1 算法題 ：使用分塊算法在有序數(shù)組中查找指定元素

1.1 題目含義

在給定一個有序數(shù)組的情況下，使用分塊查找算法來查找數(shù)組中是否包含指定的元素。分塊查找算法是一種結(jié)合了順序查找和二分查找思想的算法，它將有序數(shù)組劃分為若干個塊，每個塊內(nèi)的元素不必有序，但塊與塊之間必須保持有序。首先通過塊之間的有序性來快速定位到目標(biāo)元素可能存在的塊，然后在該塊內(nèi)進(jìn)行順序查找。

1.2 示例

示例 1:
輸入：

• 有序數(shù)組：[1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29]
• 塊大小：5
• 目標(biāo)元素：17

輸出：

• 7

說明：

• 數(shù)組被劃分為 3 個塊：[1, 3, 5, 7, 9]、[11, 13, 15, 17, 19] 和 [21, 23, 25, 27, 29]。通過比較塊的首個元素，可以確定目標(biāo)元素 17 在第二個塊中。然后在該塊內(nèi)進(jìn)行順序查找，找到元素 17 的位置為 7（從 0 開始計數(shù)）。

示例 2:
輸入：

• 有序數(shù)組：[1, 4, 6, 9, 13, 16, 19, 22, 25, 28]
• 塊大小：4
• 目標(biāo)元素：10

輸出：

• -1

說明：

• 數(shù)組被劃分為 3 個塊：[1, 4, 6, 9]、[13, 16, 19, 22] 和 [25, 28]。通過比較塊的首個元素，可以確定目標(biāo)元素 10 不在任何一個塊中，因此整個數(shù)組中也不存在該元素。

示例 3:
輸入：

• 有序數(shù)組：[]
• 塊大小：10
• 目標(biāo)元素：50

輸出：

• -1

說明：

• 有序數(shù)組為空，50 不存在于有序數(shù)組中，返回 -1。

2 解題思路

2.1 簡單分塊查找

（1）確定塊數(shù)：

首先，根據(jù)給定的塊大小，計算數(shù)組可以分成的塊數(shù)。如果數(shù)組長度不是塊大小的整數(shù)倍，則最后一個塊的大小可能會小于塊大小。

（2）定位目標(biāo)塊：

遍歷數(shù)組中的塊，通過比較每個塊的首個元素和目標(biāo)元素的大小關(guān)系，確定目標(biāo)元素可能所在的塊。如果目標(biāo)元素小于當(dāng)前塊的首個元素，則目標(biāo)元素不可能在當(dāng)前塊及之后的塊中，可以提前結(jié)束遍歷。

（3）塊內(nèi)順序查找：

在定位到的目標(biāo)塊內(nèi)，使用順序查找算法來查找目標(biāo)元素。從目標(biāo)塊的起始位置開始，逐個比較元素直到找到目標(biāo)元素或遍歷完整個塊。

（4）返回結(jié)果：

如果找到了目標(biāo)元素，則返回其在數(shù)組中的位置（索引）。如果遍歷完所有塊都沒有找到目標(biāo)元素，則返回表示未找到的標(biāo)志（如-1）。

2.2 優(yōu)化塊內(nèi)查找

這種思路在第一種的基礎(chǔ)上，對塊內(nèi)查找進(jìn)行了優(yōu)化。

（1）確定塊數(shù)和索引映射：

首先，像第一種思路一樣確定塊數(shù)。然后，可以建立一個索引映射關(guān)系，將每個元素映射到其所屬的塊和塊內(nèi)的相對位置。這樣可以在定位到目標(biāo)塊后，直接計算出目標(biāo)元素在塊內(nèi)的相對位置，減少不必要的比較操作。

（2）定位目標(biāo)塊：

這一步與第一種思路相同，通過比較塊的首個元素和目標(biāo)元素的大小關(guān)系，確定目標(biāo)元素可能所在的塊。

（3）塊內(nèi)直接定位：

利用索引映射關(guān)系，直接計算出目標(biāo)元素在塊內(nèi)的相對位置。然后，通過該相對位置訪問數(shù)組元素，檢查是否為目標(biāo)元素。

