本篇思路：根據(jù)各方的資料，比如名師的資料，按大綱或者其他方式，收集/匯總考點，即需記憶點，在通過整體的記憶法，比如整體信息很多，通常使用記憶宮殿法，繪圖記憶法進行記憶，針對局部/細節(jié)/組成的部分，可通過多種方法，比如聯(lián)想記憶法、理解記憶法等進行進一步記憶。

考點

通過匯總各方大佬資料，作為收集考點/記憶點的信息輸入：XX，收集匯總如下：

匯總考點的必要，或者說，匯總記憶的內容的必要，不言而喻，首先，你要記憶東西，得有東西，所以你要梳理出你需要記憶的全部東西，其次，在收集多個大佬的梳理的考點，又可以找出各條邏輯幫助記憶考點，所以，梳理考點是很有必要的，是記憶的基礎，是記憶宮殿里面的物品，是我們最后考試需要去找到的解題物品。

記憶/考點匯總——按大綱

——加減乘除原理——
＋加法原理：分類計數(shù)原理：如果完成一件事有n類辦法，只要選擇其中一類辦法中的任何一種方法，就可以完成這件事。若第一類辦法中有$m_1$種不同的方法，第二類辦法中有$m_2$種不同的方法…第n類辦法中有$m_n$種不同的辦法，那么完成這件事共用$N=m_1+m_2+...+m_n$種不同的方法。
×乘法原理：分步計數(shù)原理：如果完成一件事，必須依次連續(xù)地完成n個步驟，這件事才能完成。若完成第一個步驟有$m_1$種不同的方法，完成第二個步驟有$m_2$種不同的方法……完成第n個步驟有$m_n$種不同的方法，那么完成這件事共有$N=m_1?m_2?......?m_n$種不同的方法。——【不同類的方法（其中每一種方法都能把事情從頭至尾做完）數(shù)之間做加法，不同步的方法（其中每一種方法都只能完成這件事的一部分）數(shù)之間做乘法】

-減法原理：正面難則反著做(“$?$”號)：當出現(xiàn)“至少、至多”、“否定用語"等正面較難分類的題目，可以采用反面進行求解，注意部分反面的技巧以及“且、或"的反面用法。

÷除法原理：看到相同，定序用除法消序($“÷"$號)：$÷$號的用法就在于消序，當題目需要消除順序的時候，就是$÷$號登場的時候。
（1）部分相同、定序；（2）環(huán)排；（3）分組；
（1）定序問題：當把某n個元素進行排序時，其中m個元素不計順序或者順序已定，要把這m個元素的順序除掉，有多少除多少，定序公式：$\frac{n!}{m!}$
（3）分組問題：
①均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以組數(shù)的階乘，即除法處理。
②非均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘，即組合處理。
③混合分組：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以均勻分組的組數(shù)的階乘。

——排列組合——
1.排列與組合的推導：
從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素做排列為$A_n^m$，事實上可以分為兩個步驟：
第一步：從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素做組合為$C_n^m$；
第二步：將這m個元素做全排列為$m!$，從而我們有$A_n^m=C_n^m?m!=C_n^m?A_m^m$，即$C_n^m=\frac{A_n^m}{m!}$
2. 排列是先組合再排列：
$A_n^m=C_n^m?A_m^m=C_n^m?m!$，故$A_n^m$可由組合$C_n^m$與階乘$m!$代替。
3. 排列與組合的區(qū)別：
口訣：與序無關是組合，要求有序是排列?！?font color="Orange">【】
4. 解題準則：
（1）排列$A_n^m=C_n^m?A_m^m=C_n^m?m!$，故排列是先組合再排列，即$A_n^m$可由組合$C_n^m$與階乘$m!$代替，為思路清晰，采用$C_n^m$與$m!$表達。
（2）選取元素或位置，用組合$C_n^m$。
（3）排序用階乘$m!$。
（4）將所有的題目拆解為“選取”和“排序”的過程，然后再對應寫表達式。
5. 排列問題與組合問題對比：
若從n個元素中取m個，需要考慮m的順序，則為排列問題，用$A_n^m$表示；
若從n個元素中取m個，無須考慮m的順序，則為組合問題，用$C_n^m$表示。
6. 排列數(shù)與組合數(shù)的含義對比：
（1）排列數(shù)A的含義：先挑選再排列，有序（元素之間互換位置，結果不同）。
（2）組合數(shù)C的含義：挑選、組合，無序（元素之間互換位置，結果不變）。

