1000.01.CS.AL.1.4-核心-DivedeToConquerAlgorithm-Created: 2024-06-15.Saturday09:35

1. 概述

分治算法（Divide and Conquer）是一種重要的算法設(shè)計思想，其核心思想是將一個復(fù)雜的問題分解為多個相對簡單的小問題，通過解決這些小問題再合并其結(jié)果，從而得到原問題的解。分治算法的典型特征是遞歸，常用于求解具有重復(fù)子問題性質(zhì)的問題。

2. 適用場景

分治算法適用于以下場景：

• 問題可以分解為若干個規(guī)模較小且相互獨立的子問題。
• 這些子問題的解可以合并得到原問題的解。
• 具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)，即子問題的最優(yōu)解可以合成原問題的最優(yōu)解。

3. 設(shè)計步驟

1. 分解（Divide）：將原問題分解為若干個子問題，這些子問題的結(jié)構(gòu)與原問題相同但規(guī)模較小。
2. 解決（Conquer）：遞歸地解決這些子問題。當(dāng)子問題的規(guī)模足夠小時，直接解決。
3. 合并（Combine）：將子問題的解合并，得到原問題的解。

4. 優(yōu)缺點

• 優(yōu)點：分治算法的遞歸思想使其在解決許多復(fù)雜問題時表現(xiàn)出色。具有良好的可擴展性和并行計算的潛力。
• 缺點：對于某些問題，分治算法可能會引入額外的開銷，如遞歸調(diào)用棧和合并步驟的時間復(fù)雜度。

5. 典型應(yīng)用

• 歸并排序（Merge Sort）：一種高效的排序算法，利用分治思想將數(shù)組分為兩半，遞歸地排序并合并。
• 快速排序（Quick Sort）：另一種高效的排序算法，選擇一個基準(zhǔn)元素，將數(shù)組分為兩部分，遞歸排序。
• 最近點對問題（Closest Pair Problem）：在平面上找到距離最近的兩點，分治法可以將時間復(fù)雜度降至 O(nlog?n)O(n \log n)O(nlogn)。
• 矩陣乘法（Strassen’s Algorithm）：一種用于矩陣乘法的分治算法，降低了時間復(fù)雜度。

6. 題目和代碼示例

6.1 簡單題目：歸并排序

題目描述：實現(xiàn)歸并排序算法，對給定的數(shù)組進行排序。

代碼示例：

#include <iostream>
#include <vector>// 函數(shù)聲明
void mergeSort(std::vector<int>& arr, int left, int right);
void merge(std::vector<int>& arr, int left, int mid, int right);int main() {std::vector<int> arr = {38, 27, 43, 3, 9, 82, 10};mergeSort(arr, 0, arr.size() - 1);for (int num : arr) {std::cout << num << " ";}std::cout << std::endl;return 0;
}// 歸并排序：遞歸地將數(shù)組分成兩半進行排序
void mergeSort(std::vector<int>& arr, int left, int right) {if (left < right) {int mid = left + (right - left) / 2;mergeSort(arr, left, mid);mergeSort(arr, mid + 1, right);merge(arr, left, mid, right);}
}// 合并兩個已排序的子數(shù)組
void merge(std::vector<int>& arr, int left, int mid, int right) {int n1 = mid - left + 1;int n2 = right - mid;std::vector<int> L(n1), R(n2);for (int i = 0; i < n1; ++i) {L[i] = arr[left + i];}for (int j = 0; j < n2; ++j) {R[j] = arr[mid + 1 + j];}int i = 0, j = 0, k = left;while (i < n1 && j < n2) {if (L[i] <= R[j]) {arr[k] = L[i++];} else {arr[k] = R[j++];}++k;}while (i < n1) {arr[k++] = L[i++];}while (j < n2) {arr[k++] = R[j++];}
}

Others.

def merge_sort(arr):if len(arr) > 1:mid = len(arr) // 2left_half = arr[:mid]right_half = arr[mid:]merge_sort(left_half)merge_sort(right_half)i = j = k = 0while i < len(left_half) and j < len(right_half):if left_half[i] < right_half[j]:arr[k] = left_half[i]i += 1else:arr[k] = right_half[j]j += 1k += 1while i < len(left_half):arr[k] = left_half[i]i += 1k += 1while j < len(right_half):arr[k] = right_half[j]j += 1k += 1# 示例
arr = [38, 27, 43, 3, 9, 82, 10]
merge_sort(arr)
print(arr)  # 輸出: [3, 9, 10, 27, 38, 43, 82]

6.2 中等題目：最近點對問題

題目描述：在平面上找到距離最近的兩點，時間復(fù)雜度為 O(nlog?n)。

代碼示例：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>struct Point {int x, y;
};double dist(const Point& p1, const Point& p2) {return std::sqrt((p1.x - p2.x) * (p1.x - p2.x) + (p1.y - p2.y) * (p1.y - p2.y));
}double closestPair(std::vector<Point>& points, int left, int right) {if (right - left <= 3) {double minDist = std::numeric_limits<double>::infinity();for (int i = left; i < right; ++i) {for (int j = i + 1; j <= right; ++j) {minDist = std::min(minDist, dist(points[i], points[j]));}}return minDist;}int mid = left + (right - left) / 2;double d1 = closestPair(points, left, mid);double d2 = closestPair(points, mid + 1, right);double d = std::min(d1, d2);std::vector<Point> strip;for (int i = left; i <= right; ++i) {if (std::abs(points[i].x - points[mid].x) < d) {strip.push_back(points[i]);}}std::sort(strip.begin(), strip.end(), [](const Point& p1, const Point& p2) {return p1.y < p2.y;});double minDist = d;for (size_t i = 0; i < strip.size(); ++i) {for (size_t j = i + 1; j < strip.size() && (strip[j].y - strip[i].y) < minDist; ++j) {minDist = std::min(minDist, dist(strip[i], strip[j]));}}return minDist;
}int main() {std::vector<Point> points = {{2, 3}, {12, 30}, {40, 50}, {5, 1}, {12, 10}, {3, 4}};std::sort(points.begin(), points.end(), [](const Point& p1, const Point& p2) {return p1.x < p2.x;});std::cout << "最近點對距離: " << closestPair(points, 0, points.size() - 1) << std::endl;return 0;
}