（4）返回結(jié)果：

如果找到了目標(biāo)元素，則返回其在數(shù)組中的位置（索引）。如果遍歷完所有塊都沒有找到目標(biāo)元素，則返回表示未找到的標(biāo)志（如-1）。

3 算法實現(xiàn)代碼

3.1 簡單分塊查找

如下為算法實現(xiàn)代碼：

#include <iostream>  
#include <vector>  
#include <cmath>  
#include <algorithm>  class Solution
{
public:// 分塊查找算法實現(xiàn)  int blockSearch(const std::vector<int>& arr, int blockSize, int target) {int n = arr.size();int blockNum = (n + blockSize - 1) / blockSize; // 計算塊數(shù)，向上取整  // 遍歷塊，定位目標(biāo)元素可能所在的塊  for (int i = 0; i < blockNum; ++i) {int blockStart = i * blockSize;int blockEnd = std::min(blockStart + blockSize, n); // 塊內(nèi)最后一個元素的索引  // 如果目標(biāo)元素小于當(dāng)前塊的最小值，則目標(biāo)元素不可能在當(dāng)前塊及之后的塊中  if (target < arr[blockStart]) {break;}// 如果目標(biāo)元素大于當(dāng)前塊的最大值，則繼續(xù)查找下一個塊  if (target > arr[blockEnd - 1]) {continue;}// 在目標(biāo)塊內(nèi)進(jìn)行順序查找  for (int j = blockStart; j < blockEnd; ++j) {if (arr[j] == target) {return j; // 返回目標(biāo)元素在數(shù)組中的位置  }}}return -1; // 未找到目標(biāo)元素  }
};

這段代碼首先計算了塊數(shù) blockNum，然后遍歷每個塊，通過比較塊的首個元素 arr[blockStart] 和最后一個元素 arr[blockEnd - 1] 與目標(biāo)元素 target 的大小關(guān)系，來確定目標(biāo)元素可能所在的塊。如果目標(biāo)元素小于當(dāng)前塊的最小值，則它不可能在當(dāng)前塊及之后的塊中，可以提前結(jié)束遍歷。如果目標(biāo)元素在當(dāng)前塊內(nèi)，則在該塊內(nèi)進(jìn)行順序查找，直到找到目標(biāo)元素或遍歷完整個塊。如果遍歷完所有塊都沒有找到目標(biāo)元素，則返回 -1 表示未找到。

調(diào)用上面的算法，并得到輸出：

int main() 
{Solution s;std::vector<int> arr = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29 };int blockSize = 5; // 塊大小  int target = 17; // 目標(biāo)元素  int index = s.blockSearch(arr, blockSize, target);if (index != -1) {std::cout << "Element found at index: " << index << std::endl;}else {std::cout << "Element not found in the array." << std::endl;}return 0;
}

上面代碼的輸出為：

Element found at index: 8

3.2 優(yōu)化塊內(nèi)查找

如下為算法實現(xiàn)代碼：

#include <iostream>  
#include <vector>  
#include <cmath>  
#include <algorithm>  
#include <unordered_map>  class Solution
{
public:// 分塊查找算法實現(xiàn)  int blockSearch(const std::vector<int>& arr, int blockSize, int target) {int n = arr.size();int blockNum = (n + blockSize - 1) / blockSize; // 計算塊數(shù)，向上取整  std::unordered_map<int, std::pair<int, int>> blockIndicesAndOffsets; // 存儲塊索引和塊內(nèi)偏移量  computeBlockIndicesAndOffsets(arr, blockSize, blockIndicesAndOffsets);// 遍歷塊，定位目標(biāo)元素可能所在的塊  for (int i = 0; i < blockNum; ++i) {int blockStart = i * blockSize;int blockEnd = std::min(blockStart + blockSize, n); // 塊內(nèi)最后一個元素的索引  // 如果目標(biāo)元素小于當(dāng)前塊的最小值，則目標(biāo)元素不可能在當(dāng)前塊及之后的塊中  if (target < arr[blockStart]) {break;}// 如果目標(biāo)元素大于當(dāng)前塊的最大值，則繼續(xù)查找下一個塊  if (target > arr[blockEnd - 1]) {continue;}// 檢查目標(biāo)元素是否在塊內(nèi)，并返回其位置  auto it = blockIndicesAndOffsets.find(target);if (it != blockIndicesAndOffsets.end() && it->second.first == i) {return blockStart + it->second.second; // 返回目標(biāo)元素在數(shù)組中的位置  }}return -1; // 未找到目標(biāo)元素 }private:// 計算并存儲每個元素的塊索引和塊內(nèi)偏移量  void computeBlockIndicesAndOffsets(const std::vector<int>& arr, int blockSize,std::unordered_map<int, std::pair<int, int>>& blockIndicesAndOffsets) {int n = arr.size();for (int i = 0; i < n; ++i) {int blockIndex = i / blockSize;int offset = i % blockSize;blockIndicesAndOffsets[arr[i]] = { blockIndex, offset };}}
};