排列
從n個不同元素中，任意取出m(m≤n)個元素，按照一定順序排成一列，稱為從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。$?$排列
從n個不同元素中，取出m個元素(m≤n)的所有排列的種數(shù)，稱為從n個元素中取出m個元素的排列數(shù)，記作$A_n^m$。$?$$A_n^m$稱為排列數(shù)
當m=n時，即從n個不同元素中取出n個元素的排列，稱為n個元素的全排列，記作$A_n^n$，也稱為n的階乘，用符號$n!$表示。$?$$n!$稱為n的階乘
$A_n^m=n(n?1)(n?2)...(n?m+1)=\frac{n!}{(n?m)!}$$?$$A_n^m$稱為排列數(shù)
$A_n^n=n(n?1)(n?2)...2?1=n!$$?$$n!$稱為n的階乘/全排列
$A_n^{n?1}=A_n^n=n!$
$A_n^m\ne A_n^{n?m}$
$A_n^1=n$
$A_n^0=1$
$0!=1$、$1!=1$、$2!=2$、$3!=6$、$4!=24$、$5!=120$$?$常用數(shù)值——【】

組合
從n個不同元素中，任意取出m(m≤n)個元素并為一組，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個組合$?$組合
從n個不同元素中，取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù)、稱為從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，記作$C_n^m$$?$$C_n^m$稱為組合數(shù)
$C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n(n?1)...(n?m+1)}{m(m?1)...?2?1}=\frac{n!}{m!(n?m)!}=\frac{A_n^m}{m!}$，則$A_n^m=C_n^m?m!$ $?$$C_n^m$稱為組合數(shù)
$C_n^m=C_n^{n?m}$$?$組合數(shù)性質：對稱性
等式特點：等式兩邊下標同，上標之和等于下標：如$C_9^6=C_9^3=\frac{9\times 8\times 7}{3!}=84$ ，此性質作用：當$m＞\frac{n}{2}$時，計算$C_n^m$可變?yōu)橛嬎?span id="vxwlu0yf4" class="katex--inline">$C_n^{n?m}$，能夠使運算簡化。
$C_n^m=C_n^{n?m}$ ，可得：$C_n^x=C_n^y$ $?$$x=y或x+y=n$(易遺忘此種情況)，其中，x，y均為非負整數(shù)
$C_n^m=C_{n?1}^{m?1}+C_{n?1}^m$$?$組合數(shù)性質：遞推公式

$\frac{C_{n?1}^{m?1}}{C_n^m}=\frac{m}{m}$
$n!=n\times (n?1)!$
$(n+1)\times n!=(n＋1)!$
$n\times n!=[(n＋1)?1]\times n!=(n+1)\times n!?n!=(n+1)!?n!$
$\frac{n}{(n+1)!}=\frac{n+1?1}{(n+1)!}=\frac{n+1}{(n+1)!}?\frac{1}{(n+1)!}=\frac{1}{n!}?\frac{1}{(n+1)!}$$?$組合數(shù)性質

$C_n^0+C_n^1+C_n^2+...+C_n^n=2^n$
$C_n^0+C_n^2+C_n^4+...=2^{n?1}$
$C_n^1+C_n^3+C_n^5+...=2^{n?1}$ $?$組合恒等式

$C_n^0=C_n^n=1$
$C_n^1=C_n^{n?1}=n?1$
$C_3^2=C_3^1=3$
$C_5^2=C_5^3=10$
$C_6^2=C_6^4=15$$?$常用組合數(shù)

——奇技——
一個位置一個元素
（1）先特殊后一般
先處理特殊元素或位置，再處理一般元素或位置。
（2）相鄰、不相鄰問題
相鄰用捆綁打包法；不相鄰用插空法；當相鄰問題與不相鄰問題同時出現(xiàn)在題干
中，需要按照先解決相鄰再解決不相鄰問題的順序來求解。

一個位置多個元素（觀察元素與對象采用不同策略）
分房問題特征：
（1）1個房間可容納多個人；（2）每個人都只能去一間房。
①元素不同，對象不同，對元素無限定，則可重復使用——用方冪法；
②元素不同，對象不同，對元素有限定，元素與對象有對應關系——用對號不對號；
③元素不同，對象不同，對元素有限定，分組中有同樣的數(shù)量——先分堆后分配；
④元素不同，對象相同——只分堆，不分配；
⑤元素相同，對象不同——先滿足后隔板；
⑥元素相同，對象相同———窮舉，列舉法。

