來了來了，切向量，切空間。流形上的所有的線性泛函的集合，注意是函數(shù)的集合。然后取流形上的某點p，它的切向量為，線性泛函到實數(shù)的映射。沒錯，是函數(shù)到實數(shù)的映射，是不是想到了求導(dǎo)。我們要逐漸熟悉把函數(shù)作為一個自變量，而且的它的因變量可以是一個實數(shù)。而且這個切向量是線性的，還有個導(dǎo)子我也不太明白，但有點類似于對偶空間里的那種概念。

總之，滿足條件的就是方向偏導(dǎo)數(shù)這個算子。導(dǎo)子就是求導(dǎo)乘積公式吧。

這里還有一點，因為是函數(shù)的集合，其實我們在想象其幾何意義的時候是比較困難的。首先流形你可以想象成一個光滑的曲面，但是流形上的泛函你是很難繼續(xù)想象幾何意義的。?

?這里的意思是說切空間是一個超平面，那么它是什么曲面上的超平面呢？這個曲面代表什么呢？我們想一下，正常來表示一個曲面，可能需要類似

x=x(u,v)

y=y(u,v)

z=z(u,v)

這樣一個參數(shù)方程。從流形的角度考慮，u,v其實就是R^2的空間，而x,y,z就是拓撲流形。它上面的光滑標(biāo)量場可以認為是(x,y,z)到R^2的同胚，然后在泛函到R上。也就是說，三維空間下的一個二維曲面是一個微分流形，我們?nèi)∷囊粋€局部，它應(yīng)該同胚于R^2，然后我們應(yīng)該有一個到R的映射，這就是它的泛函。為什么要進入這樣一個標(biāo)量場呢：

所以我們不妨假設(shè)現(xiàn)在這個坐標(biāo)它有一個物理標(biāo)量和它對應(yīng)即可。這樣我們得到了一個叫做“場”的東西，所以，如果說流形是一個可以想象的光滑曲面，那我們現(xiàn)在對上面的每一個坐標(biāo)取一個標(biāo)量函數(shù)，那么就會得到一個“場”。要注意，這個場表示的是這個映射的本身，而不是映射后的值。這個場我們可以具象化為磁場，電場等。然后考慮切空間，它是作用在這個映射上，或者說作用在這個“場”上的偏導(dǎo)方向算子，特殊一點就是梯度（變化最快的一個方向）。每一個方向?qū)?shù)的結(jié)果就是一個“斜率”，理論上我們可以寫出這個斜率下經(jīng)過p點的“直線方程”，我們把所有的方向全部組合在一起，所有的直線就變成了平面，也就是這個場的超平面。回到數(shù)學(xué)分析的課本上，它首先就定義了一個標(biāo)準坐標(biāo)t,然后參數(shù)方程x=x(t),后面要對這個方程求導(dǎo)，所以這個方程就是我們的“場”。這個場有完整的坐標(biāo)結(jié)構(gòu)，t是“x軸”，x是“y軸”?？梢韵胂蟪梢粋€曲面，后面求導(dǎo)得到的切平面和我們前面說的就是一一對應(yīng)的了。

不過既然x=x(t)是場，那么它的標(biāo)量函數(shù)應(yīng)該就是x1=x1(t),? x2=x2(t).... 所以t就是標(biāo)準的流形吧。

不過因為x和t同胚，可以把x理解成流形，t理解成R^n空間也是可以的。

其實我們經(jīng)常說的曲面，或者函數(shù)圖像，它的本質(zhì)就是映射本身。而不是單純的探討定義域和值域。一般來說，定義域和值域應(yīng)該更多的都是單純的多面體才對。

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這個定義要好好理解，首先它定義了經(jīng)過p點的參數(shù)曲線的合集。首先把一個極小的區(qū)間映射到R^n空間，然后這個是和流形M是同胚的。在R^n中，我們想找到一個小區(qū)間到R^n映射的切向量，那么就是單純的在R^n空間下求導(dǎo)數(shù)即可。這個思路應(yīng)該是這樣：例如3維空間下的二維曲面，我們想要拋棄三維的嵌入概念，直接把它的二維同胚給拿來分析，然后用一維的曲線先去做一個參數(shù)映射，得到二維空間下的曲線。求個導(dǎo)就是對應(yīng)的切向量了，把這些所有的曲線集合起來，那么就得到了切空間。這里其實用到了一個小知識點，我們要求導(dǎo)，其實就是固定一個軸，然后對另一個軸求變化率。就像曲面是uv坐標(biāo)軸構(gòu)成的，那么我們可以固定u軸，對v求導(dǎo)即可。其實就偏導(dǎo)的概念了。

?這里的符號比較微妙，TM下面少了個p，所以就是任何M上的點的所有切向量的有序?qū)Φ募稀Ｇ邢蛄渴怯泻芏嗟?#xff0c;因為方向?qū)?shù)有無數(shù)個方向。

要牢記，切叢是所有切向量有序?qū)Φ募?#xff0c;而向量場是切叢的一個截影，是一個映射。其實有序?qū)褪且粋€映射。

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說的有道理，非數(shù)學(xué)系我也覺得這樣就夠了。注意“場”是一個映射，把流形映射到一個標(biāo)量上，形成的一個“場”，這個場是映射本身的性質(zhì)。

?這個定義對我可能有點奇怪，流形上的第一個標(biāo)量場繼續(xù)求方向?qū)?shù)，得到第二個標(biāo)量場。不過也對，本來求導(dǎo)后得到的是一個切空間，但現(xiàn)在考慮的是完整的流形M，那么所有的切空間的合集應(yīng)該還是一個標(biāo)量場。不過這里應(yīng)該是直接拿到切空間某一個方向的導(dǎo)數(shù)即可。而不是全部的切空間。

來到對偶空間。和前面類似，我們分析一個空間，也要分析這個空間上建立的泛函映射，這個映射就是對偶空間。

對偶基的概念，其實就是在原來基的基礎(chǔ)上，映射到0還是1的問題。感覺是可以化成標(biāo)準基的意思。

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這里應(yīng)該作者寫錯了，參考線性代數(shù)應(yīng)該這樣學(xué)：90頁

就是說v和v**是自然同構(gòu)，他們的同構(gòu)定義是需要滿足一定的關(guān)系的。

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為什么這么復(fù)雜，還要繼續(xù)定義切空間上面的對偶空間哦。?

定義太多了，然我們回到微分的主題上，看有沒有辦法用最好的辦法記憶。

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