2020年認(rèn)證杯SPSSPRO杯數(shù)學(xué)建模

B題 分布式無(wú)線廣播

原題再現(xiàn)：

??以廣播的方式來(lái)進(jìn)行無(wú)線網(wǎng)通信，必須解決發(fā)送互相沖突的問(wèn)題。無(wú)線網(wǎng)的許多基礎(chǔ)通信協(xié)議都使用了令牌的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，在同一個(gè)時(shí)間段內(nèi)，只有唯一一個(gè)拿到令牌的通信節(jié)點(diǎn)才能發(fā)送信息，發(fā)送完畢后則會(huì)將令牌傳遞給其他節(jié)點(diǎn)。但我們考慮這樣的一個(gè)無(wú)線網(wǎng)：每個(gè)通信節(jié)點(diǎn)都是低功率的發(fā)射器，并且在進(jìn)行著空間上的低速連續(xù)運(yùn)動(dòng) (無(wú)法預(yù)知運(yùn)動(dòng)方向及其改變的規(guī)律)，所以對(duì)一個(gè)節(jié)點(diǎn)而言，只有和它距離在一定范圍之內(nèi)的節(jié)點(diǎn)才能收到它的信號(hào)，而且節(jié)點(diǎn)會(huì) (在未聲明的情況下) 相互接近或遠(yuǎn)離。每個(gè)節(jié)點(diǎn)需要不定期地、斷續(xù)地發(fā)送信息，但會(huì)時(shí)刻保持收聽(tīng)信息。發(fā)送和收聽(tīng)工作可以同時(shí)進(jìn)行。在這個(gè)通信網(wǎng)絡(luò)中，完全沒(méi)有網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)設(shè)施，而且每個(gè)節(jié)點(diǎn)只需要把自己的信息廣播出去，需要此條信息的節(jié)點(diǎn)只需要被動(dòng)收聽(tīng)即可，并不需要點(diǎn)對(duì)點(diǎn)地持續(xù)交換信息。所有信息只能使用同一個(gè)頻率發(fā)送，一旦有兩個(gè)或多個(gè)節(jié)點(diǎn)的廣播發(fā)生沖突，能同時(shí)收聽(tīng)到它們的節(jié)點(diǎn)就都能監(jiān)聽(tīng)到?jīng)_突。
??第一階段問(wèn)題： 我們假設(shè)發(fā)送每條信息所占用的時(shí)間都是等長(zhǎng)的。所有的節(jié)點(diǎn)都擁有同樣的內(nèi)置算法，并擁有一個(gè)校準(zhǔn)過(guò)的高精度時(shí)鐘。請(qǐng)建立合理的數(shù)學(xué)模型并解決如下問(wèn)題。
??1. 請(qǐng)構(gòu)造一個(gè)合理的指標(biāo)來(lái)描述網(wǎng)絡(luò)的整體通信效率。
??2. 在每個(gè)節(jié)點(diǎn)需要發(fā)送信息時(shí)，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案來(lái)選擇發(fā)送的時(shí)間段。如果發(fā)送信息時(shí)發(fā)現(xiàn)存在沖突，如何自動(dòng)調(diào)整重發(fā)的時(shí)間段，才能使網(wǎng)絡(luò)的整體通信效率盡可能高? 可能需要分情況 (例如分輕載/重載等不同情形，或其他分法) 來(lái)考慮問(wèn)題。

整體求解過(guò)程概述(摘要)

