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問(wèn)題描述
有一對(duì)兔子，從出生后的第3個(gè)月起每個(gè)月都生一對(duì)兔子。小兔子長(zhǎng)到第3個(gè)月后每個(gè)月又生一對(duì)兔子，假設(shè)所有的兔子都不死，問(wèn)30個(gè)月內(nèi)每個(gè)月的兔子總對(duì)數(shù)為多少？
題目解析
兔子產(chǎn)子問(wèn)題是一個(gè)有趣的古典數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們畫一張表來(lái)找一下兔子數(shù)的規(guī)律，如表1.1所示。
| 月數(shù) | 小兔子對(duì)數(shù) | 中兔子對(duì)數(shù) | 老兔子對(duì)數(shù) | 兔子總對(duì)數(shù) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 1 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 1 | 1 | 1 | 3 |
| 5 | 2 | 1 | 2 | 5 |
| 6 | 3 | 2 | 3 | 8 |
| 7 | 5 | 3 | 5 | 13 |
我們可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)問(wèn)題的繁殖模式符合斐波那契數(shù)列的遞推規(guī)律：
- 第1、2個(gè)月只有一對(duì)兔子。
- 從第3個(gè)月開(kāi)始，每個(gè)月的兔子總數(shù)等于前兩個(gè)月兔子總數(shù)之和。因?yàn)樾律耐米訉?duì)數(shù)等于兩個(gè)月前的兔子對(duì)數(shù)。
算法設(shè)計(jì)
本題目是典型的迭代循環(huán)，即是一個(gè)不斷用新值取代變量的舊值，然后由變量舊值遞推出變量新值的過(guò)程。這種迭代與這些因素有關(guān)：初值、迭代公式和迭代次數(shù)。經(jīng)過(guò)問(wèn)題分析，算法可以描述為
用Python語(yǔ)言來(lái)描述迭代公式即為fib=fib1+fib2，其中fib為當(dāng)前新求出的兔子對(duì)數(shù)，fib1為前一個(gè)月的兔子對(duì)數(shù)，fib2為前兩個(gè)月的兔子對(duì)數(shù)，然后為下一次迭代做準(zhǔn)備，進(jìn)行如下的賦值fib2=fib1，fib1=fib，要注意賦值的次序；迭代次數(shù)由循環(huán)變量控制，為所求的月數(shù)。
解題思路
- 定義斐波那契數(shù)列：兔子的數(shù)量符合斐波那契數(shù)列的遞推關(guān)系。即：
F(n) = F(n-1) +F(n-2)（從第3個(gè)月開(kāi)始）- 第1個(gè)月：
F(1)=1 對(duì) - 第2個(gè)月：
F(2)=1 對(duì)
- 遞推計(jì)算：從第3個(gè)月開(kāi)始，每個(gè)月的兔子總數(shù)等于前兩個(gè)月兔子數(shù)之和。
- 最終目標(biāo)：我們需要計(jì)算30個(gè)月內(nèi)每個(gè)月的兔子總對(duì)數(shù)。
代碼實(shí)現(xiàn)
def rabbit_pairs(months):if months <= 0:return 0elif months == 1 or months == 2:return 1# 初始化前兩個(gè)數(shù)值prev1, prev2 = 1, 1# 從第三個(gè)月開(kāi)始計(jì)算for month in range(3, months + 1):current = prev1 + prev2prev1, prev2 = prev2, currentreturn current# 計(jì)算30個(gè)月的兔子總對(duì)數(shù)
months = 30
total_rabbits = rabbit_pairs(months)
print(f"在第 {months} 個(gè)月，兔子的總對(duì)數(shù)為: {total_rabbits}")
解釋：
- 遞歸關(guān)系：我們使用變量
prev1和prev2來(lái)存儲(chǔ)前兩個(gè)月份的兔子對(duì)數(shù)，然后通過(guò)遞推計(jì)算當(dāng)前月份的兔子總對(duì)數(shù)。
prev1存儲(chǔ)的是前一個(gè)月的兔子對(duì)數(shù)。prev2存儲(chǔ)的是當(dāng)前月的兔子對(duì)數(shù)。- 每次更新這兩個(gè)變量，直到計(jì)算出第30個(gè)月的兔子總對(duì)數(shù)。
- 遞推過(guò)程：
- 初始時(shí)，第1、2個(gè)月的兔子總對(duì)數(shù)都為1對(duì)。
- 從第3個(gè)月開(kāi)始，當(dāng)前月的兔子總數(shù)等于前兩個(gè)月兔子對(duì)數(shù)之和。
驗(yàn)證結(jié)果
運(yùn)行上述代碼后，得到30個(gè)月的兔子總對(duì)數(shù)為：
在第 30 個(gè)月，兔子的總對(duì)數(shù)為: 832040
總結(jié)：
這道題的繁殖模型符合斐波那契數(shù)列的遞推關(guān)系。通過(guò)遞推法，我們可以高效地計(jì)算每個(gè)月的兔子總對(duì)數(shù)，并快速得到30個(gè)月內(nèi)兔子的數(shù)量。