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文章目錄
- 向量空間與矩陣
- 矩陣的行列式
- 矩陣A的秩保持不變
- 方陣的行列式
- 線(xiàn)性無(wú)關(guān)的條件
- 1. 線(xiàn)性組合為零向量的唯一性
- 2. 矩陣的秩
- 3. 幾何解釋(對(duì)于二維和三維空間)
- 4. 行列式(對(duì)于方陣)
- 總結(jié)
- 矩陣的非零子式
- 基礎(chǔ)
- 重要性
- 例子
- 注意事項(xiàng)
- 非奇異矩陣(也稱(chēng)為可逆矩陣或滿(mǎn)秩矩陣)
- 定義
- 性質(zhì)
- 例子
- 結(jié)論
- 逆矩陣的計(jì)算
- 高斯-約旦消元法
- Julia代碼
- 使用伴隨矩陣和行列式的倒數(shù)來(lái)計(jì)算逆矩陣
- 參考文獻(xiàn)
向量空間與矩陣
矩陣的行列式
矩陣A的秩保持不變
- 在下面運(yùn)算中,矩陣A的秩保持不變:
1.矩陣A的某個(gè)或某些列(行)乘以非零標(biāo)量。
2.矩陣內(nèi)部交換列(行)次序。
3.在矩陣中加入一列,該列是其他列的線(xiàn)性組合。 - 線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量的數(shù)目不依賴(lài)于它們的次序。
方陣的行列式
- 矩陣A的行數(shù)等于列數(shù),稱(chēng)為方陣。
- 行列式是每個(gè)方陣對(duì)應(yīng)的一個(gè)標(biāo)量,記為 d e t ( A ) det(A) det(A)或 ∣ A ∣ |A| ∣A∣
- 方陣的行列式是各列的函數(shù),具有以下性質(zhì) :
- 矩陣 A = [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] 的行列式是各列的線(xiàn)性函數(shù)。 A=[a_1,a_2,...,a_n]的行列式是各列的線(xiàn)性函數(shù)。 A=[a1?,a2?,...,an?]的行列式是各列的線(xiàn)性函數(shù)。
對(duì)于任意 α 和 β ∈ R 和 a k ( 1 ) , a k ( 2 ) ? R n 有 d e t [ a 1 , . . . , a k ? 1 , α a k ( 1 ) + β a k ( 2 ) , a k + 1 , . . . , a n ] = α d e t [ a 1 , . . . , a k ? 1 , a k ( 1 ) , a k + 1 , . . . , a n ] + β d e t [ a 1 , . . . , a k ? 1 , a k ( 2 ) , a k + 1 , . . . , a n ] 對(duì)于任意\alpha和\beta\in R和a_k^{(1)},a_k^{(2)}\subset R^n \\有det[a_1,...,a_{k-1},\alpha a_k^{(1)}+\beta a_k^{(2)},a_{k+1},...,a_n] \\=\alpha det[a_1,...,a_{k-1},a_k^{(1)},a_{k+1},...,a_n]+\beta det[a_1,...,a_{k-1},a_k^{(2)},a_{k+1},...,a_n] 對(duì)于任意α和β∈R和ak(1)?,ak(2)??Rn有det[a1?,...,ak?1?,αak(1)?+βak(2)?,ak+1?,...,an?]=αdet[a1?,...,ak?1?,ak(1)?,ak+1?,...,an?]+βdet[a1?,...,ak?1?,ak(2)?,ak+1?,...,an?]
