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一.矩陣

接上篇

11.伴隨矩陣

設 A 是一個 n×n 的方陣,其元素為 aij。伴隨矩陣 adj(A)或A* 是一個 n×n的矩陣,其第 i 行第 j 列的元素是 A 的余子式 Mji 的代數(shù)余子式 Cji,即:

(A^{*})_{ij}=C^{ji}=(?1)^{i+j}M_{ji}

其中 Mji是 A 的第j 行第i 列元素的余子式,即去掉第 j 行和第 i 列后剩下的 (n?1)×(n?1) 矩陣的行列式。

簡單理解:

1.先按行求出每個元素的代數(shù)余子式

2.將每行元素的代數(shù)余子式按列組成一個矩陣,該矩陣就是伴隨矩陣。

性質(zhì):

AA^{*}=A^{*}A=|A|E

證明:

\begin{pmatrix} a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+...+a_{1n}C_{1n} & 0 & ... & 0 \\ 0 & a_{21}C_{21}+a_{22}C_{22}+...+a_{2n}C_{2n} & ... & 0 \\& \vdots \\ 0 & 0 & ... & a_{n1}C_{n1}+a_{n2}C_{n2}+...+a_{nn}C_{nn}\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}|A| & 0 & ... & 0 \\ 0 & |A| & ... & 0 \\& \vdots \\ 0 & 0 & ... & |A| \end{pmatrix}=|A|E

性質(zhì)2:

|A^{*}|=|A|^{n-1}

證明:

|AA^{*}|=|A||A^{*}|=||A|E|=|A|^{n}|E|=|A|^{n}

所以

|A||A^{*}|=|A|^{n}=>|A|(|A|^{n-1}-|A^{*}|)=0

得出

|A|=0 或 |A^{*}|=|A|^{n-1}

如果|A|=0,則A中兩行元素相等或成比例,或一行元素為0,則其代數(shù)余子式必有一行元素為0,所以

|A^{*}|=0=0^{n-1}=|A|^{n-1}

所以等式成立。

12.逆矩陣

對于一個 n×n 的方陣 A,如果存在另一個 n×n的方陣 B,使得 AB=BA=E,其中 E 是 n×n 的單位矩陣,那么 B 稱為 A 的逆矩陣,記作

A^{?1}

逆矩陣的存在條件

一個矩陣 A 有逆矩陣的充分必要條件是 A 是可逆的,即 det?(A)≠0。如果 det?(A)=0,則 A 是奇異矩陣,沒有逆矩陣。

思考:如果A可逆,則可逆矩陣是唯一的

證明:

假設可逆矩陣不是唯一的,存在兩個可逆矩陣B1和B2,則由可逆矩陣定義可知:

AB_{1}=B_{1}A=E\\ AB_{2}=B_{2}A=E

則:

B_{1}=B_{1}E=B_{1}(AB_{2})=(B_{1}A)B_{2}=EB_{2}=B_{2}

所以可逆矩陣唯一。

性質(zhì):

1.n階方陣A可逆的充要條件為

|A|\neq 0

且當A可逆時,

A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^{*}

證明:

充分性:

因為

|A|\neq 0

AA^{*}=A^{*}A=|A|E=>A(\dfrac{1}{|A|}A^{*})=(\dfrac{1}{|A|}A^{*})A=E

所以A可逆,并且

A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^{*}

必要性:

因為A可逆,則

AB=BA=E=>|AB|=|A||B|=|E|=1

所以

|A|\neq 0

13.初等變換

初等變換一般可以分為兩種類型:行變換、列變換。

初等行變換:

  • 交換兩行:將矩陣的第 i 行和第 j 行交換位置

    如:矩陣第二行和第三行交換

    \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}->\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}

  • 某一行乘以非零常數(shù):將矩陣的第i 行乘以一個非零常數(shù) k

    如:第二行乘以非零整數(shù)k

    \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}->\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4k & 5k & 6k \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}

  • 某一行加上另一行的倍數(shù):將矩陣的第 i行加上第 j 行的 k 倍

    如:矩陣第一行乘以-4加到第二行

    \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}->\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}

初等列變換

  • 交換兩列:將矩陣的第 i 列和第 j 列交換位置

  • 某一列乘以非零常數(shù):將矩陣的第 i 列乘以一個非零常數(shù) k

  • 某一列加上另一列的倍數(shù):將矩陣的第 i 列加上第 j 列的 k 倍

14.矩陣的標準形

常見的矩陣標準形包括行階梯形矩陣、簡化行階梯形矩陣等。

14.1 行階梯形矩陣

行階梯形矩陣是一種特殊的矩陣形式,具有以下特征:

  • 非零行在零行之上:所有非零行都在零行之上。

  • 主元:每一行的第一個非零元素(主元)在上一行主元的右邊。

  • 主元下方元素為零:每一行的主元下方元素都為零。

14.2 簡化行階梯形矩陣

簡化行階梯形矩陣是行階梯形矩陣的一種特殊形式,具有以下特征:

  • 非零行在零行之上:所有非零行都在零行之上。

  • 主元為 1:每一行的第一個非零元素(主元)為 1。

  • 主元下方元素為零:每一行的主元下方元素都為零。

  • 主元上方元素為零:每一行的主元上方元素都為零。

思考:行階梯形矩陣是唯一的嗎?行簡化階梯形矩陣是唯一的嗎?

