一、概述

在Eigen中，所有矩陣和向量都是矩陣模板類的對(duì)象。向量只是矩陣的一種特殊情況，要么有一行，要么有一列。矩陣就是一個(gè)二維數(shù)表，可以有多行多列。

二、矩陣的前三個(gè)模板參數(shù)

Matrix類有六個(gè)模板參數(shù)，但現(xiàn)在只需要了解前三個(gè)參數(shù)就足夠了。剩下的三個(gè)參數(shù)都有默認(rèn)值，我們暫時(shí)不碰它們，我們將在下面討論它們。

Matrix的三個(gè)必備模板參數(shù)為:

Matrix<typename Scalar, int RowsAtCompileTime, int ColsAtCompileTime>

• 參數(shù)Scalar， 標(biāo)量是標(biāo)量類型，即系數(shù)的類型。也就是說(shuō)，如果你想要一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)的矩陣，在這里選擇float。有關(guān)所有支持的標(biāo)量類型的列表，以及如何擴(kuò)展對(duì)新類型的支持，請(qǐng)參閱標(biāo)量類型。
• RowsAtCompileTime和ColsAtCompileTime是在編譯時(shí)已知的矩陣的行數(shù)和列數(shù)(如果在編譯時(shí)不知道該數(shù)，請(qǐng)參見下文)。

Eigen提供了許多方便的類型來(lái)涵蓋通常的情況。例如，Matrix4f是一個(gè)4x4的浮點(diǎn)數(shù)矩陣。Eigen是這樣定義的:

typedef Matrix<float, 4, 4> Matrix4f;

三、向量

如上所述，在Eigen中，向量只是矩陣的一種特殊情況，要么有一行，要么有一列。它們只有一列的情況是最常見的;這樣的向量稱為列向量，通常簡(jiǎn)稱為向量。在另一種情況下，它們只有一行，它們被稱為行向量。

例如，方便的類型pedef Vector3f是一個(gè)3個(gè)浮點(diǎn)數(shù)的(列)向量。Eigen對(duì)其定義如下:

typedef Matrix<float, 3, 1> Vector3f;

我們還為行向量提供了方便的類型，例如:

typedef Matrix<int, 1, 2> RowVector2i;

四、動(dòng)態(tài)維度參數(shù)

當(dāng)然，Eigen并不局限于在編譯時(shí)已知維數(shù)的矩陣。RowsAtCompileTime和ColsAtCompileTime模板參數(shù)可以采用特殊值Dynamic，這表示在編譯時(shí)大小未知，因此必須作為運(yùn)行時(shí)變量處理。

在Eigen學(xué)術(shù)語(yǔ)中，這樣的尺寸被稱為動(dòng)態(tài)尺寸；而在編譯時(shí)已知的大小稱為固定大小。例如，方便類型pedef MatrixXd，表示具有動(dòng)態(tài)大小的雙精度矩陣，定義如下:

typedef Matrix<double, Dynamic, Dynamic> MatrixXd;

同樣，我們定義了一個(gè)自解釋的類型pedef VectorXi如下:

typedef Matrix<int, Dynamic, 1> VectorXi;

你可以完美地?fù)碛泄潭〝?shù)量的行和動(dòng)態(tài)數(shù)量的列，如下所示:

Matrix<float, 3, Dynamic>

五、構(gòu)造函數(shù)

默認(rèn)構(gòu)造函數(shù)始終可用，從不執(zhí)行任何動(dòng)態(tài)內(nèi)存分配，也從不初始化矩陣系數(shù)。你可以這樣做:

Matrix3f a;
MatrixXf b;

在這里,

• a 是一個(gè)3 × 3矩陣，其系數(shù)為未初始化的浮點(diǎn)[9]數(shù)組;
• b 是一個(gè)動(dòng)態(tài)大小的矩陣，其大小目前為0 × 0，其系數(shù)數(shù)組還沒(méi)有被分配。

構(gòu)造函數(shù)也可以接受大小。對(duì)于矩陣，總是先傳遞行數(shù)。對(duì)于向量，只需傳遞向量的大小。它們用給定的大小分配系數(shù)數(shù)組，但不初始化系數(shù)本身:

MatrixXf a(10,15);
VectorXf b(30);

在這里,

• a 是一個(gè)10x15的動(dòng)態(tài)大小矩陣，具有已分配但當(dāng)前未初始化的系數(shù)。
• b 是一個(gè)大小為30的動(dòng)態(tài)大小向量，具有已分配但當(dāng)前未初始化的系數(shù)。

為了在固定大小和動(dòng)態(tài)大小的矩陣之間提供統(tǒng)一的API，在固定大小的矩陣上使用這些構(gòu)造函數(shù)是合法的，即使在這種情況下傳遞大小是無(wú)用的。所以這是合法的:

Matrix3f a(3,3);

這是一個(gè)無(wú)操作。

矩陣和向量也可以從系數(shù)列表初始化。在c++ 11之前，此功能僅限于固定大小的小列或大小不超過(guò)4的向量:

Vector2d a(5.0, 6.0);
Vector3d b(5.0, 6.0, 7.0);
Vector4d c(5.0, 6.0, 7.0, 8.0);

如果啟用c++ 11，可以通過(guò)傳遞任意數(shù)量的系數(shù)來(lái)初始化任意大小的固定大小的列向量或行向量:

Vector2i a(1, 2);                      // A column vector containing the elements {1, 2}
Matrix<int, 5, 1> b {1, 2, 3, 4, 5};   // A row-vector containing the elements {1, 2, 3, 4, 5}
Matrix<int, 1, 5> c = {1, 2, 3, 4, 5}; // A column vector containing the elements {1, 2, 3, 4, 5}

在一般情況下，無(wú)論是固定大小還是運(yùn)行時(shí)大小的矩陣和向量，系數(shù)必須按行分組，并作為初始化列表的初始化列表傳遞:

MatrixXi a {      // construct a 2x2 matrix{1, 2},     // first row{3, 4}      // second row
};
Matrix<double, 2, 3> b {{2, 3, 4},{5, 6, 7},
};

對(duì)于列向量或行向量，允許隱式轉(zhuǎn)置。這意味著可以從單行初始化列向量:

VectorXd a {{1.5, 2.5, 3.5}};             // A column-vector with 3 coefficients
RowVectorXd b {{1.0, 2.0, 3.0, 4.0}};     // A row-vector with 4 coefficients

六、索引訪問(wèn)器

在eigen中，主要的系數(shù)訪問(wèn)器和變量是重載括號(hào)操作符。對(duì)于矩陣，總是先傳遞行索引。對(duì)于向量，只傳遞一個(gè)下標(biāo)。編號(hào)從0開始。這個(gè)例子不言自明:

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>int main()
{Eigen::MatrixXd m(2,2);m(0,0) = 3;m(1,0) = 2.5;m(0,1) = -1;m(1,1) = m(1,0) + m(0,1);std::cout << "Here is the matrix m:\n" << m << std::endl;Eigen::VectorXd v(2);v(0) = 4;v(1) = v(0) - 1;std::cout << "Here is the vector v:\n" << v << std::endl;
}

輸出：

Here is the matrix m:3  -1
2.5 1.5
Here is the vector v:
4
3

請(qǐng)注意，語(yǔ)法m(index)并不局限于向量，它也可用于一般矩陣，這意味著在系數(shù)數(shù)組中基于索引的訪問(wèn)。然而，這取決于矩陣的存儲(chǔ)順序。所有特征矩陣默認(rèn)為列為主的存儲(chǔ)順序，但可以將其更改為行為主，請(qǐng)參閱存儲(chǔ)順序。

對(duì)于vector中的基于索引的訪問(wèn)，操作符 [ ] 也被重載，但請(qǐng)記住，c++不允許操作符 [ ] 接受多個(gè)參數(shù)。我們將運(yùn)算符 [ ] 限制為向量，只有向量支持使用 [ ] 符號(hào)索引，因?yàn)閏++語(yǔ)言中的一個(gè)笨拙會(huì)使 matrix[i,j] 編譯成與 matrix[j] 相同的東西！

