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news 2025/7/5 6:49:34

wordpress如何修改html,搜索引擎優(yōu)化的主要手段,廣州和廣州市注冊(cè)公司區(qū)別,網(wǎng)頁(yè)設(shè)計(jì)模板圖片四張0. 了解無(wú)窮級(jí)數(shù)是指將無(wú)窮多個(gè)數(shù)按照一定的規(guī)律相加起來(lái)的表達(dá)式。打個(gè)比方，就像你有一個(gè)無(wú)窮長(zhǎng)的梯子，每一級(jí)梯子代表一個(gè)數(shù)。把這些數(shù)一個(gè)一個(gè)加起來(lái)，就形成了無(wú)窮級(jí)數(shù)。比如常見(jiàn)的等比級(jí)數(shù)，這里是首項(xiàng)，是公比。如果,這個(gè)等比級(jí)數(shù)是收斂的，也就是它的和是一個(gè)有限…

0. 了解

無(wú)窮級(jí)數(shù)是指將無(wú)窮多個(gè)數(shù)按照一定的規(guī)律相加起來(lái)的表達(dá)式。
打個(gè)比方，就像你有一個(gè)無(wú)窮長(zhǎng)的梯子，每一級(jí)梯子代表一個(gè)數(shù)。把這些數(shù)一個(gè)一個(gè)加起來(lái)，就形成了無(wú)窮級(jí)數(shù)。
比如常見(jiàn)的等比級(jí)數(shù) $\sum_{n=0}^{\infty}ar^n$ ，這里 $a$ 是首項(xiàng)， $r$ 是公比。如果 $|r|<1$ ,這個(gè)等比級(jí)數(shù)是收斂的，也就是它的和是一個(gè)有限的數(shù)。
無(wú)窮級(jí)數(shù)的研究主要是看它是否收斂，也就是這個(gè)無(wú)窮多個(gè)數(shù)加起來(lái)會(huì)不會(huì)趨向于一個(gè)確定的值。如果收斂，就可以求出這個(gè)和；如果不收斂，就說(shuō)它是發(fā)散的。
比如級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n$ 就是發(fā)散的，而級(jí)數(shù) $\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{2^n}$ 是收斂的，它的和為 $\frac1{1-\frac12}=2$ 。

無(wú)窮級(jí)數(shù)在許多數(shù)學(xué)和工程領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用，包括：泰勒級(jí)數(shù)，用于近似函數(shù)值；傅里葉級(jí)數(shù)：用于信號(hào)處理和圖像分析；概率論：在計(jì)算期望值和方差時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)。

冪級(jí)數(shù)的 $x$ 是可以變化的， $x$ 在收斂域內(nèi)那么這個(gè)級(jí)數(shù)就是收斂的； $x$ 在收斂域外那么這個(gè)級(jí)數(shù)就是發(fā)散的。當(dāng) $x$ 在收斂域內(nèi)時(shí)，該冪級(jí)數(shù)可以求和函數(shù)（級(jí)數(shù)和隨 $x$ 變化而變化的情況）。

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)就是 $x$ 為某一個(gè)值的情況，斂散性是確定的。當(dāng)他收斂時(shí)，和為一個(gè)確定值而非函數(shù)。

1. 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

定義

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)就是無(wú)窮多個(gè)項(xiàng)求和，其中每一項(xiàng)都是常數(shù)。

公式

$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}+\ldots$

1.1. 斂散性

1.1.1. 概念

斂散性

收斂	發(fā)散
$\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2})^{n}=\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{2}+\ldots+(\frac{1}{2})^{n}+\ldots$	$\sum_{n=1}^{\infty}2^{n}=2+2^{2}+\ldots+2^{n}+\ldots$

通過(guò)定義判斷級(jí)數(shù)是否收斂

1. $\lim_{n\to\infty} S_n$ 極限存在，級(jí)數(shù)收斂

2. $\lim_{n\to\infty} S_n$ 極限不存在，級(jí)數(shù)發(fā)散

1.1.2. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)

等比級(jí)數(shù)

例題1 判斷級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty(\frac12)^n=\frac12+(\frac12)^2+\ldots+(\frac12)^n+\ldots$ 的斂散性。

01/步驟：找到一般項(xiàng) $u_{n}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{n}$

02/步驟：計(jì)算 $S_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}+\ldots$

$S_n=\frac12+(\frac12)^2+\ldots+(\frac12)^n$

等比數(shù)列求和公式 $S_n= a+ aq+ aq^2+ \ldots + aq^n= \frac {a( 1- q^n) }{1- q}=\frac{\frac{1}{2}[1-(\frac{1}{2})^{n}]}{1-\frac{1}{2}}\\=1-(\frac12)^n$

03/步驟：計(jì)算 $\lim_{n\to\infty}S_{n}$

$\lim_{n\to\infty}S_{n}=\lim_{n\to\infty}[1-(\frac{1}{2})^{n}]\\$

$\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{2})^{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^{n}}=0$

$\lim_{n\to\infty}S_{n}=\lim_{n\to\infty}(1-0)=1\\$

級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty(\frac12)^n$ 收斂

例題2 判斷級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty2^n=2+(2)^2+\ldots+(2)^n+\ldots$ 的斂散性。

01/步驟：找到一般項(xiàng) $u_{n}=\left ( 2 \right )^{n}$

02/步驟：計(jì)算 $S_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}+\ldots$

$S_n=2+(2)^2+\ldots+(2)^n$

等比數(shù)列求和公式 $S_n= a+ aq+ aq^2+ \ldots + aq^n= \frac {a( 1- q^n) }{1- q}=\frac{2[1-(2)^{n}]}{1-2}\\=2^{n+1}-2$

03/步驟：計(jì)算 $\lim_{n\to\infty}S_{n}$

$\lim_{n\to\infty}S_{n}=\lim_{n\to\infty}[2^{n+1}-2]=\infty\\$

級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty(2)^n$ 發(fā)散

p級(jí)數(shù)

例題3 判斷級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^{\infty}ln(1+\frac1{n^2})$ 的斂散性。

$u_n=ln(1+\frac1{n^2})$

$u_n=ln(1+\frac1{n^2})\sim\frac1{n^2}$

$p-$ 級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}$ 收斂

因此級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty ln(1+\frac1{n^2})$ 收斂

例題4 判斷級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty2^nsin\frac1{3^n}$ 的斂散性。

$\sum_{n=1}^{\infty}2^{n}sin\frac{1}{3^{n}}$ $u_{n}=2^{n}sin\frac{1}{3^{n}}$

且 $n\to\infty$ 時(shí) $\frac{1}{3^{n}}\to0, sin\frac{1}{3^{n}}\sim\frac{1}{3^{n}},u_{n}=2^{n}sin\frac{1}{3^{n}}\sim2^{n}\frac{1}{3^{n}}=(\frac{2}{3})^{n}$

等比級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2}{3})^{n}$ 收斂，因此 $\sum_{n=1}^{\infty}2^{n}sin\frac{1}{3^{n}}$ 收斂

含有a_n,n!

例題5 判斷級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^\infty\frac{2^nn!}{n^n}$ 的斂散性。

01/步驟：寫出 $u_n$ 和 $u_{n+1}$

$u_n=\frac{2^nn!}{n^n}\quad u_{n+1}=\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}$

02/步驟：求比值 $\frac{u_{n+1}}{u_n}$

$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{2^nn!}{n^n}}=\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{2^nn!}=\frac{2^n\cdot2(n+1)n!}{(n+1)^n(n+1)}\cdot\frac{n^n}{2^nn!}=\frac{2n^n}{(n+1)^n}$