??目前，網(wǎng)絡(luò)技術(shù)得到迅速發(fā)展，但在無(wú)線網(wǎng)絡(luò)通信系統(tǒng)的分布式環(huán)境下節(jié)點(diǎn)之間信息的傳輸行為較為復(fù)雜。因此，對(duì)無(wú)線網(wǎng)通信效率的研究具有一定的意義。本文針對(duì)在給定的無(wú)線網(wǎng)環(huán)境，提取能夠反映網(wǎng)絡(luò)的整體通信效率的指標(biāo)，對(duì)指標(biāo)進(jìn)行定量分析后建立回歸模型來(lái)描述網(wǎng)絡(luò)的整體通信效率。
??針對(duì)問(wèn)題一：分析無(wú)線網(wǎng)中的環(huán)境，由通信節(jié)點(diǎn)是低速連續(xù)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)可以看作布朗運(yùn)動(dòng)的形式；節(jié)點(diǎn)是否接收到信息與通信距離有關(guān)；對(duì)某節(jié)點(diǎn)發(fā)送、接收、產(chǎn)生沖突信息的計(jì)數(shù)采用疊加原理。把無(wú)線網(wǎng)通信的節(jié)點(diǎn)放在三維空間里面研究，根據(jù)動(dòng)態(tài)節(jié)點(diǎn)間的距離，對(duì)某時(shí)段各節(jié)點(diǎn)發(fā)送信息、接收信息、發(fā)生通信沖突進(jìn)行研究，得到?jīng)_突率、時(shí)延率、吞吐率和承載率四個(gè)指標(biāo)。分別將四個(gè)指標(biāo)與通信效率進(jìn)行相關(guān)性分析，再通過(guò)回歸分析，建立通信效率的回歸模型。即得到由四個(gè)指標(biāo)生成的線性組合來(lái)表示網(wǎng)絡(luò)的整體通信效率。
??通過(guò)仿真模擬，得到多組關(guān)于通信效率與沖突率、時(shí)延率、吞吐率和承載率的數(shù)據(jù)，運(yùn)用線性回歸模型的程序求解出回歸模型的回歸系數(shù)，即得到網(wǎng)絡(luò)的整體通信效率模型。在對(duì)模型進(jìn)行實(shí)例驗(yàn)證，進(jìn)一步說(shuō)明模型的可行性和準(zhǔn)確性。
??針對(duì)問(wèn)題二：當(dāng)發(fā)送信息時(shí)發(fā)現(xiàn)存在沖突，在相同條件下去研究如何調(diào)整重發(fā)時(shí)間段來(lái)使網(wǎng)絡(luò)通信效率盡可能高。由于網(wǎng)絡(luò)的承載能力和沖突之間有著顯著性的特征，在研究問(wèn)題二的模型時(shí)分輕載和重載進(jìn)行討論。以輕載為例，通過(guò)建立有通信沖突的最小連通支配集來(lái)確定節(jié)點(diǎn)通信沖突的點(diǎn)集，通過(guò)分離沖突域、建立獨(dú)立子集來(lái)盡可能和減小通信沖突。結(jié)合問(wèn)題一中的通信效率模型，對(duì)指標(biāo)進(jìn)一步刻畫(huà)，找到通信效率的最大值，從而解出對(duì)應(yīng)的的時(shí)間段，由完成這一過(guò)程所需要的的時(shí)間與時(shí)間段做處理，可得到重發(fā)的時(shí)間段。即通過(guò)相應(yīng)算法，結(jié)合問(wèn)題一的模型，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可自動(dòng)調(diào)整重發(fā)時(shí)間段。
??采用 MATLAB軟件, 對(duì)節(jié)點(diǎn)數(shù)為 10 的通信網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行仿真動(dòng)態(tài)模擬，可得到存在沖突時(shí)，高通信效率下所對(duì)應(yīng)重發(fā)的時(shí)間段。
??本文最后，對(duì)問(wèn)題一和問(wèn)題二建立的模型及求解進(jìn)行了優(yōu)缺點(diǎn)分析，以及對(duì)模型的展望進(jìn)行了說(shuō)明。