七、逗號(hào)初始化

可以使用所謂的逗號(hào)初始化語(yǔ)法方便地設(shè)置矩陣和向量系數(shù)?，F(xiàn)在，知道這個(gè)例子就足夠了:

Matrix3f m;
m << 1, 2, 3,4, 5, 6,7, 8, 9;
std::cout << m;

輸出

1 2 3
4 5 6
7 8 9

八、矩陣維度調(diào)整

矩陣的當(dāng)前大小可以通過(guò)rows()、cols()和size()來(lái)獲取。這些方法分別返回行數(shù)、列數(shù)和系數(shù)數(shù)。通過(guò)resize()方法調(diào)整動(dòng)態(tài)大小矩陣的大小。

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>int main()
{Eigen::MatrixXd m(2,5);m.resize(4,3);std::cout << "The matrix m is of size "<< m.rows() << "x" << m.cols() << std::endl;std::cout << "It has " << m.size() << " coefficients" << std::endl;Eigen::VectorXd v(2);v.resize(5);std::cout << "The vector v is of size " << v.size() << std::endl;std::cout << "As a matrix, v is of size "<< v.rows() << "x" << v.cols() << std::endl;

輸出

The matrix m is of size 4x3
It has 12 coefficients
The vector v is of size 5
As a matrix, v is of size 5x1

如果實(shí)際矩陣大小沒(méi)有改變，resize()方法是不操作的；否則它是破壞性的：系數(shù)的值可能會(huì)改變。如果你想要一個(gè)不改變系數(shù)的 resize()的 保守變體，使用conservativeResize()，更多細(xì)節(jié)請(qǐng)參閱本頁(yè)。

為了API的一致性，所有這些方法在固定大小的矩陣上仍然可用。當(dāng)然，您實(shí)際上無(wú)法調(diào)整固定大小的矩陣的大小。嘗試將固定大小更改為實(shí)際不同的值將觸發(fā)斷言失敗;但是下面的代碼是合法的:

例如:輸出:

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>int main()
{Eigen::Matrix4d m;m.resize(4,4); // no operationstd::cout << "The matrix m is of size "<< m.rows() << "x" << m.cols() << std::endl;

輸出

The matrix m is of size 4x4

九、賦值和調(diào)整大小

賦值是使用操作符=將一個(gè)矩陣復(fù)制到另一個(gè)矩陣的操作。Eigen自動(dòng)調(diào)整左手邊矩陣的大小，使其與右手邊矩陣的大小相匹配。例如:

MatrixXf a(2,2);
std::cout << "a is of size " << a.rows() << "x" << a.cols() << std::endl;
MatrixXf b(3,3);
a = b;
std::cout << "a is now of size " << a.rows() << "x" << a.cols() << std::endl

輸出

a is of size 2x2
a is now of size 3x3

當(dāng)然，如果左側(cè)是固定大小，則不允許調(diào)整其大小。

如果您不希望發(fā)生這種自動(dòng)調(diào)整大小(例如為了調(diào)試目的)，您可以禁用它，請(qǐng)參閱此頁(yè)。

十、固定尺寸vs.動(dòng)態(tài)尺寸

什么時(shí)候應(yīng)該使用固定大小(例如Matrix4f)，什么時(shí)候應(yīng)該使用動(dòng)態(tài)大小(例如MatrixXf)?簡(jiǎn)單的答案是:對(duì)于非常小的尺寸盡可能使用固定大小，對(duì)于較大的尺寸或必須使用動(dòng)態(tài)大小。對(duì)于較小的大小，特別是小于(大約)16的大小，使用固定大小對(duì)性能非常有益，因?yàn)樗试SEigen避免動(dòng)態(tài)內(nèi)存分配并展開循環(huán)。在內(nèi)部，固定大小的特征矩陣只是一個(gè)普通數(shù)組，即做

Matrix4f mymatrix; 

其實(shí)就是去做

float mymatrix[16]; 

這真的是零運(yùn)行費(fèi)用。相比之下，動(dòng)態(tài)大小矩陣的數(shù)組總是在堆上分配，所以這樣做

MatrixXf mymatrix(rows,columns); 

