最長(zhǎng)公共子序列

這是leetcode上的一道原題 題目連接如下

最長(zhǎng)公共子序列

題目描述如下

給定兩個(gè)字符串 text1 和 text2，返回這兩個(gè)字符串的最長(zhǎng) 公共子序列 的長(zhǎng)度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。

一個(gè)字符串的 子序列 是指這樣一個(gè)新的字符串：它是由原字符串在不改變字符的相對(duì)順序的情況下刪除某些字符（也可以不刪除任何字符）后組成的新字符串。

• 例如，“ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。

兩個(gè)字符串的 公共子序列 是這兩個(gè)字符串所共同擁有的子序列。

遞歸版本

還是一樣 我們首先來(lái)設(shè)計(jì)一個(gè)函數(shù) 函數(shù)原型如下

int process(string& str1 , string& str2 , int i , int j)

這個(gè)遞歸函數(shù)的含義是 給你兩個(gè)字符串 s1 和 s2 再給你它們的一個(gè)最大下標(biāo) 現(xiàn)在要求這個(gè)函數(shù)返回它們公共子序列的最大值

參數(shù)表示如下

• int i ： 表示一個(gè)字符串str1中的下標(biāo)
• int j ： 表示一個(gè)字符串str2中的下標(biāo)

還是一樣 我們首先想base case

• 假如i的下標(biāo)為0 j的下標(biāo)也為0 此時(shí)我們就可以直接返回一個(gè)確定的值

代碼表示如下

  // base case     if (i == 0 && j == 0)    {    return str1[i] == str2[j] ? 1 : 0;    }  

此時(shí)我們排除了i 和 j都為0的情況 剩下了三種情況

• i j 其中一個(gè)為0 （兩種）
• i j都不為0

當(dāng)i j都不為0時(shí)候 我們還要討論 i j 是否為公共子序列的下標(biāo)也是分為三種情況

• i可能是 j不是
• j可能是 i不是
• i j都是

之后我們分別將代碼全部寫(xiě)好就可以了

 if (i == 0){if (str1[i] == str2[j]){return 1;}else {return process(str1 , str2 , i , j-1);}}else if (j == 0){if (str1[i] == str2[j]){return 1;}else {                                                                                                                           return process(str1 , str2 , i - 1 , j);    }}else  {// j != 0;// i != 0;// possible i  ... jint p1 = process(str1 , str2 , i - 1 , j);int p2 = process(str1 , str2 , i , j - 1);int p3 = str1[i] == str2[j] ? 1 + process(str1 , str2 , i -1 , j -1) : 0 ;return max(p1 , max (p2 , p3));}
}

動(dòng)態(tài)規(guī)劃

我們觀察原遞歸函數(shù)

process(string& str1 , string& str2 , int i , int j)

我們發(fā)現(xiàn)變化的值只有 i 和 j

于是我們可以利用i j 做出一張dp表

還是一樣 我們首先來(lái)看base case

  // base case     if (i == 0 && j == 0)    {    return str1[i] == str2[j] ? 1 : 0;    }  

于是我們就可以把i == 0 并且 j ==0 的這些位置值填好

dp[0][0] = str1[0] == str2[0] ? 1 : 0;

之后根據(jù) i == 0 j ==0 這兩個(gè)分支繼續(xù)動(dòng)規(guī)

  for (int j = 1 ; j < static_cast<int>(str2.size()) ; j++){                                                              dp[0][j] = str1[0] == str2[j] ?  1 : dp[0][j-1];             }                                         for (int i = 1 ; i < static_cast<int>(str1.size()) ; i++){                                                        dp[i][0] = str1[i] == str2[0] ? 1 : dp[i-1][0];}

遞歸的最后一部分依賴(lài)三個(gè)位置

  else  {// j != 0;// i != 0;// possible i  ... jint p1 = process(str1 , str2 , i - 1 , j);int p2 = process(str1 , str2 , i , j - 1);int p3 = str1[i] == str2[j] ? 1 + process(str1 , str2 , i -1 , j -1) : 0 ;return max(p1 , max (p2 , p3));}

