🎯要點

🎯平流擴散簡單離散微分算子 | 🎯相場模擬：簡單旋節(jié)線分解、枝晶凝固的 | 🎯求解二維波動方程，離散化時間導數(shù)

🎯英偉達 A100 人工智能核性能評估模型 | 🎯熱漲落流體動力學求解及算法

📜有限差分法 | 本文 - 用例

📜Python和Julia河流湖泊沿海水域特征數(shù)值算法模型

📜Python和C++數(shù)學物理計算分形熱力學靜電學和波動方程

📜Python物理學有限差分微分求解器和動畫波形傳播

📜Python數(shù)值和符號算法計算及3D視圖物理數(shù)學波形方程

📜Python氮氧甲烷乙烷乙烯丙烯氣體和固體熱力學模型計算

📜Python射頻電磁腫瘤熱療數(shù)學模型和電磁爆炸性變化統(tǒng)計推理模型

🍇Python有限差分逼近余弦導數(shù)

函數(shù)$f(x)$在$x=a$點的導數(shù)$f^{\prime }(x)$定義為：
$$f^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)?f(a)}{x?a}$$
$x=a$ 處的導數(shù)就是此時的斜率。在該斜率的有限差分近似中，我們可以使用點 $x=a$ 附近的函數(shù)值來實現(xiàn)目標。不同的應用中使用了多種有限差分公式，下面介紹其中的三種，其中導數(shù)是使用兩點的值計算的。

前向差分是使用連接 $\left(x_j,f\left(x_j\right)\right)$ 和 $\left(x_{j+1},f\left(x_{j+1}\right)\right)$?的線來估計 $x_j$ 處函數(shù)的斜率：
$$f^{\prime }\left(x_j\right)=\frac{f\left(x_{j+1}\right)?f\left(x_j\right)}{x_{j+1}?x_j}$$
后向差分是使用連接 $\left(x_{j?1},f\left(x_{j?1}\right)\right)$ 和 $\left(x_j,f\left(x_j\right)\right)$ 的線來估計 $x_j$ 處函數(shù)的斜率：
$$f^{\prime }\left(x_j\right)=\frac{f\left(x_j\right)?f\left(x_{j?1}\right)}{x_j?x_{j?1}}$$
中間差分是使用連接 $\left(x_{j?1},f\left(x_{j?1}\right)\right)$ 和 $\left(x_{j+1},f\left(x_{j+1}\right)\right)$ 的線來估計$x_j$ 處函數(shù)的斜率：
$$f^{\prime }\left(x_j\right)=\frac{f\left(x_{j+1}\right)?f\left(x_{j?1}\right)}{x_{j+1}?x_{j?1}}$$
為了導出 $f$ 導數(shù)的近似值 ，我們回到泰勒級數(shù)。對于任意函數(shù) $f(x)$，對于任意函數(shù) $f(x)$ ， $f$ 圍繞 $a=x_j$ 的泰勒級數(shù)是 $f(x)=\frac{f\left(x_j\right){\left(x?x_j\right)}^0}{0!}+\frac{f^{\prime }\left(x_j\right){\left(x?x_j\right)}^1}{1!}+\frac{f^{\prime \prime }\left(x_j\right){\left(x?x_j\right)}^2}{2!}+\frac{f^{\prime \prime \prime }\left(x_j\right){\left(x?x_j\right)}^3}{3!}+?$

