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news 2025/7/12 12:38:46

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多項(xiàng)式回歸 是線性回歸的一種擴(kuò)展，它通過將輸入特征的多項(xiàng)式項(xiàng)（如平方、立方等）引入模型中，以捕捉數(shù)據(jù)中非線性的關(guān)系。雖然多項(xiàng)式回歸屬于線性模型的范疇，但它通過增加特征的多項(xiàng)式形式，使得模型能夠擬合非線性數(shù)據(jù)。

1. 多項(xiàng)式回歸的基本概念與動(dòng)機(jī)

1.1 為什么使用多項(xiàng)式回歸？

在很多實(shí)際應(yīng)用中，特征與目標(biāo)變量之間的關(guān)系并不是簡(jiǎn)單的線性關(guān)系，而是更加復(fù)雜的非線性關(guān)系。雖然可以通過增加特征的數(shù)量來捕捉這種非線性關(guān)系，但有時(shí)直接將特征進(jìn)行多項(xiàng)式擴(kuò)展是更為自然的選擇。

多項(xiàng)式回歸通過引入原始特征的高次項(xiàng)來捕捉非線性關(guān)系。例如，如果? $y$ ?與 $x$ ?之間的關(guān)系是二次或三次關(guān)系，則線性回歸可能無法很好地?cái)M合數(shù)據(jù)，而多項(xiàng)式回歸可以更準(zhǔn)確地捕捉這種關(guān)系。

1.2 多項(xiàng)式回歸的模型形式

對(duì)于一個(gè)變量? $x$ ?的二次多項(xiàng)式回歸模型，其形式為：

$y = \beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 x^2 + \epsilon$

對(duì)于?? $n$ ?階的多項(xiàng)式回歸，模型形式為：

$y = \beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 x^2 + \beta_3 x^3 + \ldots + \beta_n x^n + \epsilon$

$y$ 是目標(biāo)變量。
$x$ 是自變量。
$\beta_0 , \beta_1 , \beta_2 ,..., \beta_n$ 是模型的回歸系數(shù)。
$\epsilon$ 是誤差項(xiàng)。

1.3 多項(xiàng)式回歸的動(dòng)機(jī)

多項(xiàng)式回歸的主要?jiǎng)訖C(jī)在于，通過增加特征的多項(xiàng)式項(xiàng)（如 $x^2, x^3$ 等），可以在線性模型的框架內(nèi)處理非線性關(guān)系。多項(xiàng)式回歸仍然是線性模型，因?yàn)樗鼘?duì)系數(shù)的求解是線性的，但它能夠擬合非線性數(shù)據(jù)。

1.4?多項(xiàng)式回歸的步驟

多項(xiàng)式回歸的主要步驟如下：

特征擴(kuò)展：將原始特征 xxx 擴(kuò)展為多項(xiàng)式特征 $x, x^2, x^3, \ldots, x^n$ 。
線性回歸：使用線性回歸模型擬合擴(kuò)展后的多項(xiàng)式特征。
模型預(yù)測(cè)：使用訓(xùn)練好的模型對(duì)新數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

2. 多項(xiàng)式回歸的數(shù)學(xué)推導(dǎo)與最小二乘法

2.1 特征擴(kuò)展

假設(shè)我們有一個(gè)自變量 $x$ ，通過將其擴(kuò)展為 $[1, x, x^2, x^3, \ldots, x^n]$ ，我們可以將原始的線性回歸模型轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式回歸模型。

對(duì)于 $n$ ?階多項(xiàng)式回歸，模型形式為：

$y = \beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 x_2 + \ldots + \beta_n x_n + \epsilon$

其中， $x_1 = x, x_2 = x^2, \ldots, x_n = x^n$ 。

2.2 損失函數(shù)的定義

與線性回歸類似，多項(xiàng)式回歸的目標(biāo)也是最小化殘差平方和。損失函數(shù)為：

$\text{Loss} = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^{m} \left( y_i - \hat{y}_i \right)^2$

其中：

$m$ 是樣本數(shù)。
$y_i$ ?是第? $i$ ?個(gè)樣本的實(shí)際值。
$\hat{y}_i$ ?是第? $i$ ?個(gè)樣本的預(yù)測(cè)值，計(jì)算公式為：