我們只需要再遞歸表中依次填寫(xiě)即可 代碼表示如下

int process1(string& str1, string& str2, vector<vector<int>>& dp)    
{    dp[0][0] = str1[0] == str2[0] ? 1 : 0;    for (int j = 1 ; j < static_cast<int>(str2.size()) ; j++)    {    dp[0][j] = str1[0] == str2[j] ?  1 : dp[0][j-1];    }    for (int i = 1 ; i < static_cast<int>(str1.size()) ; i++)    {    dp[i][0] = str1[i] == str2[0] ? 1 : dp[i-1][0];    }    for (int i = 1 ; i < static_cast<int>(str1.size()) ; i++)    {    for (int j = 1 ; j < static_cast<int>(str2.size()) ; j++)    {    int p1 = dp[i-1][j];    int p2 = dp[i][j-1];    int p3 = str1[i] == str2[j] ? 1 + dp[i-1][j-1] : 0;    dp[i][j] = max(p1 , max(p2 , p3));                                                                                        }    }    return dp[str1.size() - 1][str2.size() - 1];    
}

最長(zhǎng)回文串子序列

方法一

做這道題目我們其實(shí)可以復(fù)用下上面的最長(zhǎng)公共子序列的代碼來(lái)做

我們可以將字符串逆序一下創(chuàng)造出一個(gè)新的字符串

再找出這兩個(gè)字符串的最長(zhǎng)公共子序列 我們找出來(lái)的最長(zhǎng)公共子序列就是回文子序列 （其實(shí)我們可以想想兩個(gè)指針從一個(gè)字符串的兩端開(kāi)始查找）

方法二

遞歸版本

我們寫(xiě)的遞歸函數(shù)如下

int process(string& str , int L , int R)  

它的含義是 我們給定一個(gè)字符串str 返回給這個(gè)字符串從L到R位置上的最大回文子串

參數(shù)含義如下

• str 我們需要知道回文子串長(zhǎng)度的字符串
• L 我們需要知道回文子串長(zhǎng)度的起始位置
• R 我們需要知道回文子串長(zhǎng)度的終止位置

所有的遞歸函數(shù)都一樣 我們首先來(lái)想base case

這道題目中變化的參數(shù)其實(shí)就只有L 和 R 所以說(shuō)我們只需要考慮L和R的base case

如果L和R相等 如果L和R只相差1

  if (L == R)    {              return 1;    }              if (L == R - 1)    {                  return str[L] == str[R] ? 2 : 1;    }      

之后我們來(lái)考慮下普遍的可能性

• 如果L 和 R就是回文子序列的一部分
• 如果L可能是回文子序列的一部分 R不是
• 如果L不是回文子序列的一部分 R有可能是

我們按照上面的可能性分析寫(xiě)出下面的代碼 之后返回最大值即可

  int p1 = process(str , L + 1 , R);    int p2 = process(str , L , R - 1);int p3 = str[L] == str[R] ? 2 + process(str , L + 1, R - 1) : 0;                                                              return max(max(p1 , p2) , p3);

動(dòng)態(tài)規(guī)劃

我們注意到原遞歸函數(shù)中 可變參數(shù)只有L 和 R 所以說(shuō)我們只需要圍繞著L 和 R建立一張二維表就可以

當(dāng)然 在一般情況下 L是一定小于等于R的 所以說(shuō)L大于R的區(qū)域我們不考慮

我們首先來(lái)看base case

  if (L == R)    {              return 1;    }              if (L == R - 1)    {                  return str[L] == str[R] ? 2 : 1;    }   

圍繞著這個(gè)base case 我們就可以填寫(xiě)兩個(gè)對(duì)角線的內(nèi)容

    for (int L = 0; L < str.size(); L++){for(int R = L; R < str.size(); R++){if (L == R){dp[L][R] = 0;}if (L == R-1){dp[L][R-1] = str[L] == str[R] ? 2 : 1;}}                                                                                                                         }

接下來(lái)我們看一個(gè)格子普遍依賴(lài)哪些格子

  int p1 = process(str , L + 1 , R);    int p2 = process(str , L , R - 1);int p3 = str[L] == str[R] ? 2 + process(str , L + 1, R - 1) : 0;          

從上面的代碼我們可以看到 分別依賴(lài)于

L+1 R  
L , R-1
L+1 , R-1

從圖上來(lái)分析 黑色的格子依賴(lài)于三個(gè)紅色格子

于是我們就可以沿著對(duì)角線來(lái)不斷的填寫(xiě)數(shù)字

橫行一直從0開(kāi)始 縱列一直在變化 所以我們用列來(lái)遍歷

最后返回dp[0][str.size()-1]即可

  int process1(string& str ,  vector<vector<int>>& dp){for (int L = 0; L < str.size(); L++){for(int R = 0; R < str.size(); R++){if (L == R){dp[L][R] = 1;}if (L == R-1){dp[L][R] = str[L] == str[R] ? 2 : 1;}}}                                             for (int startR = 2; startR < str.size(); startR++){int L = 0;int R = startR;while (R < str.size()){int p1 = dp[L+1][R];int p2 = dp[L][R-1];int p3 = str[L] == str[R] ? 2 + dp[L+1][R-1] : 0;dp[L][R] = max(p1 , max(p2 , p3));L++;R++;}}return dp[0][str.size()-1];}