如果 $x$ 位于間距為 $h$ 的點網(wǎng)格上，我們可以計算 $x=x_{j+1}$ 處的泰勒級數(shù)以獲得
$$f\left(x_{j+1}\right)=\frac{f\left(x_j\right){\left(x_{j+1}?x_j\right)}^0}{0!}+\frac{f^{\prime }\left(x_j\right){\left(x_{j+1}?x_j\right)}^1}{1!}+\frac{f^{\prime \prime }\left(x_j\right){\left(x_{j+1}?x_j\right)}^2}{2!}+\frac{f^{\prime \prime \prime }\left(x_j\right){\left(x_{j+1}?x_j\right)}^3}{3!}+?$$
代入 $h=x_{j+1}?x_j$ 并求解 $f^{\prime }\left(x_j\right)$ 得出方程
$$f^{\prime }\left(x_j\right)=\frac{f\left(x_{j+1}\right)?f\left(x_j\right)}{h}+\left(?\frac{f^{\prime \prime }\left(x_j\right)h}{2!}?\frac{f^{\prime \prime \prime }\left(x_j\right)h^2}{3!}??\right)$$
括號中的項 $?\frac{f^{\prime \prime }\left(x_j\right)h}{2!}?\frac{f^{\prime \prime \prime }\left(x_j\right)h^2}{3!}??$ 被稱為 $h$ 的高階項。高階項可以重寫為
$$?\frac{f^{\prime \prime }\left(x_j\right)h}{2!}?\frac{f^{\prime \prime \prime }\left(x_j\right)h^2}{3!}??=h(\alpha +?(h))$$
其中 $\alpha$ 是某個常數(shù)，$?(h)$ 是 $h$ 的函數(shù)，當 $h$ 變?yōu)?0 時，該函數(shù)也變?yōu)?0。你可以用一些代數(shù)來驗證這是真的。我們使用縮寫“$O(h)$”來表示$h(\alpha +?(h))$，并且一般來說，我們使用縮寫“$O\left(h^p\right)$”來表示$h^p(\alpha +?(h))$

將 $O(h)$ 代入前面的方程得出
$$f^{\prime }\left(x_j\right)=\frac{f\left(x_{j+1}\right)?f\left(x_j\right)}{h}+O(h)$$
這給出了近似導數(shù)的前向差分公式為
$$f^{\prime }\left(x_j\right)\approx \frac{f\left(x_{j+1}\right)?f\left(x_j\right)}{h}$$
我們說這個公式是 $O(h)$。

💦示例：余弦函數(shù) $f(x)=\cos (x)$。我們知道$\cos (x)$的導數(shù)是$?\sin (x)$?。盡管在實踐中我們可能不知道我們求導的基礎函數(shù)，但我們使用簡單的例子來說明上述數(shù)值微分方法及其準確性。以下代碼以數(shù)值方式計算導數(shù)。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.style.use('seaborn-poster')
%matplotlib inline

h = 0.1
x = np.arange(0, 2*np.pi, h) 
y = np.cos(x) forward_diff = np.diff(y)/h 
x_diff = x[:-1:] 
exact_solution = -np.sin(x_diff) plt.figure(figsize = (12, 8))
plt.plot(x_diff, forward_diff, '--', \label = 'Finite difference approximation')
plt.plot(x_diff, exact_solution, \label = 'Exact solution')
plt.legend()
plt.show()max_error = max(abs(exact_solution - forward_diff))
print(max_error)

0.049984407218554114

如上圖所示，兩條曲線之間存在微小的偏移，這是由于數(shù)值導數(shù)求值時的數(shù)值誤差造成的。兩個數(shù)值結果之間的最大誤差約為 0.05，并且預計會隨著步長的增大而減小。

💦示例：以下代碼使用遞減步長 $h$ 的前向差分公式計算 $f(x)=\cos (x)$ 的數(shù)值導數(shù)。然后，它繪制近似導數(shù)和真實導數(shù)之間的最大誤差與 $h$ 的關系，如生成的圖形所示。

h = 1
iterations = 20 
step_size = [] 
max_error = [] for i in range(iterations):h /= 2 step_size.append(h) x = np.arange(0, 2 * np.pi, h) y = np.cos(x) forward_diff = np.diff(y)/h x_diff = x[:-1] exact_solution = -np.sin(x_diff) max_error.append(\max(abs(exact_solution - forward_diff)))
plt.figure(figsize = (12, 8))
plt.loglog(step_size, max_error, 'v')
plt.show()

雙對數(shù)空間中直線的斜率為 1 ；因此，誤差與$h^1$成正比，這意味著，正如預期的那樣，前向差分公式為$O(h)$。

👉參閱一：計算思維

👉參閱二：亞圖跨際