一.遞歸

1.什么是遞歸

遞歸是一種編程技術，它通過在函數內部反復調用自身來解決問題。當一個程序調用自己時，這就稱為遞歸調用。遞歸可以有助于簡化某些算法的實現(xiàn)和理解。在遞歸過程中，每個調用都會將一些數據保存在棧上，直到遞歸結束后才能被處理并彈出棧。

遞歸通常有兩個部分：基本情況和遞歸情況?；厩闆r是在函數執(zhí)行之前判斷是否需要遞歸，如果不需要，則直接返回結果。遞歸情況是函數需要遞歸時，它會調用自身，但是傳入的參數通常會有所不同，以便最終能夠達到基本情況而結束遞歸。

雖然遞歸可以使代碼更加簡潔，但是需要注意的是，在一些情況下，它可能會導致性能問題或者棧溢出等問題。因此，在編寫遞歸代碼時，需要仔細考慮算法的邊界條件和遞歸深度等因素。

2.遞歸函數

遞歸函數是一種函數，它在其定義中調用自身。通常情況下，遞歸函數包含兩個部分：基本情況和遞歸情況。

基本情況是指在遞歸函數中需要判斷是否需要終止遞歸的條件。當滿足這個條件時，遞歸就會停止。

遞歸情況是指在遞歸函數中需要調用自身的情況。在每次調用時，函數的參數都應該有所不同，以便最終能夠達到基本情況而停止遞歸。

遞歸函數通常用于處理樹形結構、圖形結構或其他類型的嵌套結構數據。例如，在二叉樹中查找某一個值，就可以使用遞歸函數來實現(xiàn)。

3.說明

雖然遞歸算法比較簡單，但是它是一種編程的思想，在解決部分問題時，它非常適用。并且他一般作為一種工具，搭配其他思想一起使用。它是C語言數據結構與算法中最簡單的算法，這里舉幾個例子來學會使用它。

二.斐波那契數列

1.問題描述

斐波那契數列是一個經典的數學問題，由0和1開始，之后的每一項都是其前面兩項的和。也就是說，斐波那契數列的前幾個數是：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34……依次類推。

斐波那契數列在自然界中有很多應用，比如植物的葉子排列、蜂窩的構造等等。除此之外，在計算機科學領域內，斐波那契數列也有著廣泛的應用，例如在排序算法、密碼學等領域。

斐波那契數列的通項公式是：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0)=0，F(1)=1。根據這個公式可以使用遞歸函數或循環(huán)語句來實現(xiàn)求斐波那契數列的第n項。

2.思路

像這種可以求出通項公式的數列是我們平時典型的遞歸函數運用，通項公式可以定義為函數，它的第一個值一般是我們的遞歸函數出口。所謂遞歸函數的出口就是結束遞歸的標志。

現(xiàn)在理清思路后，我們來用代碼完成求斐波拉契數列的第n項：

3.C語言代碼

#include <stdio.h>int fibonacci(int n) {if (n == 0)return 0;else if (n == 1)return 1;elsereturn fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}int main() {int num, i;printf("Enter the number of terms: ");scanf("%d", &num);printf("Fibonacci series terms are:\n");for (i = 0; i < num; i++) {printf("%d ", fibonacci(i));}printf("\n");return 0;
}

三.漢諾塔

1.問題描述

該問題的主要材料包括三根高度相同的柱子和一些大小及顏色不同的圓盤，三根柱子分別為起始柱A，輔助柱B及目標柱C。

**操作規(guī)則：**每次只能移動一個盤子，并且在移動過程中三根桿上都始終保持大盤在下，小盤在上，操作過程中盤子可以置于任意桿上。

2.分析

漢諾塔是一種經典的遞歸問題，它涉及到將一組不同大小的圓盤從一個柱子移動到另一個柱子。以下是漢諾塔的具體過程：

1. 將所有圓盤從起始柱子上除最下面一個圓盤之外的其他圓盤全部移動到中間柱子。
2. 將最下面的圓盤從起始柱子上移動到目標柱子上。
3. 將中間柱子上除了最下面的圓盤之外的其他圓盤全部移動到目標柱子上。

在完成這三個步驟時，需要遵守以下規(guī)則：

1. 一次只能移動一個圓盤。
2. 大圓盤不能放在小圓盤上面。

通過遞歸調用上述步驟，可以將所有的圓盤從起始柱子移動到目標柱子。由于每次遞歸都會將一個圓盤從起始柱子移動到目標柱子，因此每個圓盤最多只會被移動一次，所以總共需要移動2^n - 1 次（n 表示圓盤的數量）。

3.C語言代碼

#include <stdio.h>void hanoi(int n, char A, char B, char C) {if (n == 1) {printf("Move disk 1 from %c to %c\n", A, C);} else {hanoi(n-1, A, C, B);printf("Move disk %d from %c to %c\n", n, A, C);hanoi(n-1, B, A, C);}
}int main() {int n = 3; // 將3個盤子從A移動到Chanoi(n, 'A', 'B', 'C');return 0;
}

