實(shí)數(shù)，是初中學(xué)到的概念，我知都知道它是有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的統(tǒng)稱(chēng)。

然而，實(shí)數(shù)可不只是小數(shù)點(diǎn)后的一堆零碎兒，它背后還有著高深莫測(cè)理論。

一、柯西序列的概念與性質(zhì)

柯西序列（Cauchy sequence）是這樣一個(gè)序列：隨你任意給出一個(gè)正有理數(shù)ε，無(wú)論多小都行?？偰茉谛蛄兄姓业竭@么一項(xiàng)，在這項(xiàng)之后任意兩個(gè)元素，其差的絕對(duì)值都小于ε。
最簡(jiǎn)單的柯西序列就是常數(shù)序列，比如{3, 3 , 3, …}，其所有元素的差值都為0，絕對(duì)小于任何的正有理數(shù)。
但是，這種小兒科的玩藝不是柯西序列的真正用武之地，它主要用于序列元素不同的情況。這時(shí)候柯西序列就會(huì)表現(xiàn)出一個(gè)特別的性質(zhì)：隨著序列項(xiàng)數(shù)的增加，元素間的差值越來(lái)越小。
如果把這種柯西序列中的元素看成數(shù)軸上的一系列點(diǎn)，那么越往右，這些點(diǎn)越密集（點(diǎn)與點(diǎn)間的距離越小）。但無(wú)論怎樣密集，它們都位于某一個(gè)點(diǎn)的左側(cè)。
如果把序列項(xiàng)數(shù)n做為橫坐標(biāo)，把序列元素的值$X_n作為縱坐標(biāo)，則柯西序列就是下圖中的一些點(diǎn)：

現(xiàn)在，相信你已經(jīng)明白柯西序列是個(gè)什么東東了。這時(shí)候，咱們?cè)儆靡环N高大上的方法表示一下這玩藝。
數(shù)學(xué)定義：
設(shè)序列 { x n } ? X \{x_n\}\subset X {xn?}?X，若 { x n } \{x_n\} {xn?}滿(mǎn)足：當(dāng)$m,n\to \infty$時(shí)，有$d(x_m,x_n)\to 0$，則稱(chēng) { x n } \{x_n\} {xn?}是$X$的柯西序列。

$d(x_m,x_n)$表示序列中的元素$x_m$與$x_n$的差的絕對(duì)值。

現(xiàn)在是不是看著也挺好理解的？這就是數(shù)學(xué)公式的特點(diǎn)。如果上來(lái)就擺公式，肯定頭大，但是如果先理解了再去看，這玩藝就是紙老虎。
再看看它的性質(zhì)：若序列 { x n } \{x_n\} {xn?}收斂，則 { x n } \{x_n\} {xn?}是柯西序列。
證明：
若序列 { x n } \{x_n\} {xn?}收斂，則說(shuō)明其有極限。
設(shè)${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=x$，則當(dāng)$m,n\to \infty$時(shí)，有$d(x_m,x_n)\le d(x_m,x)+d(x_n,x)\to 0$，故 { x n } \{x_n\} {xn?}是柯西序列。
這個(gè)貌似也挺好理解的吧？

二、柯西序列定義無(wú)理數(shù)

舉個(gè)最簡(jiǎn)單的元素不同的柯西序列例子，咱們都背過(guò)$\pi$，假設(shè)有這么一個(gè)數(shù)列 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, …}，也就是每個(gè)元素都在上一個(gè)元素的基礎(chǔ)上增加1位小數(shù)。顯然，越往后序列中元素的差值就越小。因?yàn)檫@個(gè)數(shù)是無(wú)限的，其差值無(wú)限趨近于0，而序列中的元素?zé)o限趨近于$\pi$。
無(wú)限趨近于，這說(shuō)的不就是極限嗎？
表現(xiàn)在數(shù)軸上，它們就是一些越往右越集中的點(diǎn)，且這些點(diǎn)都位于$\pi$的左側(cè)，無(wú)限地接近$\pi$這個(gè)點(diǎn)。
見(jiàn)證奇跡的時(shí)刻到了！盡管這個(gè)序列中的所有項(xiàng)都是有理數(shù)，但它們卻可以收斂到一個(gè)無(wú)理數(shù)。柯西序列展示出了有理數(shù)與無(wú)理數(shù)之間的聯(lián)系：無(wú)理數(shù)是有理數(shù)構(gòu)成的柯西序列的極限。
如果把某個(gè)無(wú)理數(shù)（比如$\pi$）看成空間中的一點(diǎn)，那么柯西序列就像射向這個(gè)點(diǎn)的一串子彈。只不過(guò)，這些子彈只能無(wú)限地接近于目標(biāo)點(diǎn)，卻永遠(yuǎn)別想打到它。

目標(biāo)神秘人物：小子，別想打到我!
有理君：神了，我去！近在咫尺，咋就打不到呢？
目標(biāo)神秘人物：因?yàn)槲矣胁恢v“理”的防護(hù)罩，而你的子彈講“理”。

