lambda ?{\lambda }_0{)}^q|\lambda E_{n?q}?A_{22}|$$
由此可知該 $\lambda$ 的n次多項(xiàng)式方程至少有 q 個(gè)根為 ${\lambda }_0$，至于有沒有更多的根為 ${\lambda }_0$，取決于后面的多項(xiàng)式 $|\lambda E_{n?q}?A_{22}|$ 是否出現(xiàn) $(\lambda ?{\lambda }_0)$。