相鄰與不相鄰
相鄰問題采用捆綁法：將相鄰的幾個元素捆綁看成一個大元素，再與其余普通元素進行排列，注意不要忘記這個捆綁后的大元素內部需要排序。
不相鄰問題采用插空法：先排好其余元素，再將不相鄰的元素插入空位。

分房問題
適用條件：元素不同，對象不同，對元素無限定，則可重復使用。
表現(xiàn)形式：不同的元素無限制地進入到不同的位置。
前提條件：每個元素只能進人一個位置，但是每個位置可以容納多個元素。
注意事項：解決“允許重復排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復，另一類不能重復。把不能重復的元素看作“人”，能重復的元素看作“房”，再利用乘法原理直接求解的方法稱為“分房法”。一般地n個不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數(shù)為$m^n$種。
解決辦法：n個不同的元素無限制地進入m個不同的位置有$m^n$種方法。一共有“$可重復元{素}^{不可重復元素}$”種情況，即“可重復元素”為底數(shù)，“不可重復元素”為指數(shù)。
方法應用：n個人/不同的球/不同的信去m個不同房間/不同盒子/不同郵筒，有$m^n$種方法。

廣義的分房問題
要求：n個不同元素分給m個不同對象且所有元素全部分完
模型1：無限制條件的分房問題：任意分（容許有對象沒分到）：方冪法，共有$m^n$種
模型2：有限制條件的分房問題：有限制條件分（每個對象至少分1個）：先分堆再分配

對號與不對號：無論幾個元素，只要對號安排，都只有1種方法。
不對號安排記答案：2個不對號有1種方法；3個不對號有2種方法；4個不對號有9種方法；5個不對號有44種方法。

隔板法
適用條件：（1）元素相同；（2）對象不同；（3）每個對象至少分到1個。
方法原理：由于物品相同，每個對象僅以分到的數(shù)量來進行區(qū)分，所以通過隔板調整分配的數(shù)量，故隔板有幾種放法就表示有幾種分法。
使用要求：①n個元素要相同；②m個分配對象不同。
公式公式：如果分配對象非空，即每個對象至少分一個，則有$C_{n?1}^{m?1}$種；如果分配對象允許空，則有$C_{n+m?1}^{m?1}$種?！?font color="Orange">【理解記憶法：將n個相同元素擺成一排，它們之間有$n?1$個空位，插入$m?1$塊隔板就可以分成m份，所以公式為$C_{n?1}^{m?1}$。如果分配對象允許空，此時將元素看成$m+n$個，再用隔板法，則有$C_{n+m?1}^{m?1}$種。】——【理解記憶法：將n個相同的元素全分給m個對象，每個對象至少分1個。：把這n個元素排成一排，中間有n-1個空，挑出m-1個空放上擋板，自然就分成了m組，所以分法一共有$C_{n?1}^{m?1}$種；將n個相同的元素全分給m個對象，每個對象至少分0個元素（即可以為空）。：增加m個元素（m為對象的個數(shù)），此時一共有n+m個元素，中間形成n+m-1個空，選出m-1個空放上擋板即可，共有$C_{n+m?1}^{m?1}$種方法。】

n個不同元素作圓形排列，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人，共有$(n?1)!$種排法。如果從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有$\frac{1}{m}{C}_n^m$ 。

分組分配
（1）不同元素分組問題：
① 解題方法：如果出現(xiàn)m個小組沒有任何區(qū)別，則需要消序，除以$A_m^m$，其他情況的分組不需要消序。
② 技巧總結：1）小組無名稱，分組之后需要考慮消序，其中小組人數(shù)相同，則需要消序；小組人數(shù)不同，不需要消序。2）小組有名稱，按要求分組之后不需要考慮消序。
（2）不同元素分配問題：
① 解題方法：先分組（注意消序），再分配（排列）
② 技巧總結：按“先分組，再分配”的順序求解，分組時注意人數(shù)相同的小組需要消序。
（3）相同元素分配問題：
①相同元素分配不同對象至少分1個：
解題方法：擋板法：把n個相同元素排成一排，中間只有$n?1$個空，從中放$m?1$個擋板，故一共有$C_{n?1}^{m?1}$種分法。
②可以為0型：
解題方法：增加元素法：增加m個元素（m為對象的個數(shù)），使每個對象至少分得1個元素，滿足了擋板法使用的條件，分法共$C_{n+m?1}^{m?1}$種。
④可以為多型：
解題方法：減少元素法：使每個對象至少分得1個元素，再使用擋板法。