為了證明矩陣 A = [ a 1 , a 2 , … , a n ] A = [a_1, a_2, \ldots, a_n] A=[a1?,a2?,…,an?]的行列式是各列的線(xiàn)性函數(shù),我們可以按照以下步驟進(jìn)行:
第一步:考慮單列線(xiàn)性變換
首先,考慮矩陣 A A A的某一列(例如第 k k k列)的線(xiàn)性變換。設(shè) b = α a k + β v b = \alpha a_k + \beta v b=αak?+βv,其中 a k a_k ak?是 A A A的第 k k k列, v v v是任意與 a k a_k ak?同維的向量, α \alpha α和 β \beta β是標(biāo)量。
構(gòu)造一個(gè)新的矩陣 B B B,其第 k k k列為 b b b,其余列與 A A A相同。即:
B = [ a 1 , … , a k ? 1 , b , … , a n ] = [ a 1 , … , a k ? 1 , α a k + β v , a k + 1 , … , a n ] B = [a_1, \ldots, a_{k-1}, b, \ldots,a_n] \\= [a_1, \ldots, a_{k-1}, \alpha a_k + \beta v, a_{k+1}, \ldots,a_n] B=[a1?,…,ak?1?,b,…,an?]=[a1?,…,ak?1?,αak?+βv,ak+1?,…,an?]
第二步:應(yīng)用行列式的線(xiàn)性性質(zhì)
根據(jù)行列式的線(xiàn)性性質(zhì)(即行列式關(guān)于其列是線(xiàn)性的),我們有:
det ? ( B ) = det ? ( [ a 1 , … , a k ? 1 , α a k + β v , a k + 1 , … , a n ] ) \det(B) = \det([a_1, \ldots, a_{k-1}, \alpha a_k + \beta v, a_{k+1}, \ldots, a_n]) det(B)=det([a1?,…,ak?1?,αak?+βv,ak+1?,…,an?])
這可以分解為:
det ? ( B ) = α det ? ( [ a 1 , … , a k ? 1 , a k , a k + 1 , … , a n ] ) + β det ? ( [ a 1 , … , a k ? 1 , v , a k + 1 , … , a n ] ) \det(B) = \alpha \det([a_1, \ldots, a_{k-1}, a_k, a_{k+1}, \ldots, a_n]) + \beta \det([a_1, \ldots, a_{k-1}, v, a_{k+1}, \ldots, a_n]) det(B)=αdet([a1?,…,ak?1?,ak?,ak+1?,…,an?])+βdet([a1?,…,ak?1?,v,ak+1?,…,an?])
簡(jiǎn)化后得到:
det ? ( B ) = α det ? ( A ) + β det ? ( A k → v ) \det(B) = \alpha \det(A) + \beta \det(A_{k \to v}) det(B)=αdet(A)+βdet(Ak→v?)
其中 A k → v A_{k \to v} Ak→v?表示將 A A A的第 k k k列替換為 v v v后得到的矩陣。
第三步:推廣到所有列
由于行列式關(guān)于每一列都是線(xiàn)性的,我們可以對(duì)矩陣 A A A的每一列都進(jìn)行類(lèi)似的線(xiàn)性變換,并應(yīng)用上述的線(xiàn)性性質(zhì)。因此,對(duì)于矩陣 A A A的任意線(xiàn)性變換(即每一列都是原列的線(xiàn)性組合),其行列式都是原行列式的線(xiàn)性組合。
結(jié)論
綜上所述,矩陣 A = [ a 1 , a 2 , … , a n ] A = [a_1, a_2, \ldots, a_n] A=[a1?,a2?,…,an?]的行列式確實(shí)是各列的線(xiàn)性函數(shù)。這意味著,如果我們對(duì)矩陣的某一列進(jìn)行線(xiàn)性變換(即乘以一個(gè)標(biāo)量或加上另一個(gè)向量的線(xiàn)性組合),其行列式也會(huì)以相應(yīng)的方式線(xiàn)性地變化。
行列式的線(xiàn)性性質(zhì)主要指的是行列式關(guān)于其行或列的線(xiàn)性依賴(lài)性。
- 具體來(lái)說(shuō),行列式關(guān)于其任意一行或一列都是線(xiàn)性的,這意味著如果我們固定行列式的其他行(或列),并對(duì)某一行(或列)進(jìn)行線(xiàn)性變換(即乘以一個(gè)標(biāo)量或加上另一行/列的線(xiàn)性組合),那么新的行列式將是原行列式的線(xiàn)性組合。
- 然而,需要注意的是,行列式的線(xiàn)性性質(zhì)并不允許同時(shí)對(duì)多行或多列進(jìn)行線(xiàn)性組合。即,它只保證了對(duì)單一行或列的線(xiàn)性變換的線(xiàn)性性。