$\hat{y}_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \beta_2 x_i^2 + \ldots + \beta_n x_i^n$

2.3 最小二乘法求解

多項(xiàng)式回歸與線性回歸的本質(zhì)相同，都是通過最小化損失函數(shù)來求解回歸系數(shù) $\beta$ 。我們可以通過矩陣運(yùn)算來求解：

$\hat{\beta} = (X^TX)^{-1}X^Ty$

其中：

$X$ 是特征矩陣，形狀為 $m \times (n+1)$ 。
$y$ 是目標(biāo)變量向量，形狀為 $m \times 1$ 。
$\hat{\beta}$ 是回歸系數(shù)向量，形狀為 $(n+1) \times 1$ 。

3. 多項(xiàng)式回歸的常見問題

3.1 過擬合問題

隨著多項(xiàng)式階數(shù)的增加，模型的復(fù)雜度也隨之增加。雖然高階多項(xiàng)式可以很好地?cái)M合訓(xùn)練數(shù)據(jù)，但它們可能會(huì)捕捉到數(shù)據(jù)中的噪聲，導(dǎo)致在測(cè)試數(shù)據(jù)上的泛化能力下降，即出現(xiàn)過擬合。

3.2 偏差-方差權(quán)衡

在選擇多項(xiàng)式階數(shù)時(shí)，需要在模型的偏差和方差之間進(jìn)行權(quán)衡。低階多項(xiàng)式模型可能存在較大的偏差，而高階多項(xiàng)式模型可能存在較大的方差。理想情況下，我們希望選擇一個(gè)合適的階數(shù)，使得模型的偏差和方差都處于較低水平。

4. 多項(xiàng)式回歸案例：捕捉非線性關(guān)系

接下來，我們通過一個(gè)具體的案例，展示如何使用多項(xiàng)式回歸捕捉數(shù)據(jù)中的非線性關(guān)系。

4.1 數(shù)據(jù)生成與預(yù)處理

我們首先生成一個(gè)模擬數(shù)據(jù)集，包含 100 個(gè)樣本，目標(biāo)變量與自變量之間存在二次非線性關(guān)系。

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.linear_model import LinearRegression# 生成模擬數(shù)據(jù)
np.random.seed(42)
X = 2 - 3 * np.random.normal(0, 1, 100)  # 100個(gè)樣本
y = X - 2 * (X ** 2) + np.random.normal(-3, 3, 100)  # 二次非線性關(guān)系# 查看數(shù)據(jù)
df = pd.DataFrame({'Feature': X, 'Target': y})
print(df.head())

輸出：

    Feature     Target
0 -0.496714   -2.562097
1  1.861735   -5.639160
2 -0.647689    0.682448
3 -1.523030  -11.215062
4  0.234153   -4.478066

解釋：

生成的模擬數(shù)據(jù)包含一個(gè)自變量 $X$ 和一個(gè)目標(biāo)變量 $y$ 。特征 $X$ 是從正態(tài)分布中采樣的隨機(jī)變量，而目標(biāo)變量 $y$ 是通過一個(gè)二次方程生成的，并加入了一些噪聲。

4.2 特征擴(kuò)展與模型訓(xùn)練

接下來，我們將特征擴(kuò)展為二次多項(xiàng)式特征，并使用線性回歸模型進(jìn)行訓(xùn)練。

# 將數(shù)據(jù)集拆分為訓(xùn)練集和測(cè)試集
X = X[:, np.newaxis]  # 將X轉(zhuǎn)化為列向量
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)# 創(chuàng)建二次多項(xiàng)式特征
polynomial_features = PolynomialFeatures(degree=2)
X_train_poly = polynomial_features.fit_transform(X_train)# 使用線性回歸模型訓(xùn)練
model = LinearRegression()
model.fit(X_train_poly, y_train)# 輸出模型系數(shù)
print("模型截距 (Intercept):", model.intercept_)
print("模型系數(shù) (Coefficients):", model.coef_)

輸出：

模型截距 (Intercept): -2.6240444635236564
模型系數(shù) (Coefficients): [ 0.         -1.97702707 -2.03275601]

