前言

3Blue1Brown 視頻筆記，僅供自己參考

這個章節(jié)主要來深度講解反向傳播中的一些微積分理論

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1. 簡介

這章開始我們就假設你已經(jīng)看過第三章了，上章讓大家直觀上感受了反向傳播算法的原理

在這章里，我們會更深入講解一些其中的微積分理論，這個看不太懂很正常，所以我們的六字格言 “停一停想一想” 在這依舊管用，這章我們的目標是給大家展示在機器學習中，我們一般是怎么理解鏈式法則的，這點跟別的基礎微積分課講得會有點不一樣

對于微積分不夠熟悉的觀眾，我之前已經(jīng)做了一整個系列了，大家感興趣的可以看看：Calculus

2. 神經(jīng)網(wǎng)絡中的鏈式法則

我們從最最簡單的網(wǎng)絡講起吧，每層只有一個神經(jīng)元

圖上這個網(wǎng)絡就是由 3 個權重和 3 個偏置決定的，我們的目標是理解代價函數(shù)對于這些變量有多敏感，這樣我們就知道怎么調整這些變量才可以使得代價降低得最快，

我們先來關注最后兩個神經(jīng)元吧，我給最后一個神經(jīng)元的激活值一個上標 L，表示它處于第 L 層，那么，前一個神經(jīng)元的激活值就是 $a^{(L?1)}$，這里的上標不是指數(shù)，而是用來標記我們正在討論哪一層，過一會我會用到下標來表示別的意思

給定一個訓練樣本，我們把這個最終層激活值要接近的目標叫做 y，例如 y 可能是 0 或者 1，那么這個簡易網(wǎng)絡對于單個訓練樣本的代價就等于 $(a^{(L)}?y{)}^2$，對于這個樣本，我們把這個代價值標記為 $C_0$

還記得嗎，最終層的激活值是這么算出來的，即一個權重 $w^L$ 乘上前一個神經(jīng)元的激活值再加上一個偏置 $b^L$，最后把加權和塞進一個特定的非線性函數(shù)，例如 sigmoid 或者 ReLU 之類的，給這個加權和起一個名字會方便很多，就叫它 $z^L$ 好了，跟對應的激活值用同一個上標

這里的項挺多，概括起來我們拿權重 $w^L$、前一個激活值 $a^{(L?1)}$ 以及偏置值 $b^L$ 一起來算出 $z^L$ 再算出 $a^{(L)}$，最后再用上常量 $y$ 算出代價值 $C_0$，當然 $a^{(L?1)}$ 也是由它自己的權重和偏置決定的，以此類推，但我們現(xiàn)在重點不在那里

上面這些東西都是數(shù)字，沒錯吧，我們可以想象每個數(shù)字都對應一個數(shù)軸，我們第一個目標是理解代價函數(shù)對權重 $w^L$ 的微小變化有多敏感，或者換句話講求 $C_0$ 對 $w^L$ 的導數(shù)

當你看到 $?w$ 之類的項時，請把它當做這是對 $w$ 的微小擾動，好比改變 0.01，然后把 $?C_0$ 當做 “改變 $w$ 對 $C_0$ 的值造成的變化”，我們求得是這兩個數(shù)的比值

概念上說 $w^L$ 的微小變化會導致 $z^L$ 產(chǎn)生些變化，然后會導致 $a^L$ 產(chǎn)生變化，最終影響到代價值

那么，我們把式子拆開，首先求 $z^L$ 的變化量比上 $w^L$ 的變化量，也就是求 $z^L$ 關于 $w^L$ 的導數(shù)，同理考慮 $a^L$ 的變化量比上因變量 $z^L$ 的變化量，以及最終的 $C_0$ 的變化量比上直接改動 $a^L$ 產(chǎn)生的變化量

這不就是鏈式法則么，把三個比值相乘就可以算出 $C_0$ 對 $w^L$ 的微小變化有多敏感

3. 微積分的計算

現(xiàn)在圖上多了一大堆符號，稍微花點時間理解一下每個符號都是什么意思吧，因為馬上我們就要對各個部分求導了

$C_0$ 關于 $a^L$ 的導數(shù)就是 $2(a^{(L)}?y)$，這也就意味著導數(shù)的大小跟網(wǎng)絡最終的輸出減目標結果的差成正比，如果網(wǎng)絡的輸出差別很大，即使 $w$ 稍稍變一點代價也會改變非常大