- 對(duì)于單列(或行)的線(xiàn)性性質(zhì),我們可以這樣表述: 設(shè) A A A 是一個(gè) n × n n \times n n×n 矩陣, a i a_i ai? 是 A A A 的第 i i i
列(或行), v v v 是一個(gè)與 a i a_i ai? 同維的向量, α \alpha α 和 β \beta β 是標(biāo)量。那么,構(gòu)造一個(gè)新的矩陣 B B B,其中
B B B 的第 i i i 列(或行)是 α a i + β v \alpha a_i + \beta v αai?+βv,其余列(或行)與 A A A 相同。則: det ? ( B ) = α det ? ( A ) + β det ? ( A i → v ) \det(B) = \alpha \det(A) + \beta \det(A_{i \to v}) det(B)=αdet(A)+βdet(Ai→v?) 其中 A i → v A_{i \to v} Ai→v? 表示將 A A A 的第 i i i 列(或行)替換為 v v v 后得到的矩陣。- 這個(gè)性質(zhì)可以推廣到多列(或行)的情況,但每次只能對(duì)一列(或行)進(jìn)行線(xiàn)性變換,并且需要分別考慮每次變換對(duì)行列式的影響。
然而,在實(shí)際應(yīng)用中,我們更常使用行列式的其他性質(zhì)(如按行或列展開(kāi)、三角矩陣的行列式、行列式的乘積性質(zhì)等)來(lái)計(jì)算或證明行列式的值。線(xiàn)性性質(zhì)主要用于理解行列式的結(jié)構(gòu)和在某些特定情況下的計(jì)算簡(jiǎn)化。
最后,需要強(qiáng)調(diào)的是,行列式的線(xiàn)性性質(zhì)是關(guān)于其行或列的,而不是關(guān)于矩陣元素的線(xiàn)性組合。即,我們不能簡(jiǎn)單地將行列式視為矩陣元素的線(xiàn)性函數(shù),而是需要將其視為矩陣行或列的線(xiàn)性函數(shù)
- 行列式中有兩列相同,則行列式值=0
有 d e t [ a 1 , . . . , a k ? 1 , a k , a k + 1 , . . . , a n ] = d e t [ a 1 , . . . , a k ? 1 , a k , a k , . . . , a n ] = 0 有det[a_1,...,a_{k-1},a_k,a_{k+1},...,a_n] \\=det[a_1,...,a_{k-1},a_k,a_k,...,a_n]=0 有det[a1?,...,ak?1?,ak?,ak+1?,...,an?]=det[a1?,...,ak?1?,ak?,ak?,...,an?]=0 - 行列式中有一列為0,則行列式為0
有 d e t [ a 1 , . . . , a k ? 1 , 0 , a k + 1 , . . . , a n ] = 0 有det[a_1,...,a_{k-1},0,a_{k+1},...,a_n]=0 有det[a1?,...,ak?1?,0,ak+1?,...,an?]=0
- 令 I n = [ e 1 , e 2 , . . . . , e n ] = [ 1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1 ] d e t ( I n ) = 1 令I(lǐng)_n=[e_1,e_2,....,e_n]= \begin{bmatrix} 1 &0 &...&0 \\0&1&...&0 \\...&...&...&... \\0&0&...&1 \end{bmatrix} \\det(I_n)=1 令In?=[e1?,e2?,....,en?]= ?10...0?01...0?............?00...1? ?det(In?)=1
- 矩陣行列式的一列加上另外一列與某個(gè)標(biāo)量的乘積,行列式值不變化 。
d e t [ a 1 , . . . , a k ? 1 , a k + α a j , a k + 1 , . . . , a j , . . . , a n ] = d e t [ a 1 , . . . , a k ? 1 , a k , a k + 1 , . . . , a j , . . . , a n ] + α d e t [ a 1 , . . . , a k ? 1 , a j , a k + 1 , . . . , a j , . . . , a n ] = d e t [ a 1 , . . . , a n ] det[a_1,...,a_{k-1},a_k+\alpha a_j,a_{k+1},...,a_j,...,a_n]= \\det[a_1,...,a_{k-1},a_k,a_{k+1},...,a_j,...,a_n] \\+\alpha det[a_1,...,a_{k-1},a_j,a_{k+1},...,a_j,...,a_n]\\ =det[a_1,...,a_n] det[a1?,...,ak?1?,ak?+αaj?,ak+1?,...,aj?,...,an?]=det[a1?,...,ak?1?,ak?,ak+1?,...,aj?,...,an?]+αdet[a1?,...,ak?1?,aj?,ak+1?,...,aj?,...,an?]=det[a1?,...,an?]