等于做某事

float *mymatrix = new float[rows*columns]; 

除此之外，MatrixXf對(duì)象將其行數(shù)和列數(shù)存儲(chǔ)為成員變量。

當(dāng)然，使用固定大小的限制是，只有在編譯時(shí)知道大小時(shí)才有可能。此外，對(duì)于足夠大的大小，例如大于(大約)32的大小，使用固定大小的性能優(yōu)勢(shì)變得可以忽略不計(jì)。更糟糕的是，嘗試在函數(shù)內(nèi)部使用固定大小創(chuàng)建一個(gè)非常大的矩陣可能會(huì)導(dǎo)致堆棧溢出，因?yàn)镋igen會(huì)嘗試將數(shù)組自動(dòng)分配為局部變量，而這通常是在堆棧上完成的。最后，根據(jù)具體情況，當(dāng)使用動(dòng)態(tài)大小時(shí)，Eigen也可以更積極地嘗試向量化(使用SIMD指令)，請(qǐng)參閱向量化。

十一、可選模板參數(shù)

我們?cè)诒卷?yè)開頭提到，Matrix類接受六個(gè)模板參數(shù)，但到目前為止我們只討論了前三個(gè)。其余三個(gè)參數(shù)為可選參數(shù)。下面是模板參數(shù)的完整列表:

Matrix<typename Scalar,int RowsAtCompileTime,int ColsAtCompileTime,int Options = 0,int MaxRowsAtCompileTime = RowsAtCompileTime,int MaxColsAtCompileTime = ColsAtCompileTime>

• Options是位字段。在這里，我們只討論一個(gè)比特:RowMajor。它指定這種類型的矩陣使用行為主存儲(chǔ)順序;默認(rèn)情況下，存儲(chǔ)順序是以列為主的。請(qǐng)參閱存儲(chǔ)訂單頁(yè)面。例如，此類型表示行為主的3x3矩陣:

Matrix<float, 3, 3, RowMajor>

• MaxRowsAtCompileTime和MaxColsAtCompileTime在需要指定時(shí)非常有用，即使在編譯時(shí)不知道矩陣的確切大小，但在編譯時(shí)知道一個(gè)固定的上限。這樣做的最大原因可能是為了避免動(dòng)態(tài)內(nèi)存分配。例如，下面的矩陣類型使用12個(gè)浮點(diǎn)數(shù)的普通數(shù)組，沒(méi)有動(dòng)態(tài)內(nèi)存分配:

Matrix<float, Dynamic, Dynamic, 0, 3, 4>

十二、方便預(yù)定義

Eigen定義了以下矩陣類型:

都是用的 Matrix 不同模板參數(shù)，預(yù)定義為不同類型。

• MatrixNt ：Matrix<type, N, N>.
  例如, MatrixXi 實(shí)際上是 ：Matrix<int, Dynamic, Dynamic>.
• MatrixXNt ：Matrix<type, Dynamic, N>.
  例如, MatrixX3i 實(shí)際上是 ：Matrix<int, Dynamic, 3>.
• MatrixNXt ：Matrix<type, N, Dynamic>.
  例如, Matrix4Xd 實(shí)際上是 ：Matrix<d, 4, Dynamic>.
• VectorNt ：Matrix<type, N, 1>.
  例如, Vector2f 實(shí)際上是 ：Matrix<float, 2, 1>.
• RowVectorNt ：Matrix<type, 1, N>.
  例如, RowVector3d 實(shí)際上是 ：Matrix<double, 1, 3>.

注意:

• N 可以是2、3、4或者X(表示動(dòng)態(tài) Dynamic ) 中的任意一個(gè)。
• t 可以是I (int)、f (float)、d (double)、cf (complex)或CD (complex)中的任意一個(gè)。雖然只為這五種類型定義了類型定義，但這并不意味著它們是唯一受支持的標(biāo)量類型。例如，支持所有標(biāo)準(zhǔn)整數(shù)類型，請(qǐng)參閱標(biāo)量類型。