導語

神經(jīng)網(wǎng)絡中的學習指從訓練數(shù)據(jù)中自動獲取最優(yōu)權重參數(shù)的過程，這個“最優(yōu)”的定義在不同的應用場景下各有不同。

數(shù)據(jù)驅動

機器學習最關鍵的部分即如何對待數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)當中找到模式，找到規(guī)律，找到答案。

驅動方法

機器學習的思路是，先從圖像中提取特征量（一般由人設計），再用機器學習學習特征量的模式，神經(jīng)網(wǎng)絡的思路是，直接學習數(shù)據(jù)本身，特征量也是自主學習，區(qū)別圖如下（來自書）：
神經(jīng)網(wǎng)絡對所有的問題都用同樣的流程解決，有時也被稱為端到端機器學習（從輸入直接獲得輸出）。

訓練/測試數(shù)據(jù)

訓練數(shù)據(jù)用來學習和找到最優(yōu)的參數(shù)，測試數(shù)據(jù)用來評價模型的泛化能力，判斷已訓練的模型效果如何。

泛化能力即處理未被觀察過的數(shù)據(jù)（簡單說就是訓練數(shù)據(jù)之外的數(shù)據(jù)）的能力，機器學習的目標就是獲得這種能力。

為了提高泛化能力，對一個模型往往使用多個數(shù)據(jù)集進行考察，如果只使用一個數(shù)據(jù)集的話，可能會導致模型在這個數(shù)據(jù)集上表現(xiàn)很好，但是直接拿來檢測新的數(shù)據(jù)時表達很差，這種只對某個數(shù)據(jù)集過度擬合的狀態(tài)就是過擬合。

損失函數(shù)

為了評估每次訓練的結果，神經(jīng)網(wǎng)絡采用了損失函數(shù)這一指標，這個損失函數(shù)有多種取法，書上給了幾種函數(shù)及其實現(xiàn)方式。

均方誤差

均方誤差是常用的損失函數(shù)，表達式為（僅兩個數(shù)據(jù)比對）：$E=\frac{1}{2}\sum _k(y_k?t_k{)}^2$。

$y_k$為神經(jīng)網(wǎng)絡輸出，$t_k$為監(jiān)督數(shù)據(jù)，$k$為數(shù)據(jù)的維數(shù)，一般用one-hot表示（正解標簽為1，其他為0）。

python實現(xiàn)：

def mean_squared_error(y,t):return 0.5*np/sum((y-t)**2)

交叉熵誤差

交叉熵誤差表達式為：$E=?\sum _k{t}_{k}ln{y}_k$，也用one-hot標簽，python的實現(xiàn)很簡單，如下：

def cross_entropy_error(y,t):return -np.sum(t*np.log(y))

這個實現(xiàn)方法看起來沒什么問題，但是如果熟悉$lnx$曲線的話就會知道，當$y$存在0項時，$ln0$的值是無窮大，是無法運算的，因此需要添加一個微小值防止負無窮大，更改之后的函數(shù)實現(xiàn)如下：

def cross_entropy_error(y,t):delta=1e-8return -np.sum(t*np.log(y+delta))

mini-batch

上述給出的實現(xiàn)和式子都是只針對只有一個值的情況，實際上，神經(jīng)網(wǎng)絡是一批一批地處理數(shù)據(jù)的，當要求處理大量數(shù)據(jù)時，書上以交叉熵誤差為例，式子表達為：$E=?\frac{1}{N}\sum _n\sum _k{t}_{nk}ln{y}_{nk}$。
其中，$t_{nk}$表示第$n$個數(shù)據(jù)的第$k$個元素值，$y_{nk}$是輸出，$t_{nk}$是監(jiān)督數(shù)據(jù)。
一般來說，由于數(shù)據(jù)集的數(shù)據(jù)量很大，用全部數(shù)據(jù)來計算損失函數(shù)是不適合的，因此mini-batch應運而生（從全部數(shù)據(jù)隨機選出一部分，作為整體的近似），可以理解為現(xiàn)實中的抽樣調查。

mini-batch的交叉熵實現(xiàn)：

def cross_entropy_error(y,t):if y.ndim==1:t=t.reshape(1,t.size)y=y.reshape(1,y.size)batch_size=y.shape[0]return -np.sum(t.np.log(y+1e-8))/batch_size#one-hot表示#return -np.sum(np.log(y[np.arange(batch_size),t]+1e-8))/batchsize#非one-hot表示

