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本講目標(biāo)
●理解三維空間的剛體運(yùn)動(dòng)描述方式:旋轉(zhuǎn)矩陣、變換矩陣、四元數(shù)和歐拉角。
●學(xué)握Eigen庫的矩陣、幾何模塊使用方法。
旋轉(zhuǎn)矩陣、變換矩陣
向量外積
向量外積(又稱叉積或向量積)是一種重要的向量運(yùn)算,它表示兩個(gè)向量所形成的平行四邊形的面積。在幾何學(xué)中,向量外積的大小是表示兩個(gè)向量所形成的平行四邊形的面積。
a x b 幾何意義:a轉(zhuǎn)到b右手坐標(biāo)系的方向
a x b 大小:就是兩個(gè)向量所圍成的平行四邊形的面積。
xw世界坐標(biāo),xc表示camera相機(jī)坐標(biāo)
好處:將旋轉(zhuǎn)和平移的動(dòng)作放在一個(gè)矩陣中,這樣每次變換就可以先進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和平移動(dòng)作的全部疊加,變換矩陣。
TWR 表示機(jī)器人坐標(biāo)在世界坐標(biāo)下的位姿,TRW表示世界坐標(biāo)在機(jī)器人坐標(biāo)下的位姿。
正交矩陣
正交矩陣是指其轉(zhuǎn)置等于逆的矩陣,性質(zhì)是逆也是正交陣、積也是正交陣。
正交:可以簡(jiǎn)單理解成就是垂直.
我們假設(shè)A是一個(gè)列向量矩陣,標(biāo)識(shí)為 A=[ α1,α2,α3·····αn] ,那么按照定義就是:
旋轉(zhuǎn)向量和歐拉角
歐拉角:在三維空間中通過指定與三個(gè)旋轉(zhuǎn)軸相關(guān)聯(lián)的三個(gè)角度來最小參數(shù)化表示任意方向。
一共有3種歐拉角:俯仰角(Pitch)、偏航角(Yaw)和滾轉(zhuǎn)角(Roll)
根據(jù)不同的旋轉(zhuǎn)順序,可以得到很多種歐拉角。
萬向鎖
四元數(shù)
四元數(shù)可以看成擴(kuò)展的復(fù)數(shù),有固定的運(yùn)算。
任意一個(gè)旋轉(zhuǎn)都可以那一個(gè)四元數(shù)表示出來,不像歐拉角會(huì)受到限制。
參考鏈接:
向量外積的幾何意義是什么
正交矩陣定義和性質(zhì)
正交矩陣