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一.矩陣
接上篇
11.伴隨矩陣
設 A 是一個 n×n 的方陣,其元素為 aij。伴隨矩陣 adj(A)或A* 是一個 n×n的矩陣,其第 i 行第 j 列的元素是 A 的余子式 Mji 的代數(shù)余子式 Cji,即:
其中 Mji是 A 的第j 行第i 列元素的余子式,即去掉第 j 行和第 i 列后剩下的 (n?1)×(n?1) 矩陣的行列式。
簡單理解:
1.先按行求出每個元素的代數(shù)余子式
2.將每行元素的代數(shù)余子式按列組成一個矩陣,該矩陣就是伴隨矩陣。
性質(zhì):
證明:
性質(zhì)2:
證明:
所以
得出
如果|A|=0,則A中兩行元素相等或成比例,或一行元素為0,則其代數(shù)余子式必有一行元素為0,所以
所以等式成立。
12.逆矩陣
對于一個 n×n 的方陣 A,如果存在另一個 n×n的方陣 B,使得 AB=BA=E,其中 E 是 n×n 的單位矩陣,那么 B 稱為 A 的逆矩陣,記作
逆矩陣的存在條件
一個矩陣 A 有逆矩陣的充分必要條件是 A 是可逆的,即 det?(A)≠0。如果 det?(A)=0,則 A 是奇異矩陣,沒有逆矩陣。
思考:如果A可逆,則可逆矩陣是唯一的
證明:
假設可逆矩陣不是唯一的,存在兩個可逆矩陣B1和B2,則由可逆矩陣定義可知:
則:
所以可逆矩陣唯一。
性質(zhì):
1.n階方陣A可逆的充要條件為
且當A可逆時,
證明:
充分性:
因為
則
所以A可逆,并且
必要性:
因為A可逆,則
所以
13.初等變換
初等變換一般可以分為兩種類型:行變換、列變換。
初等行變換:
-
交換兩行:將矩陣的第 i 行和第 j 行交換位置
如:矩陣第二行和第三行交換
-
某一行乘以非零常數(shù):將矩陣的第i 行乘以一個非零常數(shù) k
如:第二行乘以非零整數(shù)k
-
某一行加上另一行的倍數(shù):將矩陣的第 i行加上第 j 行的 k 倍
如:矩陣第一行乘以-4加到第二行
初等列變換
-
交換兩列:將矩陣的第 i 列和第 j 列交換位置
-
某一列乘以非零常數(shù):將矩陣的第 i 列乘以一個非零常數(shù) k
-
某一列加上另一列的倍數(shù):將矩陣的第 i 列加上第 j 列的 k 倍
14.矩陣的標準形
常見的矩陣標準形包括行階梯形矩陣、簡化行階梯形矩陣等。
14.1 行階梯形矩陣
行階梯形矩陣是一種特殊的矩陣形式,具有以下特征:
-
非零行在零行之上:所有非零行都在零行之上。
-
主元:每一行的第一個非零元素(主元)在上一行主元的右邊。
-
主元下方元素為零:每一行的主元下方元素都為零。
14.2 簡化行階梯形矩陣
簡化行階梯形矩陣是行階梯形矩陣的一種特殊形式,具有以下特征:
-
非零行在零行之上:所有非零行都在零行之上。
-
主元為 1:每一行的第一個非零元素(主元)為 1。
-
主元下方元素為零:每一行的主元下方元素都為零。
-
主元上方元素為零:每一行的主元上方元素都為零。
思考:行階梯形矩陣是唯一的嗎?行簡化階梯形矩陣是唯一的嗎?