象棋問(wèn)題

遞歸版本

現(xiàn)在給你一個(gè)橫長(zhǎng)為10 縱長(zhǎng)為9的棋盤(pán) 給你三個(gè)參數(shù) x y z

現(xiàn)在一個(gè)馬從（0 , 0）位置開(kāi)始運(yùn)動(dòng)

提問(wèn) 有多少種方法使用K步到指定位置 （指定位置坐標(biāo)隨機(jī)給出 且一定在棋盤(pán)上）

首先我們可以想出這么一個(gè)函數(shù)

int process(int x , int y , int rest , int a , int b)   

它象棋目前在 x y位置 還剩下 rest步 目的地是到 a b位置

讓你返回一個(gè)最多的路數(shù)

我們首先來(lái)想base case

• 首先肯定是剩余步數(shù)為0 我們要開(kāi)始判斷是否跳到目的地了
• 其次我們還要判斷是否越界 如果越界我們直接返回0即可

代碼表示如下

    if (x < 0 || x > 9 || y < 0 || y > 8){return 0;}if (rest == 0){return (x == a && y ==b) ? 1 : 0;}

接下來(lái)我們開(kāi)始討論普遍情況 其實(shí)就是把馬的各個(gè)位置跳一遍

  int ways = process(x-2 , y+1 , rest-1 , a , b);    ways += process(x-1 , y+2 , rest-1 , a , b);    ways += process(x+1 , y+2 , rest-1 , a , b);    ways += process(x+2 , y+1 , rest-1 , a , b);    ways += process(x-2 , y-1 , rest-1 , a, b);    ways += process(x-1 , y-2 , rest-1 , a , b);    ways += process(x+1 , y-2 , rest-1 , a, b);                                                                                     ways += process(x+2 , y-1 , rest-1 , a ,b);    

其實(shí)這樣子我們的代碼就完成了 總體代碼如下

int process(int x , int y , int rest , int a , int b)
{if (x < 0 || x > 9 || y < 0 || y > 8){return 0;}if (rest == 0)    {    return (x == a && y ==b) ? 1 : 0;    }    int ways = process(x-2 , y+1 , rest-1 , a , b);    ways += process(x-1 , y+2 , rest-1 , a , b);    ways += process(x+1 , y+2 , rest-1 , a , b);    ways += process(x+2 , y+1 , rest-1 , a , b);    ways += process(x-2 , y-1 , rest-1 , a, b);    ways += process(x-1 , y-2 , rest-1 , a , b);    ways += process(x+1 , y-2 , rest-1 , a, b);                                                                                     ways += process(x+2 , y-1 , rest-1 , a ,b);    return ways;    
}    

動(dòng)態(tài)規(guī)劃

我們對(duì)于原遞歸函數(shù)進(jìn)行觀察 可以得知

int process(int x , int y , int rest , int a , int b)

原函數(shù)中 變化的參數(shù)只有 x y 和rest 于是乎我們可以建立一個(gè)三維的數(shù)組

x的范圍是0 ~ 9 y的范圍是0 ~ 8 而rest的范圍則是根據(jù)我們步數(shù)來(lái)決定的 0~K

所以說(shuō)此時(shí)我們以X為橫坐標(biāo) Y為縱坐標(biāo) REST為豎坐標(biāo)

vector<vector<vector<int>>> dp(10 , vector<vector<int>>(9 , vector<int>(8 , 0))); 

我們首先看base case分析下

    if (x < 0 || x > 9 || y < 0 || y > 8){return 0;}

如果有越界的地方 我們直接返回0即可

   if (rest == 0){return (x == a && y ==b) ? 1 : 0;}

在z軸為0的時(shí)候 我們只需要將a b 0坐標(biāo)標(biāo)記為1即可

nt process1(int k , int a , int b , vector<vector<vector<int>>>& dp)
{                             dp[a][b][0] = 1;               for (int z = 1; z <= k; z++)                 {                                          for (int x = 0; x < 10; x++)             {                                          for (int y = 0; y < 9; y++)            {                                      int ways = pickdp(x-2 , y+1 , z-1, dp);ways += pickdp(x-1 , y+2 , z-1 , dp);ways += pickdp(x+1 , y+2 , z-1 , dp);ways += pickdp(x+2 , y+1 , z-1 , dp);ways += pickdp(x-2 , y-1 , z-1 , dp);ways += pickdp(x-1 , y-2 , z-1 , dp);ways += pickdp(x+1 , y-2 , z-1 , dp);                                                                                         ways += pickdp(x+2 , y-1 , z-1 , dp);dp[x][y][z] = ways;}}                }return dp[0][0][k];
}