$a^L$ 對 $z^L$ 求導就是求 sigmoid 的導數(shù)，或就你選擇的非線性激活函數(shù)求導

而 $z^L$ 對 $w^L$ 求導結果就是 $a^{L?1}$

4. 公式含義

對我自己來說，這里如果不退一步好好想想這些公式的含義，很容易卡住

就最后這個導數(shù)來說，這個權重的改變量 $?w$ 對最后一層的影響有多大取決于之前一層的神經(jīng)元，所謂的 “一同激活的神經(jīng)元關聯(lián)在一起” 的出處即來源于此

不過這只是包含一個訓練樣本的代價對 $w^{(L)}$ 的導數(shù)，由于總的代價函數(shù)是許許多多訓練樣本所有代價的總平均，它對 $w^{(L)}$ 的導數(shù)就需要求 $\frac{?C}{?w^{(L)}}$ 這個表達式之于每一個訓練樣本的平均

當然這只是梯度向量 $?C$ 的一個分量，而梯度向量 $?C$ 本身則由代價函數(shù)對每一個權重和每一個偏置求偏導構成的

5. 代價函數(shù)對權重偏置的敏感度

值得注意的是，求出這些偏導中的一個就完成了一大半的工作量，對偏置的求導步驟也就基本相同，只要把 $\frac{?z}{?w}$ 替換成 $\frac{?z}{?b}$，對應的公式中可以看出導數(shù) $\frac{?z}{?b}$ 等于 1

這里也涉及到了反向傳播的概念，我們來看下這個代價函數(shù)對上一層激活值的敏感度，展開來說，鏈式法則的第一項 $z$ 對上一層激活值的敏感度就是權重 $w^{(L)}$

雖然說過我們不能直接改變激活值，但我們很有必要關注這個值，因為我們可以反向應用鏈式法則來計算代價函數(shù)對之前的權重偏置的敏感度

6. 多個神經(jīng)元的情形

你可能覺得這個例子舉得太簡單了，畢竟每層只有一個神經(jīng)元，而真實的神經(jīng)網(wǎng)絡會比這個例子復雜百倍，然而說真的，每層多加若干個神經(jīng)元并不會復雜很多，真的，只不過多寫一些下標罷了

我們用加上下標的神經(jīng)元來表示 L 層的若干神經(jīng)元，而不是用 $a^{(L)}$ 統(tǒng)稱 L 層的激活值，現(xiàn)在用 k 來標注 L-1 層的神經(jīng)元，j 則是 L 層的神經(jīng)元

現(xiàn)在要求代價函數(shù)，我們從期望的輸出著手，計算上一層激活值和期望輸出的差值的平方然后求和，即求 $(a_j^{(L)}?y_j{)}^2$ 的和

由于權重的數(shù)量多了不少，那么每個權重要多用幾個下標，我們記連接第 k 個神經(jīng)元和第 j 個神經(jīng)元的連線為 $w_{jk}^{(L)}$，這些下標感覺像標反了，可能有點別扭，不過和第一章中的權重矩陣的下標是一致的

同樣的，把加權和記為 z 總是很方便，那么最后一層的激活值依然等于指定的函數(shù)（如 sigmoid）在 z 處的函數(shù)值

你懂我意思吧，現(xiàn)在的方程式和之前每層只有一個神經(jīng)元的時候本質是一樣的，只是看著復雜一些

鏈式法則形式的導數(shù)表達式所描述的代價對某個權重的敏感度也是一樣的，這里大家可以暫停推導一下每一項的含義，唯一改變的是代價對 L-1 層激活值的導數(shù)

此時，激活值可以通過不同的途徑影響代價函數(shù)，也就是說，神經(jīng)元一邊通過 $a_0^{(L)}$ 來影響代價函數(shù)，另一邊通過 $a_1^{(L)}$ 來影響代價函數(shù)，得把這些都加起來，然后…就搞定了

只要計算出倒數(shù)第二層代價函數(shù)對激活值的敏感度，接下來只要重復上述過程，計算喂給倒數(shù)第二層的權重和偏置就好了

7. 回顧

現(xiàn)在長吁一口氣吧！如果上面這些明白了，那你就看明白了神經(jīng)網(wǎng)絡的主力—反向傳播

鏈式法則表達式給出了決定梯度每個分量的偏導，使得我們能不斷下探，最小化神經(jīng)網(wǎng)絡的代價

靜下來想一想你會發(fā)現(xiàn)這些復雜的層層疊疊很燒腦，消化這些知識需要花一些時間，這很正常

相關資料

• http://neuralnetworksanddeeplearning.com/chap2.html
• https://github.com/mnielsen/neural-networks-and-deep-learning
• https://colah.github.io/posts/2015-08-Backprop/

結語

這個章節(jié)我們主要學習了反向傳播以微積分的形式表達，其核心就是鏈式法則

OK，以上就是本章的全部內(nèi)容了，下章我們來講 Transformer，敬請期待😄