行階梯形矩陣不是唯一的,上邊例子中第5、6、7步得到的矩陣都是行階梯形矩陣
如果只做初等行變換,行簡化階梯形矩陣是唯一的,因為不能再簡化了
二.向量
1.定義
向量可以用多種方式定義,以下是幾種常見的定義:
-
幾何定義:向量是一個有方向和大小的量,通常用箭頭表示。向量的起點稱為原點,終點稱為向量的端點。
-
代數(shù)定義:向量是一個有序的數(shù)組,通常表示為列向量或行向量。
例如,一個 n 維列向量可以表示為:
一個 n 維行向量可以表示為:
其中 v1,v2,…,vn是向量的分量。
行向量和列向量再本質(zhì)上沒有區(qū)別。
向量的表示
向量可以用多種方式表示,以下是幾種常見的表示方法:
-
幾何表示:在二維或三維空間中,向量通常用箭頭表示,箭頭的方向表示向量的方向,箭頭的長度表示向量的大小。
-
代數(shù)表示:向量可以用列向量或行向量表示,如上所述。
-
坐標表示:在二維或三維空間中,向量可以用坐標表示。例如,二維向量 v=(v1,v2)v=(v1,v2) 表示在 xx 軸和 yy 軸上的分量。
2. 向量的運算
向量有幾種基本的運算,包括加法、數(shù)乘、點積和叉積。
向量加法
向量加法是將兩個向量的對應分量相加,得到一個新的向量。例如,兩個 n 維向量 u 和 v 的加法為:
向量數(shù)乘
向量數(shù)乘是將一個向量的每個分量乘以一個標量,得到一個新的向量。例如,一個 n 維向量 v 與標量 k 的數(shù)乘為:
向量點積
向量點積(內(nèi)積)是將兩個向量的對應分量相乘,然后將結果相加,得到一個標量。例如,兩個 n 維向量 u 和 v 的點積為:
3.矩陣的特征值和特征向量
定義
設 A 是一個 n×n 的方陣。如果存在一個非零列向量 v 和一個標量 λ,使得:
那么 λ 稱為矩陣 A的特征值,v 稱為對應于特征值 λ 的特征向量。
注:λ可以為0,而v不能為0,并且v是列向量。因為A是n維矩陣,如果v是行向量,則維數(shù)是1xn,不滿足矩陣相乘。
將定義中的等式移項,得到:
由于v是非零列向量,相當于求上述方程的非零解,由方程有非零解的充要條件是行列式為0的定理可知:
說明:(A-λE):特征矩陣;|A-λE|:特征行列式或特征多項式;|A-λE|=0:特征方程
結論:
1.λ是A的特征值,v是對應λ的一個特征向量,則cv也是λ的一個特征向量,c為不等于0的標量。
根據(jù)定義:
等式兩邊同乘以c
所以cv也是λ的一個特征向量。
4.向量的模
定義
向量 v 的模記作 ∥v∥,計算公式為:
幾何解釋
在二維空間中,向量 v=(v1,v2)的模表示從原點到點 (v1,v2)的距離。在三維空間中,向量 v=(v1,v2,v3)的模表示從原點到點 (v1,v2,v3)的距離。
||v||=1,叫做單位向量的模。如:v=(1,0,0)
性質(zhì)
-
非負性:∥v∥≥0,并且 ∥v∥=0 當且僅當 v=0(零向量)。
-
齊次性:對于任意標量 k,∥kv∥=∣k∣∥v∥。
-
三角不等式:對于任意向量 u 和 v,∥u+v∥≤∥u∥+∥v∥。
5.向量的內(nèi)積
定義
對于兩個 n 維向量 a=(a1,a2,…,an) 和 b=(b1,b2,…,bn),它們的內(nèi)積(點積)表示為 a?b,計算公式為:
幾何解釋
在幾何上,內(nèi)積也可以通過向量的模和它們之間的夾角來表示。具體來說,如果 θ 是向量 a 和 b 之間的夾角,那么內(nèi)積可以表示為:
其中:
-
∥a∥ 和 ∥b∥ 分別是向量 a 和 b 的模(長度)。
-
cos?(θ)是夾角 θ 的余弦值。
性質(zhì)
-
交換律:a?b=b?a
-
分配律:a?(b+c)=a?b+a?c
-
數(shù)乘結合律:(ka)?b=k(a?b)=a?(kb)(,其中 k 是標量。
-
正定性:a?a≥0,并且 a?a=0 當且僅當 a=0。
向量內(nèi)積的幾何解釋其實就是余弦相似度算法的公式,當cos?(θ)=1時,表示兩個向量重合;當cos?(θ)=0時,表示兩個向量垂直。
如果使用兩個向量分別近似表示兩個文本或圖像,兩個向量的cos?(θ)越接近1,表示這兩個文本內(nèi)容越相似,cos?(θ)越接近0,表示這兩個文本內(nèi)容越不相似。