咖啡機(jī)問(wèn)題

給你一個(gè)數(shù)組arr arr[i]表示第i號(hào)咖啡機(jī)泡一杯咖啡德時(shí)間

給定一個(gè)正數(shù)N 表示第N個(gè)人等著咖啡機(jī)泡咖啡 每臺(tái)咖啡機(jī)只能輪流泡咖啡

只有一臺(tái)洗咖啡機(jī) 一次只能洗一個(gè)被子 時(shí)間耗費(fèi)a 洗完才能洗下一杯

當(dāng)然 每個(gè)咖啡杯也能自己揮發(fā)干凈 揮發(fā)干凈的時(shí)間為b 咖啡機(jī)可以并行的揮發(fā)

假設(shè)所有人拿到咖啡之后立刻喝干凈

返回從開(kāi)始等待到所有咖啡機(jī)變干凈的最短時(shí)間

---

我們首先來(lái)分析下題目

這里其實(shí)是兩個(gè)問(wèn)題

• 問(wèn)題一 每個(gè)人喝咖啡喝完的時(shí)間是多少
• 問(wèn)題二 每個(gè)人洗完的時(shí)間是多少

對(duì)于問(wèn)題一 我們可以使用一個(gè)小根堆來(lái)做

我們定義一個(gè)機(jī)器類(lèi) 里面有兩個(gè)成員函數(shù)

機(jī)器的開(kāi)始時(shí)間和機(jī)器的使用時(shí)間 我們使用它們相加之和來(lái)作為小根堆排序的依據(jù)

之后我們就能得到每個(gè)人喝完咖啡的最優(yōu)解了

class Machine     
{    public:    int _starttime;    int _worktime;    public:    int getsum() const    {    return _starttime + _worktime;    }    public:    Machine() = default;    Machine(int st , int wt)    :_starttime(st)    ,_worktime(wt)    {}    bool operator()(const Machine& obj1 , const Machine& obj2)    {    return obj1.getsum() > obj2.getsum();    }    
};   

vector<int>  process(vector<int>& arr , int num) 
{vector<int> ans;priority_queue<Machine , vector<Machine> , Machine> heap;for (auto x : arr)                                                                                                                  {heap.push(Machine(0 , x));}for (int i = 0; i < num; i++){Machine cur  = heap.top();heap.pop();ans.push_back(cur.getsum());cur._starttime += cur._worktime;heap.push(Machine(cur._starttime , cur._worktime));}return ans;
}

遞歸版本

我們?cè)趯?xiě)遞歸版本的時(shí)候首先要想到遞歸函數(shù)的含義

它的含義是返回一個(gè)所有咖啡杯都被洗完的最小值

之后我們可以想base case 當(dāng)什么樣的時(shí)候 該函數(shù)無(wú)法遞歸了

最后列出所有可能性即可

int process(vector<int>& end , int index , int a , int b , int avltime)
{if (index == static_cast<int>(end.size())){return 0;}    // possible 1     int p1 = max(a + end[index] , process(end , index+1 , a , b , avltime));    // possible 2    int p2 = max(b + end[index], process(end , index+1 , a , b , avltime + b));                                                         return min(p1 , p2);    
}

動(dòng)態(tài)規(guī)劃

這個(gè)問(wèn)題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃涉及到一個(gè)大小問(wèn)題

因?yàn)槲覀儫o(wú)法確定avltime使用到的時(shí)間 所以這里有兩種解決方案

• 將它開(kāi)辟的足夠大
• 根據(jù)最大值計(jì)算 （假設(shè)所有人都用咖啡機(jī)洗）

int dpprocess(vector<int>& end , int a , int b , vector<vector<int>> dp)
{// dp[N][...] = 0;for (int indexdp = static_cast<int>(end.size()) - 1; indexdp >= 0 ; indexdp--){for (int freetime = 0; freetime <= 10000 ; freetime++){int p1 = max(a + end[indexdp] , dp[indexdp+1][freetime]);int p2 = max(b + end[indexdp] , dp[indexdp+1][freetime+b]);dp[indexdp][freetime] = min(p1 , p2);}}return dp[0][0];
}