馬哈拉諾比斯距離（Mahalanobis Distance）是一種衡量點(diǎn)與分布之間距離的度量，尤其適用于多維數(shù)據(jù)。與歐幾里得距離不同，馬哈拉諾比斯距離考慮了數(shù)據(jù)的協(xié)方差結(jié)構(gòu)，因此在統(tǒng)計(jì)分析和異常值檢測中非常有用。

定義

給定一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn) $\mathbf{x}$ 和均值 $\mu$，以及數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣 $\mathbf{S}$，馬哈拉諾比斯距離定義為：

$$D_M(\mathbf{x},\mu )=\sqrt{(\mathbf{x}?\mu {)}^T{\mathbf{S}}^{?1}(\mathbf{x}?\mu )}$$

特點(diǎn)

1. 尺度不變性：馬哈拉諾比斯距離對(duì)不同特征的尺度不敏感，適合高維數(shù)據(jù)。
2. 考慮協(xié)方差：通過使用協(xié)方差矩陣，可以捕捉到特征之間的相關(guān)性。
3. 適用于多維數(shù)據(jù)：在多維空間中，馬哈拉諾比斯距離可以有效區(qū)分正常數(shù)據(jù)和異常值。

應(yīng)用

• 異常值檢測：可以用于識(shí)別遠(yuǎn)離均值的點(diǎn)，判斷其是否為異常值。
• 聚類分析：在聚類算法中使用馬哈拉諾比斯距離能夠提高聚類結(jié)果的準(zhǔn)確性。
• 分類問題：在某些分類算法中，使用馬哈拉諾比斯距離可以改進(jìn)分類性能。

馬哈拉諾比斯距離是一種強(qiáng)大的距離度量，特別是在處理具有相關(guān)特征的數(shù)據(jù)時(shí)。