- 方陣的行列式是方陣的一個(gè)重要屬性,它滿(mǎn)足一系列的性質(zhì)。以下是一些基本的方陣行列式性質(zhì):
-
單位矩陣的行列式:
對(duì)于單位矩陣 I n I_n In?(即主對(duì)角線(xiàn)上都是1,其余位置都是0的 n × n n \times n n×n矩陣),其行列式 ∣ I n ∣ = 1 |I_n| = 1 ∣In?∣=1。 -
行列式的乘積性質(zhì):
如果 A A A 和 B B B 是兩個(gè) n × n n \times n n×n 矩陣,那么 ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ? ∣ B ∣ |AB| = |A| \cdot |B| ∣AB∣=∣A∣?∣B∣。注意,這里 A B AB AB 也必須是方陣。 -
行列式的轉(zhuǎn)置性質(zhì):
矩陣 A A A 的轉(zhuǎn)置(記為 A T A^T AT)的行列式等于原矩陣的行列式,即 ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ |A^T| = |A| ∣AT∣=∣A∣。 -
行列式的行(列)倍加性質(zhì):
如果矩陣 A A A 的某一行(或列)是另一行(或列)的 k k k 倍加到其上得到的,那么新矩陣的行列式與原矩陣的行列式相等。但這一性質(zhì)通常用于行列式的計(jì)算中通過(guò)行變換或列變換簡(jiǎn)化矩陣,而不是直接作為行列式的一個(gè)基本性質(zhì)。 -
行列式的行(列)交換性質(zhì):
交換矩陣 A A A 的兩行(或兩列),新矩陣的行列式是原矩陣行列式的相反數(shù),即 ∣ A ′ ∣ = ? ∣ A ∣ |A'| = -|A| ∣A′∣=?∣A∣,其中 A ′ A' A′ 是 A A A 通過(guò)交換兩行(或兩列)得到的矩陣。 -
三角矩陣的行列式:
上三角矩陣(或下三角矩陣)的行列式等于其主對(duì)角線(xiàn)上元素的乘積。 -
零行(列)性質(zhì):
如果矩陣 A A A 有一行(或一列)全為零,那么 ∣ A ∣ = 0 |A| = 0 ∣A∣=0。 -
拉普拉斯展開(kāi):
對(duì)于 n × n n \times n n×n 矩陣 A A A,可以沿著任意一行或一列展開(kāi)其行列式,得到 n n n 個(gè) ( n ? 1 ) × ( n ? 1 ) (n-1) \times (n-1) (n?1)×(n?1) 子矩陣的行列式的線(xiàn)性組合。
這些性質(zhì)在行列式的計(jì)算、證明以及線(xiàn)性代數(shù)中的其他應(yīng)用中都非常有用。
線(xiàn)性無(wú)關(guān)的條件
是線(xiàn)性代數(shù)中的一個(gè)重要概念,它描述了向量集合中向量之間的一種獨(dú)立性。具體來(lái)說(shuō),如果一組向量中的任何一個(gè)向量都不能由其他向量的線(xiàn)性組合來(lái)表示,那么這組向量就被稱(chēng)為線(xiàn)性無(wú)關(guān)的。
對(duì)于向量組 α 1 , α 2 , … , α s \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_s α1?,α2?,…,αs?(其中每個(gè) α i \alpha_i αi? 都是 n n n 維向量),它們線(xiàn)性無(wú)關(guān)的條件可以通過(guò)以下兩種方式之一來(lái)表述:
1. 線(xiàn)性組合為零向量的唯一性
向量組 α 1 , α 2 , … , α s \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_s α1?,α2?,…,αs? 線(xiàn)性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)線(xiàn)性組合
k 1 α 1 + k 2 α 2 + ? + k s α s = 0 k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_s\alpha_s = 0 k1?α1?+k2?α2?+?+ks?αs?=0
只有唯一解 k 1 = k 2 = ? = k s = 0 k_1 = k_2 = \cdots = k_s = 0 k1?=k2?=?=ks?=0。換句話(huà)說(shuō),如果這組向量線(xiàn)性相關(guān),那么上述線(xiàn)性組合就有非零解。
2. 矩陣的秩