Others.

import mathdef dist(p1, p2):return math.sqrt((p1[0] - p2[0]) ** 2 + (p1[1] - p2[1]) ** 2)def closest_pair(points):def closest_pair_recursive(points):if len(points) <= 3:return min((dist(p1, p2), (p1, p2)) for i, p1 in enumerate(points) for p2 in points[i+1:])[1]mid = len(points) // 2left_half = points[:mid]right_half = points[mid:](d1, pair1) = closest_pair_recursive(left_half)(d2, pair2) = closest_pair_recursive(right_half)d = min(d1, d2)pair = pair1 if d1 < d2 else pair2strip = [p for p in points if abs(p[0] - points[mid][0]) < d]strip.sort(key=lambda p: p[1])for i in range(len(strip)):for j in range(i+1, len(strip)):if strip[j][1] - strip[i][1] >= d:breakd_new = dist(strip[i], strip[j])if d_new < d:d = d_newpair = (strip[i], strip[j])return d, pairpoints.sort(key=lambda p: p[0])return closest_pair_recursive(points)[1]# 示例
points = [(2, 3), (12, 30), (40, 50), (5, 1), (12, 10), (3, 4)]
print(closest_pair(points))  # 輸出: ((2, 3), (3, 4))

6.3 困難題目：分?jǐn)?shù)背包問題

題目描述：給定物品的重量和價值，求在背包容量限制下的最大價值，物品可以分割。

代碼示例：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>struct Item {double value;double weight;
};double fractionalKnapsack(std::vector<Item>& items, double capacity) {std::sort(items.begin(), items.end(), [](const Item& a, const Item& b) {return (a.value / a.weight) > (b.value / b.weight);});double totalValue = 0;for (const auto& item : items) {if (capacity >= item.weight) {capacity -= item.weight;totalValue += item.value;} else {totalValue += item.value * (capacity / item.weight);break;}}return totalValue;
}int main() {std::vector<Item> items = {{60, 10}, {100, 20}, {120, 30}};double capacity = 50;std::cout << "背包的最大價值: " << fractionalKnapsack(items, capacity) << std::endl;return 0;
}

Others.

def fractional_knapsack(values, weights, capacity):items = list(zip(values, weights))items.sort(key=lambda x: x[0] / x[1], reverse=True)total_value = 0for value, weight in items:if capacity >= weight:capacity -= weighttotal_value += valueelse:total_value += value * (capacity / weight)breakreturn total_value# 示例
values = [60, 100, 120]
weights = [10, 20, 30]
capacity = 50
print(fractional_knapsack(values, weights, capacity))  # 輸出: 240.0

7. 題目和思路表格

序號	題目	題目描述	分治策略	代碼實現(xiàn)
1	歸并排序	對給定的數(shù)組進行排序	遞歸地將數(shù)組分成兩半進行排序	代碼
2	最近點對問題	找到距離最近的兩點	將點集合遞歸地分成兩半	代碼
3	分?jǐn)?shù)背包問題	求在背包容量限制下的最大價值	每次選擇單位重量價值最高的物品	代碼
4	快速排序	高效排序算法	選擇一個基準(zhǔn)元素，將數(shù)組分為兩部分，遞歸排序	代碼
5	矩陣乘法	用于矩陣乘法	將矩陣分成更小的子矩陣，遞歸計算	-
6	求逆序?qū)?shù)量	統(tǒng)計數(shù)組中的逆序?qū)€數(shù)	使用分治法將數(shù)組分成兩半，遞歸統(tǒng)計逆序?qū)?/td>	-
7	最大子序和	找出最大和的連續(xù)子序列	將序列遞歸地分成兩半，合并子序列的結(jié)果	-
8	大整數(shù)乘法	實現(xiàn)高效的大整數(shù)乘法	使用Karatsuba算法，將大整數(shù)分成兩部分進行遞歸計算	-
9	二維平面上的最近點對	在平面上找到距離最近的兩點	將點集合遞歸地分成兩半，合并結(jié)果	-
10	棋盤覆蓋問題	用L型骨牌覆蓋2^n * 2^n的棋盤	將棋盤遞歸地分成四部分，覆蓋部分棋盤	-

8. 總結(jié)

分治算法是一種強大的算法設(shè)計思想，能夠高效地解決許多復(fù)雜的問題。通過將問題分解為更小的子問題，分治算法不僅能夠降低時間復(fù)雜度，還具有良好的可擴展性。在實際應(yīng)用中，理解和掌握分治算法的思想和典型應(yīng)用，對于解決各種問題具有重要意義。通過本文的例子和思路，相信讀者能夠深入理解分治算法的關(guān)鍵概念，并靈活應(yīng)用于實際問題中。

References