分堆
指定數(shù)量的分堆：按照所給每堆的數(shù)量要求進行分堆，注意有幾堆數(shù)量相同，就要除以幾的階乘，來進行消序。
未指定數(shù)量的分堆：如果數(shù)量沒有指定，則需要先根據(jù)數(shù)量分類，然后再按照每堆的數(shù)量要求進行分堆，注意有幾堆數(shù)量相同，就要除以幾的階乘，來進行消序。
指定元素的分堆：如果在分堆時，有特殊要求元素，則先安排特殊要求的元素，再選其他沒有要求的元素．注意特殊要求元素所在的組不用考慮消序。
分配問題：當出現(xiàn)不同的歸屬對象時，轉化為分配問題。分配問題包括兩個過程：先分堆，再配送。也就是先按照數(shù)量分好堆，再排序。

特殊元素分配
元素定序：先將n個元素進行全排列有$n!$種，m個元素的全排列有$m!$種，由于要求m個元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到去掉排序的作用，即若n個元素排成一列，其中m個元素次序一定，共有$\frac{n!}{m!}$種排列方法?；蛘哂媒M合法，對于定序元素，只需選位置即可，無需排序。
位置定序：在所給位置中，某些位置有大小順序要求，直接用組合法，選好元素放位置時無需排序。
部分元素相同：在對元素排列時，出現(xiàn)部分元素相同（沒有區(qū)別），要除以相同元素數(shù)量的階乘，以消除排序。比如n個元素中，有k個元素相同，其他元素不同，則排序的方法數(shù)為$\frac{n!}{k!}$。或者對于相同元素，采用組合選取位置，無需考慮順序。

全能元素
全能元素：全能元素是指一個元素可以同時具備多個屬性，在選取時，注意全能元素的歸宿問題。
全能卡片：遇到全能卡片，要根據(jù)全能卡片的選中情況來分類討論，當全能卡片選中時，要注意乘以倍數(shù)。
解題方法：對全能（特殊）元素要/不要，以及要幾個進行分類討論即可

單排環(huán)排
單排問題：
① 是且是 → 確定元素不用管，剩余元素直接排序即可；
② 是或是 → $A\cup B=A+B?A\cap B$；
③ 否且否 → 反面分析法：總情況數(shù)$?$是或是；
④ 否或否 → 反面分析法：總情況數(shù)$?$是且是。
環(huán)排公式：（1）若n個人圍著一張圓桌坐下，共有$(n—1)!$種坐法；（2）若從n個人中選出m個人圍著一張圓桌坐下，共有$C_n^m$·$(m?1)!$=$\frac{1}{m}?A_n^m$種坐法。

——XX——
古典概型：$P(A)=\frac{事件A包含的基本事件數(shù)k}{樣本空間中基本事件總數(shù)n}$
獨立事件：$P(AB)=P(A)P(B)$，則稱兩事件A和B是相互獨立的
伯努利公式：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率為$P_n(k)=C_n^k{p}^k{q}^{n?k}$，（$k=0，1，2，\dots ，n$），其中$q=1?p$。
$k=n$時，即在n次獨立重復試驗中事件A全部發(fā)生，概率為$P_n(n)=C_n^n{p}^n(1?p{)}^0=p^n$。
$k=0$時，即在n次獨立重復試驗中事件A沒有發(fā)生，概率為$P_n(0)=C_n^0{p}^0(1?p{)}^n=(1?p{)}^n$。
獨立地做一系列的伯努利試驗，直到第k次試驗時，事件A才首次發(fā)生的概率為$P_k=(1?P{)}^{k?1}$（$k=1,2,...,n$）。
n次獨立重復試驗的特征：
①試驗的次數(shù)不止一次，而是多次，次數(shù)$n\ge 1$；
②每次試驗的條件是一樣的，是重復性的試驗序列；
③每次試驗的結果只有A與$\overline{A}$兩種（即事件A要么發(fā)生，要么不發(fā)生），每次試驗相互獨立，試驗的結果互不影響，即各次試驗中發(fā)生的概率保持不變。