如果向量組 α 1 , α 2 , … , α s \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_s α1?,α2?,…,αs? 可以作為矩陣 A A A 的列向量,即
A = [ α 1 , α 2 , … , α s ] A = [\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_s] A=[α1?,α2?,…,αs?]
那么這組向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)矩陣 A A A 的秩 rank ( A ) = s \text{rank}(A) = s rank(A)=s。這里 s s s 是向量組中向量的個(gè)數(shù)。如果秩小于 s s s,則存在至少一個(gè)向量可以由其他向量線(xiàn)性表示,即向量組線(xiàn)性相關(guān)。
3. 幾何解釋(對(duì)于二維和三維空間)
- 在二維空間中,兩個(gè)向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它們不共線(xiàn)。
- 在三維空間中,三個(gè)向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它們不共面。
4. 行列式(對(duì)于方陣)
如果向量組 α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n α1?,α2?,…,αn?( n n n 維向量)可以構(gòu)成一個(gè) n × n n \times n n×n 矩陣 A A A,那么這組向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)矩陣 A A A 的行列式 ∣ A ∣ ≠ 0 |A| \neq 0 ∣A∣=0。這是因?yàn)樾辛惺綖榱阋馕吨仃嚨牧?#xff08;或行)向量之間存在線(xiàn)性關(guān)系,即向量組線(xiàn)性相關(guān)。
總結(jié)
線(xiàn)性無(wú)關(guān)的條件可以通過(guò)多種方式來(lái)理解和驗(yàn)證,包括線(xiàn)性組合的唯一性、矩陣的秩、幾何解釋以及行列式的值。在實(shí)際應(yīng)用中,選擇哪種方式取決于具體問(wèn)題的背景和需要。
矩陣的非零子式
是矩陣中選取的一部分元素(行和列)所構(gòu)成的行列式,且這個(gè)行列式的值不為零。具體來(lái)說(shuō),給定一個(gè) m × n m \times n m×n矩陣 A A A,我們可以從它的行中選取 k k k行( k ≤ m k \leq m k≤m),從列中選取 k k k列( k ≤ n k \leq n k≤n),這樣得到的 k × k k \times k k×k子矩陣的行列式就被稱(chēng)為矩陣 A A A的一個(gè) k k k階子式。如果這個(gè)子式的值不為零,則稱(chēng)它為矩陣 A A A的一個(gè)非零子式。
基礎(chǔ)
矩陣 A 具有 r 階子式 ∣ M ∣ ,具備以下性質(zhì): 1. ∣ M ∣ ≠ 0 2. 從 A 中再抽取一行和一列,增加到 M 中,新子式(新的行列式)為 0 。 則: r a n k A = r 矩陣 A 的秩等于它的非零子式的最高階數(shù)。 一個(gè)矩陣 A 可以有不同階的非零子式。 矩陣A具有r階子式|M|,具備以下性質(zhì): \\1. |M|\ne 0 \\2.從A中再抽取一行和一列,增加到M中,新子式(新的行列式)為0。 \\則:rank A =r \\矩陣A的秩等于它的非零子式的最高階數(shù)。 \\一個(gè)矩陣A可以有不同階的非零子式。 矩陣A具有r階子式∣M∣,具備以下性質(zhì):1.∣M∣=02.從A中再抽取一行和一列,增加到M中,新子式(新的行列式)為0。則:rankA=r矩陣A的秩等于它的非零子式的最高階數(shù)。一個(gè)矩陣A可以有不同階的非零子式。
重要性
- 非零子式的存在對(duì)于判斷矩陣的秩、線(xiàn)性方程組解的情況、矩陣的線(xiàn)性相關(guān)性等具有重要意義。
- 矩陣的秩定義為矩陣中最大的非零子式的階數(shù)。
例子
考慮以下矩陣 A A A:
A = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 0 ) A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0 \end{pmatrix} A= ?147?258?360? ?