也就是說(shuō)，這個(gè)有理數(shù)雖然無(wú)限地逼近無(wú)理數(shù)，但只要還在有理數(shù)的范圍內(nèi)，這就永遠(yuǎn)沒(méi)有極限。

要想到達(dá)這個(gè)極限，必須突破有理數(shù)的范圍。
突破有理數(shù)的條件就是有理數(shù)子彈是無(wú)窮無(wú)盡的，量變引起質(zhì)變，就會(huì)達(dá)到極限，這個(gè)極限就是無(wú)理數(shù)。
這樣，無(wú)理數(shù)就有了新的定義：有理數(shù)柯西序列的極限（序列元素不同）。

三、柯西序列定義實(shí)數(shù)系統(tǒng)

有了柯西序列的加持，我們可以給實(shí)數(shù)重新下個(gè)統(tǒng)一性的定義。
為什么要重新下個(gè)定義呢？因?yàn)椤坝欣頂?shù)和無(wú)理數(shù)的統(tǒng)稱(chēng)”這個(gè)定義沒(méi)有揭示實(shí)數(shù)的實(shí)質(zhì)。這種定義方法就好像把人定義為“男人和女人的統(tǒng)稱(chēng)”一樣。
將人定義為男人和女人的統(tǒng)稱(chēng)雖然也沒(méi)什么問(wèn)題，但沒(méi)有指出人和其他動(dòng)物的區(qū)別。同樣的道理，將實(shí)數(shù)定義為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的統(tǒng)稱(chēng)，也沒(méi)說(shuō)出實(shí)數(shù)與其他數(shù)的區(qū)別。
這個(gè)統(tǒng)一性的定義，官方有一個(gè)非常繞舌的學(xué)術(shù)表述：實(shí)數(shù)為所有收斂到同一極限的有理數(shù)序列的等價(jià)類(lèi)。
這個(gè)定義可能比較嚴(yán)謹(jǐn)，但是不容易理解。尤其里面搞出個(gè)新名詞：等價(jià)類(lèi)。如果想了解這是什么玩藝，老金在文章最后會(huì)給出解釋。
老金認(rèn)為可以這樣簡(jiǎn)單理解：實(shí)數(shù)是有理數(shù)柯西序列的極限。
一共不就這么兩種情況嘛：
①有理數(shù)：柯西序列是個(gè)常數(shù)序列，就像{3, 3 , 3, …}，這時(shí)候它的極限就是有理數(shù)。
②無(wú)理數(shù)：柯西序列中的元素值是不同的，就像{3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, …}，這時(shí)候它的極限就是無(wú)理數(shù)。
就這么簡(jiǎn)單。
然而，這個(gè)定義喪失了“有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的統(tǒng)稱(chēng)”的膚淺，有著深刻的意義：將有理數(shù)作為載體，以柯西序列為橋梁，用有理數(shù)表示無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)，揭示出有理數(shù)、無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)的聯(lián)系。
最重要的，它還揭示了實(shí)物的根本性質(zhì)：完備性。
所謂的完備性用一句話(huà)來(lái)形容就是“所有的……都……”。用柯西序列定義實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)的完備性就體現(xiàn)出來(lái)了：所有柯西序列都有極限。實(shí)數(shù)的完備性表現(xiàn)在數(shù)軸上，是我們學(xué)校里都學(xué)過(guò)的，就是所有的實(shí)數(shù)在數(shù)軸上都有對(duì)應(yīng)的點(diǎn)、所有數(shù)軸上的點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)。
附：“等價(jià)類(lèi)”的解釋
最后說(shuō)說(shuō)前面官方定義中的“等價(jià)類(lèi)”是個(gè)啥。這玩藝其實(shí)說(shuō)的是同一個(gè)極限可能對(duì)應(yīng)多個(gè)不同的柯西序列，而因?yàn)樗鼈兊臉O限相同，這些不同的柯西序列其實(shí)是等價(jià)的。
還是拿$\pi$舉例子，它可以有多個(gè)柯西序列表示，除了前面說(shuō)的{3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, …}，還可以表示為：
{9257, 9257, 9257, 9257, 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, …}
{5566, 9257, 5566, 9257, 3.2, 3.14, 3.141, 3.1415, …}
相信你已看明白老金想表達(dá)的意思，這樣的柯西序列可以列出無(wú)數(shù)個(gè)，但它們的極限都是$\pi$，因而都是等價(jià)的，這就是等價(jià)類(lèi)的含義。
也就是說(shuō)，如果存在多個(gè)柯西序列收斂到同一個(gè)極限，則將它們視為同一個(gè)實(shí)數(shù)。
但老金覺(jué)得這玩藝就是“嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膹?fù)雜”，了不了解無(wú)傷大雅，所以才以附注的形式放在最后。誰(shuí)還不明白這個(gè)意思呢？說(shuō)白了就是這么點(diǎn)勾當(dāng)：柯西序列的極限只跟最右側(cè)的密集區(qū)有關(guān)，跟左側(cè)那些元素的值根本沒(méi)有任何關(guān)系。左邊那些東東就是在那里擺造型，就像禿頭上剩下的幾根毛，聊勝于無(wú)。