問(wèn)題分析：

??本題主要的工作就是建立一些合理的指標(biāo)并且找到指標(biāo)之間的關(guān)系建立一個(gè)能夠描述網(wǎng)絡(luò)的整體通信效率的模型，為了盡量避免沖突，需設(shè)計(jì)一個(gè)方案來(lái)提高網(wǎng)絡(luò)的整體通信效率。
??問(wèn)題一的分析
??需要構(gòu)造一個(gè)合理的指標(biāo)來(lái)描述網(wǎng)絡(luò)的整體通信效率。首先，把網(wǎng)絡(luò)上的節(jié)點(diǎn)放到空間直角坐標(biāo)系上考慮，節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)遵循布朗運(yùn)動(dòng)的形式，由此我們根據(jù)節(jié)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)坐標(biāo)得到節(jié)點(diǎn)間的距離 d 并給定一個(gè)通信距離 D，當(dāng) d ≤ D 時(shí)，則兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間可以互相通信，反之則不能進(jìn)行互相通信；其次，我們?cè)僬页雒枋鼍W(wǎng)絡(luò)的整體通信效率的相關(guān)指標(biāo)，有沖突率、時(shí)延率、吞吐率和承載率；然后，我們根據(jù)建立的四個(gè)指標(biāo)與通信效率之間建立多元線性回歸分析模型來(lái)描述網(wǎng)絡(luò)的整體通信效率；最后，為了驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，我們把模型帶到具體通信網(wǎng)絡(luò)的實(shí)例中進(jìn)行計(jì)算和分析。
??問(wèn)題二的分析
??節(jié)點(diǎn)發(fā)送信息時(shí)可能發(fā)現(xiàn)存在沖突，這種沖突盡可能少就更有利于通信效能的提高。通過(guò)建立有通信沖突的最小連通支配集來(lái)確定節(jié)點(diǎn)沖突的點(diǎn)集；通過(guò)分離沖突域，建立獨(dú)立子集來(lái)盡可能減小通信沖突，均通過(guò)相應(yīng)的算法來(lái)實(shí)現(xiàn)。網(wǎng)絡(luò)在運(yùn)作的過(guò)程中，所承載的能力對(duì)通信沖突存在不一樣的影響，此時(shí)，對(duì)網(wǎng)絡(luò)的承載能力分為輕載和重載進(jìn)行分類討論。結(jié)合第一問(wèn)建立的模型，在指標(biāo)明確的情況下，找出盡可能高的通信效率，從而找到對(duì)應(yīng)的時(shí)間，與初始時(shí)間一處理即可得到調(diào)整后的時(shí)間段。相應(yīng)的可以做動(dòng)態(tài)仿真模擬，在輕載或是重載下，沖突域的改變，可以調(diào)整出不同的時(shí)間段，使通信效率盡可能高。

模型假設(shè)：

??(1) 假設(shè)每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有相同的內(nèi)置算法；
??(2) 假設(shè)每個(gè)節(jié)點(diǎn)的通信距離始終相等，即為常數(shù)；
??(3) 假設(shè)在沒(méi)有廣播沖突的前提下，節(jié)點(diǎn)一旦接收到消息就一定是接收到完整的信息；
??(4) 假設(shè)不考慮某節(jié)點(diǎn)未完成接收已知的所需信息時(shí)不會(huì)發(fā)送其他信息；
??(5) 假設(shè)發(fā)送每條信息這一操作所占用的時(shí)間是等長(zhǎng)的且忽略不計(jì)；
??(6) 假設(shè)計(jì)算網(wǎng)絡(luò)中信息傳播的最大時(shí)間與實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中信息傳播的最大時(shí)間之間存在的誤
差幾乎為 0。

論文縮略圖：

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部分程序代碼：(代碼和文檔not free)

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hang=1;
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%length(number)
rrate=zeros(7*5,6);
for number=[10:50:300,300]
x=2*rand(number,1)-1;
y=2*rand(number,1)-1;
z=2*rand(number,1)-1;
for rate=[0.1:0.2:1.0,1.0]
[m,sumc,d,ssum] =jdfz(number,rate,x,y,z);
ss(hang,:)=[number,rate,m,sumc];
%±￡′
rrate(hang,:)=[number,rate,m/sumc,d,ssum/sumc,ssum/(9*number*1000)];
hang=hang+1;
end
end

clc,clear alln=10;s=0.002;D=0.1;x=2*rand(n,1)-1;y=2*rand(n,1)-1;z=2*rand(n,1)-1;h=plot3(x,y,z,'.'); xmin=-1;xmax=1;ymin=-1;ymax=1;zmin=-1;zmax=1; axis([xmin xmax ymin ymax zmin zmax]); axis squaregrid onset(h, 'MarkerSize',5)% òs ?e={};l=1;for i=linspace(1,10,5000)%addres=randperm(n,1);alphabet = [0 1]; prob = [0.8 0.2]; zhuangtai=randsrc(n,1,[alphabet; prob]);
for j=1:nif zhuangtai([j])==1alphabet1 = [1 2 3 4 5 6 7 8 9]; prob1 = [0.3 0.2 0.1 0.1 0.1 0.05 0.05 0.05 0.05];shuliang=randsrc(1,1,[alphabet1; prob1]);addres=randperm(n,shuliang);for k=1:shuliangaddres1=addres([k]);d=sqrt((x([j])-x([addres1]))^2+(y([j])-y([addres1]))^2+(y([j])-y([addres1]))^2);if d<=De{l}=d;l=l+1;endee=cell2mat(e);uniq=length(ee)-length(unique(ee));if uniq>0endl=1;e={};endendendx=x+s*randn(n,1);y=y+s*randn(n,1);z=z+s*randn(n,1);set(h,'XData',x,'YData',y,'ZData',z);end

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