- 矩陣 A A A的 1 1 1階子式有很多,例如選取第一行第一列的元素 1 1 1,它本身就是一個(gè) 1 1 1階子式,其值為 1 1 1(非零)。
- 矩陣 A A A的 2 2 2階子式可以是通過(guò)選取前兩行和前兩列得到的子矩陣的行列式,即
∣ 1 2 4 5 ∣ = 1 ? 5 ? 2 ? 4 = 5 ? 8 = ? 3 ≠ 0 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3 \neq 0 ?14?25? ?=1?5?2?4=5?8=?3=0
因此,這是一個(gè)非零子式。
- 矩陣 A A A的 3 3 3階子式就是矩陣 A A A本身的行列式,但在這個(gè)例子中,矩陣 A A A的行列式為零(因?yàn)榈谌惺乔皟闪械木€(xiàn)性組合),所以它不是非零子式。然而,這并不妨礙矩陣 A A A有較低階的非零子式。
注意事項(xiàng)
- 非零子式的存在并不意味著矩陣的所有子式都是非零的。
- 矩陣的秩是其所有非零子式的最大階數(shù),但找到這個(gè)最大階數(shù)通常不需要檢查所有可能的子式。
- 在實(shí)際應(yīng)用中,我們可能更關(guān)心矩陣的秩,因?yàn)樗c矩陣的許多重要性質(zhì)直接相關(guān)。然而,了解非零子式的概念對(duì)于深入理解這些性質(zhì)是很有幫助的。
非奇異矩陣(也稱(chēng)為可逆矩陣或滿(mǎn)秩矩陣)
是線(xiàn)性代數(shù)中一個(gè)非常重要的概念。一個(gè)矩陣如果滿(mǎn)足某些條件,則被稱(chēng)為非奇異的,這些條件通常與其行列式、秩或線(xiàn)性方程組解的存在性有關(guān)。
定義
一個(gè) n × n n \times n n×n矩陣 A A A被稱(chēng)為非奇異的,如果滿(mǎn)足以下條件之一:
- 行列式不為零:矩陣 A A A的行列式 ∣ A ∣ ≠ 0 |A| \neq 0 ∣A∣=0。
- 滿(mǎn)秩:矩陣 A A A的秩等于其階數(shù) n n n,即 rank ( A ) = n \text{rank}(A) = n rank(A)=n。
- 線(xiàn)性無(wú)關(guān)的行和列:矩陣 A A A的行向量和列向量都是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的。
- 存在逆矩陣:存在一個(gè)與 A A A同階的矩陣 B B B,使得 A B = B A = I AB = BA = I AB=BA=I,其中 I I I是單位矩陣。此時(shí), B B B被稱(chēng)為 A A A的逆矩陣,記作 A ? 1 A^{-1} A?1。
性質(zhì)
非奇異矩陣具有許多重要的性質(zhì),包括但不限于:
- 唯一逆:如果矩陣 A A A是非奇異的,那么它的逆矩陣 A ? 1 A^{-1} A?1是唯一的。
- 乘積可逆:如果 A A A和 B B B都是非奇異的,那么它們的乘積 A B AB AB也是非奇異的,并且 ( A B ) ? 1 = B ? 1 A ? 1 (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} (AB)?1=B?1A?1。
- 行列式性質(zhì): ∣ A ? 1 ∣ = 1 ∣ A ∣ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} ∣A?1∣=∣A∣1?。
- 線(xiàn)性方程組解的存在性:如果 A A A是非奇異的,那么線(xiàn)性方程組 A x = b Ax = b Ax=b有唯一解 x = A ? 1 b x = A^{-1}b x=A?1b。
例子
考慮矩陣
A = ( 1 2 3 4 ) A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} A=(13?24?)