行階梯形矩陣不是唯一的,上邊例子中第5、6、7步得到的矩陣都是行階梯形矩陣

如果只做初等行變換,行簡化階梯形矩陣是唯一的,因為不能再簡化了

二.向量

1.定義

向量可以用多種方式定義,以下是幾種常見的定義:

  • 幾何定義:向量是一個有方向和大小的量,通常用箭頭表示。向量的起點稱為原點,終點稱為向量的端點。

  • 代數(shù)定義:向量是一個有序的數(shù)組,通常表示為列向量或行向量。

例如,一個 n 維列向量可以表示為:

v=\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\?\\v_{n}\end{pmatrix}

一個 n 維行向量可以表示為:

v=\begin{pmatrix}v_{1} & v_{2} & \ldots & v_{n}\end{pmatrix}

其中 v1,v2,…,vn是向量的分量。

行向量和列向量再本質(zhì)上沒有區(qū)別。

向量的表示

向量可以用多種方式表示,以下是幾種常見的表示方法:

  • 幾何表示:在二維或三維空間中,向量通常用箭頭表示,箭頭的方向表示向量的方向,箭頭的長度表示向量的大小。

  • 代數(shù)表示:向量可以用列向量或行向量表示,如上所述。

  • 坐標表示:在二維或三維空間中,向量可以用坐標表示。例如,二維向量 v=(v1,v2)v=(v1,v2) 表示在 xx 軸和 yy 軸上的分量。

2. 向量的運算

向量有幾種基本的運算,包括加法、數(shù)乘、點積和叉積。

向量加法

向量加法是將兩個向量的對應分量相加,得到一個新的向量。例如,兩個 n 維向量 u 和 v 的加法為:

u+v=\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\?\\u_{n}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\?\\v_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_{1}+v_{1}\\u_{2}+v_{2}\\?\\u_{n}+v_{n}\end{pmatrix}

向量數(shù)乘

向量數(shù)乘是將一個向量的每個分量乘以一個標量,得到一個新的向量。例如,一個 n 維向量 v 與標量 k 的數(shù)乘為:

kv=k\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\?\\v_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}kv_{1}\\kv_{2}\\?\\kv_{n}\end{pmatrix}

向量點積

向量點積(內(nèi)積)是將兩個向量的對應分量相乘,然后將結果相加,得到一個標量。例如,兩個 n 維向量 u 和 v 的點積為:

u?v=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+?+u_{n}v_{n}

3.矩陣的特征值和特征向量

定義

設 A 是一個 n×n 的方陣。如果存在一個非零列向量 v 和一個標量 λ,使得:

Av=λv

那么 λ 稱為矩陣 A的特征值,v 稱為對應于特征值 λ 的特征向量。

注:λ可以為0,而v不能為0,并且v是列向量。因為A是n維矩陣,如果v是行向量,則維數(shù)是1xn,不滿足矩陣相乘。

將定義中的等式移項,得到:

(A-λE)v=0

由于v是非零列向量,相當于求上述方程的非零解,由方程有非零解的充要條件是行列式為0的定理可知:

\begin{vmatrix}A-λE\end{vmatrix}=0

說明:(A-λE):特征矩陣;|A-λE|:特征行列式或特征多項式;|A-λE|=0:特征方程

結論:

1.λ是A的特征值,v是對應λ的一個特征向量,則cv也是λ的一個特征向量,c為不等于0的標量。

根據(jù)定義:

Av=λv

等式兩邊同乘以c

cAv=cλv=>A(cv)=λ(cv)

所以cv也是λ的一個特征向量。

4.向量的模

定義

向量 v 的模記作 ∥v∥,計算公式為:

||v||=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+?+v_{n}^{2}}=\sqrt{v\cdot v}

幾何解釋

在二維空間中,向量 v=(v1,v2)的模表示從原點到點 (v1,v2)的距離。在三維空間中,向量 v=(v1,v2,v3)的模表示從原點到點 (v1,v2,v3)的距離。

||v||=1,叫做單位向量的模。如:v=(1,0,0)

性質(zhì)

  1. 非負性:∥v∥≥0,并且 ∥v∥=0 當且僅當 v=0(零向量)。

  2. 齊次性:對于任意標量 k,∥kv∥=∣k∣∥v∥。

  3. 三角不等式:對于任意向量 u 和 v,∥u+v∥≤∥u∥+∥v∥。

5.向量的內(nèi)積

定義

對于兩個 n 維向量 a=(a1,a2,…,an) 和 b=(b1,b2,…,bn),它們的內(nèi)積(點積)表示為 a?b,計算公式為:

a\cdot b=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+?+a_{n}b_{n}

幾何解釋

在幾何上,內(nèi)積也可以通過向量的模和它們之間的夾角來表示。具體來說,如果 θ 是向量 a 和 b 之間的夾角,那么內(nèi)積可以表示為:

a\cdot b=||a||||b||cos?(θ)

其中:

  • ∥a∥ 和 ∥b∥ 分別是向量 a 和 b 的模(長度)。

  • cos?(θ)是夾角 θ 的余弦值。

性質(zhì)

  1. 交換律:a?b=b?a

  2. 分配律:a?(b+c)=a?b+a?c

  3. 數(shù)乘結合律:(ka)?b=k(a?b)=a?(kb)(,其中 k 是標量。

  4. 正定性:a?a≥0,并且 a?a=0 當且僅當 a=0。

向量內(nèi)積的幾何解釋其實就是余弦相似度算法的公式,當cos?(θ)=1時,表示兩個向量重合;當cos?(θ)=0時,表示兩個向量垂直。

如果使用兩個向量分別近似表示兩個文本或圖像,兩個向量的cos?(θ)越接近1,表示這兩個文本內(nèi)容越相似,cos?(θ)越接近0,表示這兩個文本內(nèi)容越不相似。

http://www.risenshineclean.com/news/27226.html

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