1. 行變換消元法,XA 左乘行變換

• 假設我們有一個方程組表示如下：
  $$x+2y+z=2;3x+8y+z=12;4y+z=2\text{\hspace{1em}(1)}$$
• 矩陣表示如下：
  $$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ & & \\ 3& 8& 1\\ & & \\ 0& 4& 1\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ & & \\ 0& 2& ?2\\ & & \\ 0& 4& 1\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ & & \\ 0& 2& ?2\\ & & \\ 0& 0& 5\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$
• 矩陣右乘AX列變換，矩陣左乘XA行變換
• 第一行乘以-3 加到第二行，矩陣表示如下：
  $$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ & & \\ ?3& 1& 0\\ & & \\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ & & \\ 3& 8& 1\\ & & \\ 0& 4& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ & & \\ 0& 2& ?2\\ & & \\ 0& 4& 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3)}$$
• 第二行乘以-2 加到第三行，矩陣表示如下：
  $$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ & & \\ 0& 1& 0\\ & & \\ 0& ?2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ & & \\ 0& 2& ?2\\ & & \\ 0& 4& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ & & \\ 0& 2& ?2\\ & & \\ 0& 0& 5\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4)}$$
• 小結：可以用矩陣形式表示消元如下：
  $$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ & & \\ 0& 1& 0\\ & & \\ 0& ?2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ & & \\ ?3& 1& 0\\ & & \\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ & & \\ 3& 8& 1\\ & & \\ 0& 4& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ & & \\ 0& 2& ?2\\ & & \\ 0& 0& 5\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(5)}$$
• 上述矩陣轉換成方程組可得：
  $$\begin{array}{r}x+2y+z=2\\ \\ 2y?2z=6\\ \\ 5z=?10\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$
• 得出結果如下:
  $$x=2;y=1;z=?2\text{\hspace{1em}(7)}$$
• 小結
  $$AX=b\to 表示的是矩陣A的列向量通過X進行右乘列變換求和得到b\text{\hspace{1em}(8)}$$
  $$YA=c\to 表示的是矩陣A的行向量通過Y進行左乘行變換求和得到c\text{\hspace{1em}(9)}$$