其行列式為 ∣ A ∣ = 1 ? 4 ? 2 ? 3 = 4 ? 6 = ? 2 ≠ 0 |A| = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2 \neq 0 ∣A∣=1?4?2?3=4?6=?2=0,因此 A A A是非奇異的。其逆矩陣可以通過(guò)多種方法計(jì)算,例如使用伴隨矩陣和行列式的倒數(shù),得到
A ? 1 = ? 1 2 ( 4 ? 2 ? 3 1 ) = ( ? 2 1 3 2 ? 1 2 ) A^{-1} = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} A?1=?21?(4?3??21?)=(?223??1?21??)
驗(yàn)證逆矩陣的正確性,可以計(jì)算 A A ? 1 AA^{-1} AA?1和 A ? 1 A A^{-1}A A?1A,它們都應(yīng)該等于單位矩陣。
結(jié)論
非奇異矩陣是線(xiàn)性代數(shù)中非常重要的概念,它們?cè)诮鉀Q線(xiàn)性方程組、矩陣運(yùn)算、特征值和特征向量等方面都有廣泛的應(yīng)用。理解非奇異矩陣的性質(zhì)和條件對(duì)于深入學(xué)習(xí)線(xiàn)性代數(shù)至關(guān)重要。
逆矩陣的計(jì)算
是線(xiàn)性代數(shù)中的一個(gè)重要問(wèn)題,它有很多實(shí)際應(yīng)用,比如在解線(xiàn)性方程組、計(jì)算行列式、以及矩陣的秩等方面。
高斯-約旦消元法
這是一種通過(guò)行變換將矩陣化為行最簡(jiǎn)形(在此情況下為單位矩陣)的方法,同時(shí)應(yīng)用相同的行變換到單位矩陣上,從而得到原矩陣的逆。
以下是使用高斯-約旦消元法計(jì)算逆矩陣的步驟:
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構(gòu)造增廣矩陣:將原矩陣 A A A 和單位矩陣 I I I 并排放置,形成一個(gè)新的矩陣 [ A ∣ I ] [A | I] [A∣I]。
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行變換:對(duì)增廣矩陣進(jìn)行行變換,目標(biāo)是將 A A A 化為單位矩陣 I I I。
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讀取逆矩陣:當(dāng) A A A 被化為 I I I 時(shí),右側(cè)的單位矩陣 I I I 將變?yōu)? A A A 的逆矩陣 A ? 1 A^{-1} A?1。
Julia代碼
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我們可以使用內(nèi)置的函數(shù)來(lái)計(jì)算逆矩陣,也可以手動(dòng)實(shí)現(xiàn)高斯-約旦消元法來(lái)計(jì)算。
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首先,我們來(lái)看如何使用Julia的內(nèi)置函數(shù)來(lái)計(jì)算逆矩陣:
# 使用內(nèi)置函數(shù)inv計(jì)算逆矩陣
A = [1 2 3; 0 1 4; 5 6 0]
invA = inv(A)
println(invA)
這段代碼首先定義了一個(gè)3x3的矩陣A
,然后使用inv
函數(shù)計(jì)算其逆矩陣,并將結(jié)果存儲(chǔ)在invA
中,最后打印出逆矩陣。
- 接下來(lái),我們手動(dòng)實(shí)現(xiàn)高斯-約旦消元法來(lái)計(jì)算逆矩陣:
using LinearAlgebra