方差：$S^2=\frac{1}{n}[(x_1?\overline{x}{)}^2+(x_2?\overline{x}{)}^2+...+(x_n?\overline{x}{)}^2]$，意義：方差是反映一組數(shù)據(jù)的整體波動大小的指標，它是指一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，它反映的是一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況?！?font color="Orange">【先平均，再求差，然后平方，最后再平均?！?/strong>
簡化方差：$S^2=\frac{1}{n}[(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)?n{\overline{x}}^2]$
拓展公式：$S^2=\frac{1}{n}[(x_1?\overline{x}{)}^2+(x_2?\overline{x}{)}^2+...+(x_n?\overline{x}{)}^2]=\frac{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}{n}?(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}{)}^2$
標準差：$\sqrt{方差}$=$\sqrt{S^2}$，意義：方差和標準差都是用來描述一組數(shù)據(jù)波動情況的特征數(shù)，常用來比較兩組數(shù)據(jù)的波動大小、方差較大的波動較大，方差較小的波動較小，方差的單位是原數(shù)據(jù)的單位平方，標準差的單位與原數(shù)據(jù)的單位相同。

如果一組數(shù)據(jù)$x_1,x_2,...,x_n$的平均數(shù)是$\overline{x}$，方差為$S^2$，那么
（1）新數(shù)據(jù)$a{x}_1,a{x}_2,...,a{x}_n$的平均數(shù)是$a\overline{x}$，方差為$a^2{S}^2$；
（2）新數(shù)據(jù)$x_1+b,x_2+b,\dots ,x_n+b$的平均數(shù)是$\overline{x}+b$，方差為$S^2$；
（3）新數(shù)據(jù)$a{x}_1+b,a{x}_2+b,\dots ,a{x}_n+b$的平均數(shù)是$\alpha \overline{x}+b$，方差為$a^2{S}^2$。

整體

整體使用記憶宮殿法和繪圖記憶法等進行記憶

目錄大綱法

1. 計數(shù)原理
   加乘原理
   排列組合
   一個位置一個元素
   一個位置多個元素

2. 數(shù)據(jù)描述
   平均值
   方差與標準差

3. 概率
   事件及其簡單運算
   加法公式
   乘法公式
   古典概型
   伯努利概型

記憶宮殿法

繪圖記憶法

局部

學習記憶——數(shù)學篇——匯總——順口溜記憶法+諧音記憶法+理解記憶法+歸類記憶法+重點記憶法+比較記憶法+轉圖像記憶法

數(shù)字編碼法

學習記憶——記憶宮殿——編碼——數(shù)字編碼和字母編碼——兩位數(shù)
學習記憶——英語——字母編碼
學習記憶——記憶宮殿——編碼——數(shù)字編碼——數(shù)字聲母

對號不對號

【思路】“不對號”問題可以這樣記住答案：2個元素不對號，1種方法；3個元素不對號，2種方法；4個元素不對號，9種方法；5個元素不對號，44 種方法。

21鱷魚、32上顎、49死狗、544武器妻

鱷魚用上顎咬死了狗，妻子用武器打死了它。

歸類記憶法

數(shù)學知識有一個最顯著的特點，就是系統(tǒng)性很強。數(shù)學知識之間有著內在的聯(lián)系，我們可以按照它們的特性，恰當歸類，使之條理化、系統(tǒng)化，組成一個便于記憶的知識網絡。

重點記憶法

抓住一個重點，去推導，去聯(lián)想。

歌決記憶法

口訣：加法分類，類類相加；乘法分步，步步相乘。

諧音記憶法

涂色

（1）直線涂色：簡單的乘法原理。
（2）環(huán)形涂色公式：把一個環(huán)形區(qū)域分為k塊，每塊之間首尾相連，用s種顏色去涂，要求相鄰兩塊顏色不同，則不同的涂色方法有
$N=(s—1{)}^k＋(s—1)(?1{)}^k$，
式中，s為顏色數(shù)（記憶方法：se色），k為環(huán)形被分成的塊數(shù)（記憶方法：kuai 塊）。

理解記憶法

比較記憶法

轉圖像記憶法

學習記憶——數(shù)學篇——轉圖像記憶法