證明直紋極小曲面是平面或者正螺旋面

證明：設(shè)極小直紋面$S$的參數(shù)表示為 r$(u,v)=\mathbf{a}(u)+v\mathbf{c}(u).$則

$${\mathbf{r}}_u={\mathbf{a}}^{\prime }+v{\mathbf{c}}^{\prime },{\mathbf{r}}_v=\mathbf{c},{\mathbf{r}}_u\wedge {\mathbf{r}}_v={\mathbf{a}}^{\prime }\wedge \mathbf{c}+v{\mathbf{c}}^{\prime }\wedge \mathbf{c}.$$

故

$$E=?{\mathbf{a}}^{\prime },{\mathbf{a}}^{\prime }?+v?{\mathbf{a}}^{\prime },{\mathbf{c}}^{\prime }?+v^2?{\mathbf{c}}^{\prime },{\mathbf{c}}^{\prime }?,F={\mathbf{a}}^{\prime }\wedge \mathbf{c}+v{\mathbf{c}}^{\prime }\wedge \mathbf{c},G=?\mathbf{c},\mathbf{c}?.$$
為 取 得 $(u,v)$ 是 正 交 參 數(shù) , 即 : $F=0$,可 以 假 設(shè) $|\mathbf{c}(u)|=1;$ 然 后 , 經(jīng) 過 參 數(shù) 變 換 $\tilde{u}=u,\tilde{v}=v+{\int }_0^u?{\mathbf{a}}^{\prime }(t),\mathbf{c}(t)?dt$,可 以 設(shè) $?{\mathbf{a}}^{\prime }(u),\mathbf{c}(u)?=0.$

此 時 $,F=0$，且$G=1.$記$\Delta =|{\mathbf{r}}_u\wedge {\mathbf{r}}_v|.$

由

$${\mathbf{r}}_{uu}={\mathbf{a}}^{\prime \prime }+v{\mathbf{c}}^{\prime \prime },{\mathbf{r}}_{uv}={\mathbf{c}}^{\prime },{\mathbf{r}}_{vv}=0,$$

有

$$L=\frac{1}{\Delta }[({\mathbf{a}}^{\prime \prime },{\mathbf{a}}^{\prime },\mathbf{c})+v(({\mathbf{a}}^{\prime },\mathbf{c},{\mathbf{c}}^{\prime \prime })+({\mathbf{a}}^{\prime \prime },{\mathbf{c}}^{\prime },\mathbf{c}))+v^2({\mathbf{c}}^{\prime \prime },{\mathbf{c}}^{\prime },\mathbf{c})],M=\frac{1}{\Delta }({\mathbf{a}}^{\prime },\mathbf{c},{\mathbf{c}}^{\prime }),N=0.$$

曲面$S$是極小的$?H=0?$$0=\Delta (LG?2MF+NE)=({\mathbf{a}}^{\prime \prime },{\mathbf{a}}^{\prime },\mathbf{c})+v(({\mathbf{a}}^{\prime },\mathbf{c},{\mathbf{c}}^{\prime \prime })+({\mathbf{a}}^{\prime \prime },{\mathbf{c}}^{\prime },\mathbf{c}))+v^2({\mathbf{c}}^{\prime \prime },{\mathbf{c}}^{\prime },\mathbf{c})$

$?$

$$?\begin{array}{c}({\mathbf{a}}^{\prime \prime },{\mathbf{a}}^{\prime },\mathbf{c})=0\\ ({\mathbf{a}}^{\prime },\mathbf{c},{\mathbf{c}}^{\prime \prime })+({\mathbf{a}}^{\prime \prime },{\mathbf{c}}^{\prime },\mathbf{c})=0\\ ({\mathbf{c}}^{\prime \prime },{\mathbf{c}}^{\prime },\mathbf{c})=0.\end{array}$$

由第三式，知$\mathfrak{c}(u)$在某個平面上.而由假設(shè)，$\mathfrak{c}(u)$是一條單位球面曲
線(注意 $\mathbf{c}(u)$ 不能為常向量), 故 $\mathbf{c}(u)$ 是一個單位圓.
若$\mathbf{a}(u)$為常向量，則$S$是平面. 現(xiàn)在假設(shè)$\mathbf{a}(u)$不為常向量，即：它是一條曲線。可以設(shè)$u$是曲線$\mathbf{a}(u)$的弧長參數(shù)，其 Frenet 標(biāo)架為 { a ( u ) ; t ( u ) , n ( u ) , b ( u ) } \{\mathbf{a}(u);\mathbf{t}(u),\mathbf{n}(u),\mathbf(u)\} {a(u);t(u),n(u),b(u)}, 其曲率為$\kappa (u)$,撓率為$\tau (u).$由式-(14) 中第一式，有