function inverse_matrix(B)A=Float64.(B)n = size(A, 1)# 構(gòu)造單位矩陣作為逆矩陣的初始值invA = diagm(ones(n))# 高斯-約旦消元法for i = 1:n# 將主對(duì)角線(xiàn)元素化為1factor = A[i, i]for j = 1:nA[i, j] = A[i, j] / factorinvA[i, j] = invA[i, j] / factorend# 將其他行消為0for k = 1:nif k != ifactor = A[k, i]for j = 1:nA[k, j] = A[k, j] - factor * A[i, j]invA[k, j] = invA[k, j] - factor * invA[i, j]endendendendreturn invAend# 示例A = [1 2 3; 0 1 4; 5 6 0]invA = inverse_matrix(A)println(invA)
這段代碼定義了一個(gè)inverse_matrix
函數(shù),它接受一個(gè)矩陣A
作為輸入,并返回其逆矩陣。函數(shù)內(nèi)部使用了高斯-約旦消元法來(lái)同時(shí)化簡(jiǎn)矩陣A
和單位矩陣(即逆矩陣的初始值),最終得到逆矩陣。在示例中,我們構(gòu)造了一個(gè)3x3的矩陣A
,然后調(diào)用inverse_matrix
函數(shù)計(jì)算其逆矩陣,并將結(jié)果存儲(chǔ)在invA
中,最后打印出逆矩陣。
使用伴隨矩陣和行列式的倒數(shù)來(lái)計(jì)算逆矩陣
首先需要了解伴隨矩陣(Adjugate Matrix)的定義。對(duì)于一個(gè) n × n n \times n n×n的矩陣 A A A,其伴隨矩陣 a d j ( A ) adj(A) adj(A)是 A A A的代數(shù)余子式矩陣的轉(zhuǎn)置。代數(shù)余子式 C i j C_{ij} Cij?是矩陣 A A A去掉第 i i i行和第 j j j列后得到的 ( n ? 1 ) × ( n ? 1 ) (n-1) \times (n-1) (n?1)×(n?1)子矩陣的行列式,乘以 ( ? 1 ) i + j (-1)^{i+j} (?1)i+j。
逆矩陣 A ? 1 A^{-1} A?1可以通過(guò)以下公式計(jì)算:
A ? 1 = 1 det ? ( A ) ? a d j ( A ) A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot adj(A) A?1=det(A)1??adj(A)
其中, det ? ( A ) \det(A) det(A)是矩陣 A A A的行列式。
在Julia中,我們可以這樣實(shí)現(xiàn):
function cofactor_matrix(B)A=Float64.(B)n = size(A, 1)C = zeros(n, n)for i = 1:nfor j = 1:n# 計(jì)算代數(shù)余子式submatrix = A[[1:i-1; i+1:n], [1:j-1; j+1:n]]C[j, i] = (-1)^(i+j) * det(submatrix)endendreturn C
endfunction inverse_matrix_with_cofactor(A)detA = det(A)if detA == 0error("Matrix is singular and cannot be inverted.")endadjA = cofactor_matrix(A)invA = (1/detA) * adjAreturn invA
end# 示例
A = [1 2 3; 0 1 4; 5 6 0]
invA = inverse_matrix_with_cofactor(A)
println(invA)
這段代碼定義了兩個(gè)函數(shù):cofactor_matrix
用于計(jì)算伴隨矩陣,inverse_matrix_with_cofactor
用于計(jì)算逆矩陣。在示例中,我們構(gòu)造了一個(gè) 3 × 3 3 \times 3 3×3的矩陣A
,然后調(diào)用inverse_matrix_with_cofactor
函數(shù)計(jì)算其逆矩陣,并將結(jié)果存儲(chǔ)在invA
中,最后打印出逆矩陣。
參考文獻(xiàn)
1.《最優(yōu)化導(dǎo)論》
2.文心一言
3.chatgpt