退火算法（Simulated Annealing, SA）是一種基于熱力學(xué)模擬的優(yōu)化算法，用于求解全局優(yōu)化問題。它通過模擬物理退火過程來尋找全局最優(yōu)解。以下是退火算法的基本原理和步驟：

一、基本原理

退火算法的靈感來源于金屬在高溫下緩慢冷卻至低溫的過程，這一過程中，金屬原子逐漸排列成能量最低的晶格結(jié)構(gòu)。類似地，退火算法通過模擬這一過程，在解空間中逐漸收斂到全局最優(yōu)解。

二、算法步驟

1. 初始解與溫度設(shè)定：

   • 隨機生成一個初始解。
   • 設(shè)定初始溫度 T 。

2. 循環(huán)過程：

   • 在當(dāng)前解的鄰域內(nèi)隨機生成一個新解。
   • 計算新解與當(dāng)前解的目標(biāo)函數(shù)值差異ΔE。
   • 如果 ΔE≤0，接受新解（新解更優(yōu)）。
   • 如果 ΔE>0，以概率 P=exp(?ΔE/T) 接受新解（防止陷入局部最優(yōu)）。
   • 逐步降低溫度 T（根據(jù)某個降溫函數(shù)，如T=T×α，其中 α 為冷卻速率，通常 0.8≤α≤0.99）。

3. 終止條件：

   • 當(dāng)溫度 T 低于某一閾值時，停止循環(huán)。
   • 或者達到預(yù)設(shè)的最大迭代次數(shù)時，停止循環(huán)。

偽代碼

function SimulatedAnnealing(InitialSolution, InitialTemperature, CoolingRate, StoppingTemperature):currentSolution = InitialSolutioncurrentTemperature = InitialTemperaturewhile currentTemperature > StoppingTemperature:newSolution = GenerateNeighbor(currentSolution)deltaE = Evaluate(newSolution) - Evaluate(currentSolution)if deltaE < 0:currentSolution = newSolutionelse if exp(-deltaE / currentTemperature) > random():currentSolution = newSolutioncurrentTemperature = currentTemperature * CoolingRatereturn currentSolution

三、應(yīng)用領(lǐng)域

退火算法在許多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，包括但不限于：

• 組合優(yōu)化問題，如旅行商問題（TSP）。
• 連續(xù)優(yōu)化問題，如函數(shù)最優(yōu)化。
• 工程設(shè)計優(yōu)化，如電路設(shè)計、結(jié)構(gòu)優(yōu)化等。

應(yīng)用舉例：旅行商問題（Traveling Salesman Problem, TSP）

旅行商問題是經(jīng)典的組合優(yōu)化問題，描述的是一名旅行商需要訪問若干城市并返回出發(fā)城市，要求訪問每個城市一次且總距離最短。

問題描述

給定若干城市和城市間的距離矩陣，找到一個訪問所有城市的最短路徑。

退火算法求解TSP步驟

1. 初始解與溫度設(shè)定：

   • 隨機生成一個初始路徑作為初始解。
   • 設(shè)定初始溫度 T 和降溫速率 α。

2. 生成鄰域解：

   • 在當(dāng)前路徑中隨機交換兩個城市的位置，生成一個新路徑。

3. 目標(biāo)函數(shù)：

   • 計算路徑的總距離。

4. 接受新解的準(zhǔn)則：

   • 根據(jù)退火算法的準(zhǔn)則接受或拒絕新解。

import random
import mathdef simulated_annealing(dist_matrix, initial_temp, cooling_rate, stopping_temp):def total_distance(path):return sum(dist_matrix[path[i]][path[i+1]] for i in range(len(path) - 1)) + dist_matrix[path[-1]][path[0]]def swap_two_cities(path):new_path = path[:]i, j = random.sample(range(len(path)), 2)new_path[i], new_path[j] = new_path[j], new_path[i]return new_pathcurrent_solution = list(range(len(dist_matrix)))random.shuffle(current_solution)current_distance = total_distance(current_solution)current_temp = initial_tempbest_solution = current_solution[:]best_distance = current_distancewhile current_temp > stopping_temp:new_solution = swap_two_cities(current_solution)new_distance = total_distance(new_solution)delta_distance = new_distance - current_distanceif delta_distance < 0 or math.exp(-delta_distance / current_temp) > random.random():current_solution = new_solutioncurrent_distance = new_distanceif new_distance < best_distance:best_solution = new_solutionbest_distance = new_distancecurrent_temp *= cooling_ratereturn best_solution, best_distance# 示例距離矩陣
distance_matrix = [[0, 10, 15, 20],[10, 0, 35, 25],[15, 35, 0, 30],[20, 25, 30, 0]
]initial_temperature = 1000
cooling_rate = 0.95
stopping_temperature = 0.01best_path, best_path_distance = simulated_annealing(distance_matrix, initial_temperature, cooling_rate, stopping_temperature)print("最短路徑:", best_path)
print("最短路徑距離:", best_path_distance)

解釋

1. total_distance: 計算路徑的總距離。
2. swap_two_cities: 在路徑中隨機交換兩個城市的位置，生成一個新路徑。
3. simulated_annealing: 退火算法的主函數(shù)，接受距離矩陣、初始溫度、冷卻速率和停止溫度作為參數(shù)。
4. distance_matrix: 一個示例距離矩陣，定義了各個城市之間的距離。
5. initial_temperature, cooling_rate, stopping_temperature: 退火算法的參數(shù)。

運行此代碼將輸出最短路徑及其對應(yīng)的總距離。

結(jié)果示例

最短路徑: [0, 2, 3, 1]
最短路徑距離: 80

四、優(yōu)缺點

優(yōu)點：

• 能夠逃避局部最優(yōu)，找到全局最優(yōu)解。
• 適用于各種復(fù)雜優(yōu)化問題。
• 實現(xiàn)相對簡單，參數(shù)可調(diào)節(jié)性強。

缺點：

• 計算量較大，尤其在早期迭代階段。
• 參數(shù)設(shè)置（初始溫度、冷卻速率、停止溫度等）對算法性能影響較大，需要實驗調(diào)整。

總之，退火算法通過模擬物理退火過程，有效地解決了許多復(fù)雜的全局優(yōu)化問題，是一種通用且強大的優(yōu)化算法。