數(shù)值微分

書上在這里介紹了導數(shù)（用割線來代替）、求導、偏導等概念，如果有高等數(shù)學基礎，應該很容易能理解這些，因此跳過，直接從梯度開始。

梯度

梯度是建立在偏導數(shù)的基礎上的，假設有變量$x_0,x_1,......x_n$，然后有偏導數(shù)$\frac{?f}{?x_0},\frac{?f}{?x_1}......,\frac{?f}{?x_n}$，由全部變量的偏導數(shù)匯成的向量就是梯度，書上python的實現(xiàn)如下：

def numerical_gradient(f,x):h=1e-4grad=np.zeros_like(x)#先生成一個全0數(shù)組for idx in range(x.size):#遍歷輸入tmp_val=x[idx]x[idx]=tmp_val+hfxh1=f(x)#f(x+h)x[idx] = tmp_val - hfxh2 = f(x)#f(x-h)grad[idx]=(fxh1-fxh2)/(2*h)x[idx]=tmp_valreturn grad

梯度指示的方向是各點函數(shù)值減小最多的方向，具體證明屬于高數(shù)知識，略。

梯度法

對于機器學習中的損失函數(shù)，我們總是想讓其達到最小，但是，損失函數(shù)一般很復雜，不能直接得到最小的取值，此時，梯度法就是很好的解決方案。

但梯度法不一定每次都能取到最值，根據(jù)高等數(shù)學的指示，梯度所指的方向更類似于極值，而非最值（根據(jù)尋求最大值和最小值分成梯度下降和梯度上升）。

梯度法的思路很簡單，計算當前位置的梯度，然后函數(shù)的取值沿著梯度前進一定距離，然后在新的地方求梯度（移動多少書在后面解釋了，和學習率有關），循環(huán)往復。

梯度法的數(shù)學表達式很簡單：$x=x?\eta \frac{?f}{?x}$,$\eta$是更新量，也就是學習率，決定了每次移動的步長。

像學習率這種參數(shù)被稱為超參數(shù)，因為它并不是神經(jīng)網(wǎng)絡自動學習獲得的，在實際的訓練過程中，往往需要嘗試多個值，學習率過小，則迭代次數(shù)過多，訓練的時間被無意義浪費，學習率過大，可能步子邁大了扯著蛋，越過了極值或最值。

書上將梯度法式子用python實現(xiàn)：

def gradient_descent(f,init_x,lr=0.01,step_num=100):x=init_x#初始化網(wǎng)絡參數(shù)for i in range(step_num):grad=numerical_gradient(f,x)#計算梯度x-=lr*grad#向梯度方向移動return x

神經(jīng)網(wǎng)絡梯度

在理解了梯度的概念和用法之后，在神經(jīng)網(wǎng)絡中運用梯度就變得很容易了，將結果矩陣中的每個值對權重秋偏導即可，以一個$2\times 2$的矩陣為例，表達式如下：
$$W=\left(\begin{array}{cc}{w}_{11}& w_{12}\\ w_{21}& w_{22}\end{array}\right)$$

$$\frac{?L}{?W}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{?L}{?w_{11}}& \frac{?L}{?w_{12}}& \\ & & \\ \frac{?L}{?w_{21}}& \frac{?L}{?w_{22}}& \end{array}\right)$$

python的實現(xiàn)如下：

def numerical_gradient(f, x):h = 1e-4 # 0.0001grad = np.zeros_like(x)#初始化一個全0數(shù)組it = np.nditer(x, flags=['multi_index'], op_flags=['readwrite'])#設置迭代器#操作對象為多維，操作為讀寫while not it.finished:idx = it.multi_indextmp_val = x[idx]x[idx] = float(tmp_val) + hfxh1 = f(x) # f(x+h)x[idx] = tmp_val - h fxh2 = f(x) # f(x-h)grad[idx] = (fxh1 - fxh2) / (2*h)x[idx] = tmp_val # 還原值it.iternext()   return grad

學習算法的實現(xiàn)

神經(jīng)網(wǎng)絡的學習過程大致包括這幾個部分：選出mini-batch，計算梯度，更新參數(shù)，循環(huán)往復，理解起來很簡單，最關鍵的部分就是前面提到的梯度及其更新的部分。

隨機梯度下降

隨機梯度下降的概述很簡單，在原數(shù)據(jù)中隨機選擇mini batch的數(shù)據(jù)，然后再計算梯度，再根據(jù)梯度下降的方向移動，進行下一次運算，循環(huán)往復，一般將該函數(shù)命名為SGD。

2層神經(jīng)網(wǎng)絡實現(xiàn)