四.子集問題

1.問題描述

子集問題（Subset）：給定一個含有n個元素的集合S，求出S的所有子集?？梢允褂眠f歸實現(xiàn)。

2.思路分析

子集問題是一個基本的組合問題，它涉及到從一個給定的集合中選擇一些元素組成新的集合。這個問題在計算機科學和數學中非常常見，解決子集問題可以幫助我們更好地理解組合問題和算法設計。

下面是一個簡單的思路分析：

1. 首先，我們需要確定如何表示集合。在大多數編程語言中，集合通常是用數組或列表來表示的。

2. 接著，我們需要考慮如何生成所有可能的子集。一種常見的方法是使用遞歸算法。

3. 對于遞歸算法，我們需要考慮以下幾點：

   a. 基本情況：當集合為空時，只有一個空集。

   b. 遞歸情況：對于非空集合，我們可以選擇將第一個元素包含在子集中或者不包含在子集中，然后對剩余的元素進行遞歸處理。

4. 在遞歸過程中，我們需要維護一個當前子集的列表，并在每次遞歸結束后將其添加到結果集合中。

5. 最后，我們可以返回結果集合，其中包含了原始集合的所有可能子集。

需要注意的是，由于子集問題的解空間非常大，因此在實際應用中，需要根據具體的場景進行優(yōu)化，以減少時間和空間復雜度。

3.C語言代碼

下面是一個使用C語言遞歸實現(xiàn)子集問題的示例代碼：

#include <stdio.h>void subset(int set[], int subset[], int n, int k, int start, int curr){if (curr == k) {printf("{");for (int i = 0; i < k; i++) {printf("%d ", subset[i]);}printf("}\n");return;}for (int i = start; i < n; i++){subset[curr] = set[i];subset(set, subset, n, k, i+1, curr+1);}
}int main() {int set[] = {1, 2, 3};int n = sizeof(set)/sizeof(set[0]);int subset[n];for (int i = 0; i <= n; i++) {subset(set, subset, n, i, 0, 0);}return 0;
}

該代碼中，subset函數使用了遞歸實現(xiàn)。其中，set表示原始集合，subset表示當前子集，n表示原始集合的大小，k表示當前子集的大小，start表示遍歷起始位置，curr表示當前子集中元素的個數。

在函數中，首先判斷當前子集是否已達到目標大小 k，如果已經達到則輸出該子集，并返回上一層遞歸。否則，從遍歷起始位置開始循環(huán)原始集合，將元素依次加入當前子集，并對剩余元素進行遞歸處理。

在 main 函數中，我們遍歷所有可能的子集大小，并調用 subset 函數進行求解。最終結果會依次輸出到標準輸出。

五.歸并排序

1.問題描述與分析

歸并排序（Merge Sort）是一種基于分治思想的高效排序算法，通過將待排序數組遞歸地拆分為兩個子數組，對每個子數組進行排序，然后將兩個有序的子數組合并成一個有序的數組，最終得到排序完成的整個數組。

具體而言，歸并排序的過程可以分為三個步驟：

1. 分割：將待排序數組從中間位置劃分為左右兩個子數組，遞歸地對左右兩個子數組進行分割，直到每個子數組只包含一個元素。
2. 歸并：將兩個有序的子數組合并成一個有序的數組，直到所有子數組都被合并為一個完整的有序數組。
3. 返回：返回排序完成的數組。

2.C語言代碼

下面是用 C 語言遞歸實現(xiàn)歸并排序的代碼：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>void merge(int *arr, int l, int m, int r) {int i, j, k;int n1 = m - l + 1;int n2 = r - m;int L[n1], R[n2];for (i = 0; i < n1; i++)L[i] = arr[l + i];for (j = 0; j < n2; j++)R[j] = arr[m + 1 + j];i = 0;j = 0;k = l;while (i < n1 && j < n2) {if (L[i] <= R[j]) {arr[k] = L[i];i++;} else {arr[k] = R[j];j++;}k++;}while (i < n1) {arr[k] = L[i];i++;k++;}while (j < n2) {arr[k] = R[j];j++;k++;}
}void mergeSort(int *arr, int l, int r) {if (l < r) {int m = l + (r - l) / 2;mergeSort(arr, l, m);mergeSort(arr, m + 1, r);merge(arr, l, m, r);}
}int main() {int arr[] = {38, 27, 43, 3, 9, 82, 10};int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);mergeSort(arr, 0, n - 1);for (int i = 0; i < n; i++)printf("%d ", arr[i]);return 0;
}

在上面的代碼中，merge 函數用于將兩個有序子數組合并為一個有序數組，mergeSort 函數用于遞歸地分割和排序子數組。

六.說明

新星計劃：數據結構與算法，@西安第一深情，創(chuàng)作打卡1！