$0=({\mathbf{a}}^{\prime \prime },{\mathbf{a}}^{\prime },\mathbf{c})=\kappa (\mathbf{n},\mathbf{t},\mathbf{c})=?\kappa ?\mathbf{b},\mathbf{c}?.$ $COM$

若$\kappa =0$,則$\mathbf{a}(u)$是直線.而$\mathbf{c}(u)$是一個單位圓.可以設(shè)

$$\mathbf{a}(u)=(0,0,bu).$$

由假設(shè)$\mathbf{t}\perp \mathbf{c}(u)$,故

$$\mathbf{c}(u)=(\cos u,\sin u,0).$$

從而，曲面$S$的參數(shù)表達式為

$$\mathbf{r}(u,v)=\mathbf{a}(u)+v\mathbf{c}(u)=(v\cos u,v\sin u,bu).$$

即：曲面 $S$ 為正螺旋面.

若$\kappa$不恒為0，只需考慮$\kappa \ne 0$的部分，則$?\mathbf{b},\mathbf{c}?=0.$而由假設(shè)，$?\mathbf{t},\mathbf{c}?=0.$

故$\mathbf{c}=\pm \mathbf{n}.$從而，可以設(shè)$\mathbf{c}=\mathbf{n}.$由式-(14)中第二式，有

$$0=({\mathbf{a}}^{\prime },\mathbf{c},{\mathbf{c}}^{\prime \prime })+({\mathbf{a}}^{\prime \prime },{\mathbf{c}}^{\prime },\mathbf{c})=(\mathbf{t},\mathbf{n},\ddot{\mathbf{n}})+(\dot{\mathbf{t}},\dot{\mathbf{n}},\mathbf{n})=\dot{\tau }.$$

故 $\tau$ 是常數(shù).

若 $\tau =0$, 則 $\mathbf{a}(u)$ 為平面曲線.而 $\mathbf{c}=\mathbf{n}$ 是其(主)法向量，故 $S$ 是平面，
若 $\tau \ne 0$,則由式-(14)中第三式，有

$$0=({\mathbf{c}}^{\prime \prime },{\mathbf{c}}^{\prime },\mathbf{c})=(\ddot{\mathbf{n}},\dot{\mathbf{n}},\mathbf{n})=\dot{\kappa }\tau .$$

因此$,\dot{\kappa }=0$,即：$\kappa$為常數(shù).故 $\mathbf{a}(u)$ 是圓柱螺旋線.

可以設(shè)
$$\mathbf{a}(u)=(\frac{\kappa }{{\kappa }^2+{\tau }^2}\cos (\sqrt{{\kappa }^2+{\tau }^2}u),\frac{\kappa }{{\kappa }^2+{\tau }^2}\sin (\sqrt{{\kappa }^2+{\tau }^2}u),\frac{\tau }{\sqrt{{\kappa }^2+{\tau }^2}}u)$$

則

$$\mathbf{c}(u)=\mathbf{n}(u)=(?\cos (\sqrt{{\kappa }^2+{\tau }^2}u),?\sin (\sqrt{{\kappa }^2+{\tau }^2}u),0).$$

故

$$\begin{array}{rl}\mathbf{r}(u,v)& =\mathbf{a}(u)+v\mathbf{c}(u)=((\frac{\kappa }{{\kappa }^2+{\tau }^2}?v)\cos (\sqrt{{\kappa }^2+{\tau }^2}u),\\ & (\frac{\kappa }{{\kappa }^2+{\tau }^2}?v)\sin (\sqrt{{\kappa }^2+{\tau }^2}u),\frac{\tau }{\sqrt{{\kappa }^2+{\tau }^2}}u).\end{array}$$

作參數(shù)變換$\tilde{v}=\sqrt{{\kappa }^2+{\tau }^2}u,\tilde{u}=\frac{\kappa }{{\kappa }^2+{\tau }^2}?v$,則曲面$S$的參數(shù)表達式變?yōu)?/p>

$$\mathbf{r}(\tilde{u},\tilde{v})=(\tilde{u}\cos \tilde{v},\tilde{u}\sin \tilde{v},\frac{\tau }{{\kappa }^2+{\tau }^2}\tilde{v}).$$

故曲面 $S$ 是正螺旋面.