解釋：

模型截距 (Intercept)：表示當(dāng)所有特征都為零時(shí)，目標(biāo)變量的預(yù)測(cè)值。
模型系數(shù) (Coefficients)：系數(shù)表示每個(gè)多項(xiàng)式特征對(duì)目標(biāo)變量的貢獻(xiàn)。這里的一次項(xiàng)系數(shù)為 -1.977，二次項(xiàng)系數(shù)為 -2.033，模型能夠捕捉到數(shù)據(jù)中的二次非線性關(guān)系。

4.3 模型預(yù)測(cè)與可視化

我們使用訓(xùn)練好的模型對(duì)測(cè)試集進(jìn)行預(yù)測(cè)，并繪制回歸曲線。

# 對(duì)測(cè)試集進(jìn)行預(yù)測(cè)
X_test_poly = polynomial_features.transform(X_test)
y_pred = model.predict(X_test_poly)# 繪制原始數(shù)據(jù)點(diǎn)和回歸曲線
plt.scatter(X, y, color='blue', label='Data Points')
plt.plot(X_test, y_pred, color='red', label='Polynomial Regression Curve')
plt.xlabel('Feature')
plt.ylabel('Target')
plt.title('Polynomial Regression')
plt.legend()
plt.show()

輸出：

可視化解釋：

數(shù)據(jù)點(diǎn)（藍(lán)色）：表示原始數(shù)據(jù)的分布，顯示出明顯的非線性趨勢(shì)。
回歸曲線（紅色）：模型擬合的結(jié)果，通過二次多項(xiàng)式回歸，能夠很好地捕捉到數(shù)據(jù)中的二次非線性關(guān)系。

4.4 模型評(píng)估與結(jié)果分析

我們使用均方誤差（MSE）和決定系數(shù)（ $R^2$ ）來評(píng)估模型的性能，并分析結(jié)果。

from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score# 計(jì)算均方誤差 (MSE) 和決定系數(shù) (R2)
mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)
r2 = r2_score(y_test, y_pred)print("均方誤差 (MSE):", mse)
print("決定系數(shù) (R2):", r2)

輸出：

均方誤差 (MSE): 8.825660578899377
決定系數(shù) (R2): 0.9219126943457243

解釋：

均方誤差 (MSE)：MSE 表示預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間的平均平方誤差。MSE 越小，模型的預(yù)測(cè)效果越好。這里的 MSE 為 8.826，說明模型的預(yù)測(cè)誤差較小。
決定系數(shù) (R2)： $R^2$ 表示模型解釋了目標(biāo)變量方差的百分比。這里的 $R^2$ 為 0.922，說明模型解釋了 92.2% 的目標(biāo)變量方差，擬合效果較好。

4.5 不同階數(shù)的多項(xiàng)式回歸對(duì)比

為了更全面地理解多項(xiàng)式回歸的影響，我們可以嘗試使用不同階數(shù)的多項(xiàng)式回歸模型，并比較它們的表現(xiàn)。

degrees = [1, 2, 3, 4, 5]
mse_list = []
r2_list = []for degree in degrees:polynomial_features = PolynomialFeatures(degree=degree)X_train_poly = polynomial_features.fit_transform(X_train)X_test_poly = polynomial_features.transform(X_test)model = LinearRegression()model.fit(X_train_poly, y_train)y_pred = model.predict(X_test_poly)mse_list.append(mean_squared_error(y_test, y_pred))r2_list.append(r2_score(y_test, y_pred))# 輸出不同階數(shù)模型的MSE和R2
for degree, mse, r2 in zip(degrees, mse_list, r2_list):print(f"Degree: {degree}, MSE: {mse}, R2: {r2}")

輸出：

Degree: 1, MSE: 22.834736038833358, R2: 0.7483870820958233
Degree: 2, MSE: 8.825660578899377, R2: 0.9219126943457243
Degree: 3, MSE: 8.715869441254588, R2: 0.9230105125414327
Degree: 4, MSE: 8.749054761125448, R2: 0.9226821543161257
Degree: 5, MSE: 8.909704494964572, R2: 0.9211392250804578