在這個代碼中，computeBlockIndicesAndOffsets 函數(shù)用于計算并存儲每個元素的塊索引和塊內(nèi)偏移量。optimizedBlockSearch 函數(shù)首先通過遍歷塊來定位目標(biāo)元素可能所在的塊，然后直接檢查目標(biāo)元素是否在預(yù)計算的塊索引和偏移量映射中，并且其塊索引與當(dāng)前遍歷的塊索引相匹配。如果找到匹配項，則直接返回目標(biāo)元素在數(shù)組中的位置。

注意：這種方法只適用于數(shù)組不會改變的情況，因為一旦數(shù)組發(fā)生變化，就需要重新計算塊索引和偏移量。此外，如果數(shù)組非常大或者元素非常多，存儲塊索引和偏移量映射可能會消耗大量內(nèi)存。因此，在實際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體情況權(quán)衡這種優(yōu)化方法的利弊。

4 測試用例

以下是針對上面算法的測試用例，基本覆蓋了各種情況：

（1）基礎(chǔ)測試用例
輸入：數(shù)組 arr = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29}，塊大小 blockSize = 5，目標(biāo)元素 target = 17
輸出：找到目標(biāo)元素 17，位置為 8
說明：目標(biāo)元素位于第三個塊內(nèi)，算法能夠正確找到其位置。

（2）邊界測試用例
輸入：數(shù)組 arr = {1, 3, 5, 7, 9}，塊大小 blockSize = 3，目標(biāo)元素 target = 1
輸出：找到目標(biāo)元素 1，位置為 0
說明：目標(biāo)元素位于數(shù)組的第一個元素，算法能夠正確處理邊界情況。

輸入：數(shù)組 arr = {1, 3, 5, 7, 9}，塊大小 blockSize = 3，目標(biāo)元素 target = 9
輸出：找到目標(biāo)元素 9，位置為 4
說明：目標(biāo)元素位于數(shù)組的最后一個元素，算法能夠正確處理邊界情況。

（3）塊內(nèi)查找測試用例
輸入：數(shù)組 arr = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29}，塊大小 blockSize = 5，目標(biāo)元素 target = 23
輸出：找到目標(biāo)元素 23，位置為 12
說明：目標(biāo)元素位于第三個塊內(nèi)，但不是塊的首個或末尾元素，算法能夠在塊內(nèi)正確找到目標(biāo)元素。

（4）未找到目標(biāo)元素測試用例
輸入：數(shù)組 arr = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29}，塊大小 blockSize = 5，目標(biāo)元素 target = 30
輸出：未找到目標(biāo)元素 30
說明：目標(biāo)元素不在數(shù)組中，算法能夠正確處理未找到目標(biāo)元素的情況。

（5）空數(shù)組測試用例
輸入：數(shù)組 arr = {}，塊大小 blockSize = 5，目標(biāo)元素 target = 1
輸出：未找到目標(biāo)元素 1
說明：數(shù)組為空，算法能夠正確處理空數(shù)組的情況。

（6）單個塊測試用例
輸入：數(shù)組 arr = {1, 2, 3, 4, 5}，塊大小 blockSize = 5，目標(biāo)元素 target = 3
輸出：找到目標(biāo)元素 3，位置為 2
說明：整個數(shù)組只包含一個塊，算法能夠正確處理單個塊的情況。