書上實現(xiàn)了一個兩層神經(jīng)網(wǎng)絡的類，一些函數(shù)在前面已經(jīng)寫過，在此不再贅述，附帶注釋的代碼如下：

import sys, os
sys.path.append(os.pardir)  # 為了導入父目錄的文件而進行的設定
from common.functions import *
from common.gradient import numerical_gradientclass TwoLayerNet:def __init__(self, input_size, hidden_size, output_size, weight_init_std=0.01):#輸入層神經(jīng)元數(shù)，隱藏層神經(jīng)元數(shù)，輸出層神經(jīng)元數(shù)# 初始化權重self.params = {}self.params['W1'] = weight_init_std * np.random.randn(input_size, hidden_size)#隨機初始化權重，使用高斯分布self.params['b1'] = np.zeros(hidden_size)#偏置初始化為0self.params['W2'] = weight_init_std * np.random.randn(hidden_size, output_size)#隨機初始化權重self.params['b2'] = np.zeros(output_size)def predict(self, x):#推理過程W1, W2 = self.params['W1'], self.params['W2']b1, b2 = self.params['b1'], self.params['b2']a1 = np.dot(x, W1) + b1z1 = sigmoid(a1)a2 = np.dot(z1, W2) + b2y = softmax(a2)return y# x:輸入數(shù)據(jù), t:監(jiān)督數(shù)據(jù)def loss(self, x, t):y = self.predict(x)return cross_entropy_error(y, t)def accuracy(self, x, t):#計算精準度y = self.predict(x)y = np.argmax(y, axis=1)#重新排列成一維數(shù)組t = np.argmax(t, axis=1)accuracy = np.sum(y == t) / float(x.shape[0])return accuracy# x:輸入數(shù)據(jù), t:監(jiān)督數(shù)據(jù)def numerical_gradient(self, x, t):#進行梯度下降loss_W = lambda W: self.loss(x, t)#獲得損失值grads = {}grads['W1'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['W1'])grads['b1'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['b1'])grads['W2'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['W2'])grads['b2'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['b2'])#向梯度減小的方向移動return grads

mini-batch實現(xiàn)

書上以MNIST數(shù)據(jù)集為基礎，用兩層神經(jīng)網(wǎng)絡進行了學習，修改和加上注釋后，代碼和運行結果如下：

# coding: utf-8
import sys, os
sys.path.append(os.pardir)  # 為了導入父目錄的文件而進行的設定
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from dataset.mnist import load_mnist
from two_layer_net import TwoLayerNet# 讀入數(shù)據(jù)
(x_train, t_train), (x_test, t_test) = load_mnist(normalize=True, one_hot_label=True)#加載數(shù)據(jù)network = TwoLayerNet(input_size=784, hidden_size=100, output_size=10)#創(chuàng)造一個神經(jīng)網(wǎng)絡類，隱藏層數(shù)據(jù)可以設置其他合理值iters_num = 10000  # 適當設定循環(huán)的次數(shù)
train_size = x_train.shape[0]
batch_size = 100#抽100個訓練
learning_rate = 0.1train_loss_list = []
train_acc_list = []
test_acc_list = []iter_per_epoch = max(train_size / batch_size, 1)for i in range(iters_num):batch_mask = np.random.choice(train_size, batch_size)#選100個隨機數(shù)x_batch = x_train[batch_mask]#獲得下標t_batch = t_train[batch_mask]#獲得下標# 計算梯度grad = network.numerical_gradient(x_batch, t_batch)#很慢，不如反向傳播# 更新參數(shù)for key in ('W1', 'b1', 'W2', 'b2'):network.params[key] -= learning_rate * grad[key]loss = network.loss(x_batch, t_batch)#計算損失train_loss_list.append(loss)if i % iter_per_epoch == 0:#每次算完一小批就輸出一次結果train_acc = network.accuracy(x_train, t_train)test_acc = network.accuracy(x_test, t_test)train_acc_list.append(train_acc)test_acc_list.append(test_acc)print("train acc, test acc | " + str(train_acc) + ", " + str(test_acc))# 繪制圖形
markers = {'train': 'o', 'test': 's'}
x = np.arange(len(train_acc_list))
plt.plot(x, train_acc_list, label='train acc')
plt.plot(x, test_acc_list, label='test acc', linestyle='--')
plt.xlabel("epochs")
plt.ylabel("accuracy")
plt.ylim(0, 1.0)
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

代碼循環(huán)次數(shù)為10000，每一次都隨機抽100個進行學習，計算損失函數(shù)值，輸出一次學習結果，記錄準確率，可以明顯的看到準確率在逐漸增加，一般來說，準確率的增加也有可能意味著過擬合的出現(xiàn)，但是可以從圖中看到，隨著學習進行，訓練數(shù)據(jù)和測試數(shù)據(jù)的精度幾乎同步上升，且基本重合，因此可以說沒有出現(xiàn)過擬合。

總結

神經(jīng)網(wǎng)絡的學習中有許多重要的概念，如梯度、損失函數(shù)、梯度下降等，在弄清楚了這些之后就能更好的理解神經(jīng)網(wǎng)絡的學習過程。

參考文獻

1. 《深度學習——基于Python的理論實現(xiàn)》