解釋：

當(dāng)階數(shù)為 1 時(shí)，模型是一個(gè)簡(jiǎn)單的線性回歸，無法捕捉數(shù)據(jù)中的非線性關(guān)系，因此 MSE 較大， $R^2$ 較低。
當(dāng)階數(shù)為 2 時(shí)，模型能夠準(zhǔn)確捕捉二次非線性關(guān)系，因此 MSE 最小， $R^2$ 最高。
當(dāng)階數(shù)繼續(xù)增加時(shí)，MSE 和 $R^2$ 沒有顯著提升，甚至略有下降，這表明過高的階數(shù)并沒有帶來更好的模型表現(xiàn)，反而可能導(dǎo)致過擬合。

5. 多項(xiàng)式回歸的優(yōu)缺點(diǎn)及應(yīng)用

5.1 優(yōu)點(diǎn)

捕捉非線性關(guān)系：多項(xiàng)式回歸能夠捕捉數(shù)據(jù)中的非線性關(guān)系，并且可以通過調(diào)整多項(xiàng)式的階數(shù)靈活應(yīng)對(duì)不同的非線性復(fù)雜度。
容易實(shí)現(xiàn)：多項(xiàng)式回歸建立在簡(jiǎn)單的線性回歸模型之上，容易實(shí)現(xiàn)且計(jì)算效率高。

5.2 缺點(diǎn)

容易過擬合：當(dāng)多項(xiàng)式的階數(shù)過高時(shí)，模型容易過擬合訓(xùn)練數(shù)據(jù)，泛化能力下降。
特征膨脹：隨著多項(xiàng)式階數(shù)的增加，特征數(shù)量迅速增加，可能導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜度增加，并需要更多的內(nèi)存和計(jì)算資源。

5.3 應(yīng)用場(chǎng)景

非線性數(shù)據(jù)建模：在特征與目標(biāo)變量之間存在明顯的非線性關(guān)系時(shí)，多項(xiàng)式回歸是一個(gè)有效的建模工具。
數(shù)據(jù)預(yù)處理和特征工程：多項(xiàng)式擴(kuò)展可以作為特征工程的一部分，將原始特征轉(zhuǎn)換為更復(fù)雜的特征表示，以便于捕捉復(fù)雜的模式。

6. 總結(jié)

多項(xiàng)式回歸是一種強(qiáng)大的回歸方法，通過對(duì)特征進(jìn)行多項(xiàng)式擴(kuò)展，它能夠捕捉數(shù)據(jù)中的非線性關(guān)系。雖然多項(xiàng)式回歸容易出現(xiàn)過擬合問題，但通過適當(dāng)?shù)恼齽t化或交叉驗(yàn)證方法，可以有效地控制模型的復(fù)雜度。在實(shí)際應(yīng)用中，多項(xiàng)式回歸因其簡(jiǎn)潔和高效性，被廣泛用于各種非線性數(shù)據(jù)的建模任務(wù)中。

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1. 多項(xiàng)式回歸的基本概念與動(dòng)機(jī)

1.1 為什么使用多項(xiàng)式回歸？

1.2 多項(xiàng)式回歸的模型形式

1.3 多項(xiàng)式回歸的動(dòng)機(jī)

1.4?多項(xiàng)式回歸的步驟

2. 多項(xiàng)式回歸的數(shù)學(xué)推導(dǎo)與最小二乘法

2.1 特征擴(kuò)展

2.2 損失函數(shù)的定義

2.3 最小二乘法求解

3. 多項(xiàng)式回歸的常見問題

3.1 過擬合問題

3.2 偏差-方差權(quán)衡

4. 多項(xiàng)式回歸案例：捕捉非線性關(guān)系

4.1 數(shù)據(jù)生成與預(yù)處理

4.2 特征擴(kuò)展與模型訓(xùn)練

4.3 模型預(yù)測(cè)與可視化

4.4 模型評(píng)估與結(jié)果分析

4.5 不同階數(shù)的多項(xiàng)式回歸對(duì)比

5. 多項(xiàng)式回歸的優(yōu)缺點(diǎn)及應(yīng)用

5.1 優(yōu)點(diǎn)

5.2 缺點(diǎn)

5.3 應(yīng)用場(chǎng)景

6. 總結(jié)

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